SKKN TOÁN 2009-2010

Nhưng học sinh mới chỉ biết được tính chất ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường trung tuyến của tam giác còn ba đường cao học sinh cũng chỉ biết là chúng đồng quy tại một đi

MỤC LỤC:

3 Khai thác các bài toán về trực tâm tam giác: 7

4 Mối liên hệ giữa trực tâm và các điểm đặc biệt trong

* Những kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai

C D

H F

E

B

A

C D

H

F

E

B

A

D

H

B

A

Hướng dẫn học sinh tìm hiểu khai thác một số bài toán

về trực tâm tam giác

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Qua nhiều năm dạy lớp 9 chúng tôi thấy trong hình học lớp 9 có một nội dung

mà gặp rất nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập, các sách tham khảo và cũng gặp rất nhiều trong các đề thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi; đó chính là các bài toán

có liên quan đến trực tâm của tam giác Nhưng học sinh mới chỉ biết được tính chất

ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường trung tuyến của tam giác còn

ba đường cao học sinh cũng chỉ biết là chúng đồng quy tại một điểm chứ chưa biết thêm gì về tính chất giao điểm ba đường cao (trực tâm tam giác) Vậy trực tâm tam giác có gì đặc biệt không? Từ những tính chất đó có thể khai thác những bài toán liên quan đến trực tâm như thế nào? Đề tài này chúng tôi viết nhằm mục đích: Hướng dẫn cho học sinh tìm hiểu và khai thác một số bài toán về trực tâm tam giác; từ đó học sinh có thể nắm vững, hệ thống được các bài toán liên quan đến vấn

đề này và cũng có thể sáng tạo tự khai thác thêm những bài khác, tạo cho học sinh tính say mê tìm tòi và hứng thú trong học tập

PHẦN II : NỘI DUNG

1/ Kiến thức cơ bản :

+ Trong một tam giác ba đường cao đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

+ Trực tâm tam giác có 3 trường hợp xẩy ra

TH1: Tam giác vuông: TH2: Tam giác nhọn: TH3: Tam giác tù:

E

D H A

C B

2

Nhận xét:

- Trực tâm tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của tam giác

- Trực tâm tam giác nhọn nằm trong tam giác

- Trực tâm tam giác tù nằm ngoài tam giác

Trong bài viết này chỉ hướng dẫn HS xét trực tâm tam giác trong trường hợp tam giác nhọn, các trường hợp còn lại HS tự tìm hiểu thêm.

2/ Tìm hiểu về trực tâm tam giác:

Bài1:

Cho tam giác nhọn ABC; 3 đường cao của tam giác lần lượt là: AD; BE; CF.

Gọi H là trực tâm tam giác đó

a) Hãy tìm các tứ giác nội tiếp có trên hình?

b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

c) Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứngminh: H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC,

AC, AB

Hướng dẫn:

a) - HS dễ dàng tìm được các tứ giác nội tiếp

là: BFHD; AEHF; CDHE

- Nếu nối các đoạn thẳng: EF; FD; DE;

HS sẽ tìm thêm được các tứ giác nội tiếp:

BFEC; BDEA; AFDC

Lưu ý: Các tứ giác nội tiếp có trên hình vẽ đó chính là cơ sở để khai thác đặc điểm trực tâm của tam giác

b) Phân tích: Sử dụng các tứ giác nội tiếp ở câu a :

- Để chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ta phải chứng minh điều gì? (Chứng minh: H là giao điểm của 3 đường phân giác trong của DEF )

- Gợi ý: - Chỉ cần chứng minh DH là phân giác của  DFE , việc chứng minh EH; FH

là các phân giác của DEF hoàn toàn tương tự

- Dựa vào các tứ giác nội tiếp tìm được ở bài toán hãy chứng minh:  

1 3 2

 D 1 D 2 Hay DH là phân giác của E DF

Chứng minh tương tự ta có EH; FH là các phân giác của  EFD và EFD

 H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

c) Phân tích:

- Để chứng minh H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC,

AC, AB ta cần chứng minh điều gì?

(chứng minh BC, AC, AB lần lượt là các trung trực

của HH1, HH2, HH3)

- Chẳng hạn chứng minh BC là trung trực của HH1:

ta sẽ chứng minh CD vừa là đường cao vừa là

phân giác của CHH1 như sau:

H 3

C D

H F

E

B A

Hướng dẫn:

Phân tích: - Giả sử đã dựng được tam giác ABC có H là trực tâm, theo câu b bài toán 1 ta suy ra điều gì?

(H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF )

- Từ đó để dựng tam giác ABC ta sẽ dựng như thế nào?

(dựng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF trước)

Cách dựng:

- Dựng DEF

- Dựng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp DEF

- Dựng các đường thẳng vuông góc với HE , HF, HD theo thứ tự tại các điểm

E, F, D các đường thẳng này cắt nhau tạo thành tam giác ABC

* Khai thác câu c bài toán 1 ta có bài toán đảo:

Do H và H1 đối xứng với nhau qua BC

nên tam giác CHH1 cân  C 1 

tứ giác ABH1C nội tiếp

Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cách 2:

Phân tích: - Nếu chứng minh được H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì khi đó các tứ giác ABH1C có đặc điểm gì? (là tứ giác nội tiếp)

C D

F

E

B A

- Vì vậy muốn chứng minh H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì chỉ cần chứng minh tứ giác ABH1C là tứ giác nội tiếp Có thể chứng minh tứ giác ABH1C là tứ giác nội tiếp bằng nhiều cách Chẳng hạn:

Từ (1) và (2)  FAE BH C  1 = 1800  tứ giác ABH1C nội tiếp

Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Chứng minh tương tự thì H2, H3 cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCKết luận 2: Cho H là trực tâm của tam giác ABC;

- Nếu H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H1, H2, H3 lần lượt đối xứng với H qua BC, AC, AB

- Ngược lại nếu H1, H2, H3 lần lượt là các điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB thì H1, H2, H3 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

* Cũng tìm hiểu trực tâm tam giác ta có :

Bài 4:

Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm M thuộc miền trong của tam giác sao cho: MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị bé nhất

Hướng dẫn:

Phân tích: Các tích MA.BC, MB.AC, MC.AB

tương tự nhau nên có thể xét mỗi tích

Ta sẽ tạo các đường vuông góc BE và CF

kẻ từ B và C đến tia AM vì BCBE + CF

để tìm xem tích MA.BC nhỏ nhất bằng bao

nhiêu và đạt được khi nào?

Chẳng hạn ta có thể làm như sau:

Chứng minh:

H F

 MA.BC  2SABM + 2SACM

Tương tự ta có: MB.AC  2SMBC + 2SMBA

MC.AB  2SMCA + 2SMCB

 MA.BC + MB.AC + MC.AB  4(SABM+ SACM+ SMCB) = 4SABC (không đổi)

Dấu bằng xẩy ra khi MA BC; MB AC; MC AB

 M là trực tâm tam giác ABC

Kết luận3: Từ bài toán trên ta có một tính chất để M thuộc miền trong của tam giác

sao cho: MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị bé nhất thì M phải là trực tâm tam

BN AD AM

DH AD

DH AD AD

CQ BE

BN AD

3 4 (SABC là diện tích ABC)

* Khai thác trực tâm H khi tam giác ABC đặc biệt

E B

A

Bài 6:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AC =R 3, AB =R 2 Kẻcác đường cao AE, BK, CI cắt nhau tại H Tính số đo các góc, số đo các cạnh củatam giác KIE theo R

KEI = 600; KIE= 900; IKE= 300

+ BAC 75 0  CK BK R 2 sin 75 0  BC Rsin 75 0 (vì BCK vuông cân)

CKE

 CBA (gg)

CB

CK AB

CK AB

0

75 sin 2

75 sin 2 2

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); 3 đường cao của tam giác lần

lượt là AD; BE; CF Gọi H là trực tâm tam giác đó H1, H2, H3 lần lượt là các giao điểm của các tia AH, BH, CH với đường tròn tâm O

a) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính bằng nhau

b) Chứng minh ED // H1H2; EF // H2H3; FD // H1H3

2 3

E

D H A

C B

1

c) Chứng minh OA  EF; OB  FD; OC ED

d) Cho B, C cố định (O); A chuyển động trên cung lớn BC

- Tìm quỹ tích điểm H?

- Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất

- Tìm vị trí điểm A để chu  DEF lớn nhất

Hướng dẫn:

a) Phân tích : - Theo câu c bài toán 1 ta có H1, H2, H3, lần lượt đối xứng với H qua

BC, AC, AB nên các tam giác AHB, BHC, CHA sẽ lần lượt bằng các tam giác nào?

- Các tam giác AH3B, BH1C, CH2A có đặc điểm gì?

(đều là các tam giác nội tiếp đường tròn tâm O)

- Từ đó ta có thể chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, BHC, CHA có bán kính bằng nhau như thế nào?

Chứng minh:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC

bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp BH1C

(BHC = BH1C vì H và H1 đối xứng qua BC

theo bài toán 3)

Mà BH1C nội tiếp đường tròn tâm O

 Bán kính đường tròn ngoại tiếp BHC

bằng bán kính đường tròn tâm O

Chứng minh tương tự  các bán kính đường tròn ngoại tiếp AHC, AHB,

BHC đều bằng nhau và bằng bán kính đường tròn tâm O

b) Cách 1: Do H1, H2 lần lượt đối xứng với H qua BC, AC (theo bài toán 3)

 DE là đường trung bình của HH1H2  DE // H1H2

E

OB là trung trực của H1H3  OB  H1H3

Mà H1H3 || FD  BO  FD

Chứng minh tương tự  AO EF; CO ED

Lưu ý: ở câu c ta đã sử dụng kết quả của câu b để chứng minh Ta cũng có thể chứng minh theo cách khác như sau:

Cách 2: Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn(O)

Ta có B Ax  AFE  ( cùng bằngACB)

 Ax // EF; mà Ax AO  EF AO

Cách 3: Kẻ đường kính AK của đường tròn(O)

Ta có: AFE   AKB (cùng bằngACB)

Mà AKB BAK  = 900  AFE BAK   =900

 AK EF Hay AO  EF

d) Hướng dẫn :

*Tìm quỹ tích điểm H:

- Khi A chuyển động trên cung lớn BC thì

H1 sẽ chuyển động trên đường nào?

(H1 chuyển động trên cung nhỏ BC)

- Ở bài toán 1: H đối xứng với H1 qua BC, vậy H sẽ chuyển động trên đường nào?(H chuyển động trên cung đối xứng với cung nhỏ BC qua BC:

cung chứa góc 1800- Â dựng trên đoạn thẳng BC, cùng phía với A so với BC)

* Xác định vị trí điểm H để diện tích tam giác BHC đạt giá trị lớn nhất:

Do H chuyển động trên cung chứa góc 1800- Â dựng trên BC nên lớn nhất

 H là điểm chính giữa cung chứa góc 1800- Â dựng trên BC

 A là trung điểm cung lớn BC của đường tròn (O)

* Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để chu vi tam giác DEF lớn nhất

Vì trường hợp này O ở trong tam giác ABC nên

SAEOF + SBEOD + SCDOE = SABC

H

J D

E

K I

O

C B

BC.AD Vì BC không đổi nên SABC lớn nhất  AD lớn nhất

 A là điểm chính giữa của cung lớn BC

* Từ bài 7 ta có bài toán sau:

Bài 8:

Cho tam giác nhọn ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H

a) Chứng minh : Tứ giác BDEC nội tiếp

b) Chứng minh : AD.AB = AE AC

c) Chứng tỏ KA là phân giác của góc DKE

d) Gọi I; J lần lượt là các trung điểm của BC và DE Chứng minh: OA // IJ

Hướng dẫn:

a) Tứ giác BDEC nội tiếp ( bài 1).

b) Từ giác BDEC nội tiếp  ADE ACB (g.g) đpcm

c) KA là phân giác của góc DKE (bài 1)

d) Do tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

tâm I, đường kính BC; J là trung điểm của

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O; R); 3 đường cao

AD, BE, CF cắt nhau tại H, đường kính qua A cắt đường tròn (O) tại M

a) Chứng minh HM đi qua trung điểm I của BC

Từ câu a)  OI là đường trung bình

của AMH  AH = 2OI

OI

OI



c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF

Mà tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH ta cần tính AH.Theo câu b) ta có AH = 2OI  ta cần tính OI

Xét tam giác vuông BOI ta sẽ tính được OI theo định lý Pitago

Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O H là trực tâmcủa tam giác D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a) Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành

b) Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB

và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng

c) Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất

Hướng dẫn:

a) Câu a này là ngược lại của của việc chứng minh hình bình hành ở bài toán 3.

Ta sẽ chứng minh khi đó AD chính là đường kính của đường tròn

Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC

sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành

 AD là đường kính của đường tròn tâm O

Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD của

đường tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành.(theo c/m bài 4)

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB ADB màADB ACB

 APB ACB

Mặt khác: AHB ACB   180 0  APB AHB   180 0

Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên PAB =PHB

Mà PAB DAB do đó: PHB DAB

Chứng minh tương tự ta có: CHQ DAC

Q

D

C B

A

J

I 1

2 1

O H

N

M

C B

A

Bài 11:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H là trực tâm; M, N lần lượt là hình chiếucủa H lên phân giác trong và phân giác ngoài của góc A Chứng minh rằng:

a) MN đi qua trung điểm S của AH

b) M, I, N thẳng hàng (I là trung điểm của BC)

Hướng dẫn:

a) ANHM là hình chữ nhật suy ra MN đi qua trung điểm S của AH

b) Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC; tia OI cắt cắt đường tròn (O) tại J

Hướng dẫn:

Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Ngêi thùc hiÖn: Vâ C«ng Lùc - Phan ThÞ H¬ng - THCS Cao Xu©n Huy M

O

F E

H

C B

A

Gọi H là trực tâm tam giác ABC Một đường thẳng qua trực tâm H cắt AB,

AC tại P và Q sao cho HP= HQ Chứng minh đường thẳng vuông góc với PQ kẻ

từ H luôn luôn đi qua trung điểm của BC

Hướng dẫn:

Cách 1:Dựa vào bài 12 để chứng minh

Cách 2: Lấy IBC (BI = IC )

Kẻ PQHI tại H Ta chứng minh HP = HQ

Trên tia BH lấy C’sao cho H là trung điểm của BC’

 HI là đường trung bình của BCC’

Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại

E và F; CE và BF cắt nhau tại H Gọi I là trung điểm của AH; AH kéo dài cắt BC ở

D Chứng minh:

a) Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp

b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

c) EI và FI là các tiếp tuyến của đường tròn

C' D Q

P H

B

A

I C

F E

a)- E, F thuộc đường tròn đường kính BC ta suy ra điều gì? (BEC  BFC 90 0)

-Từ đó chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp như thế nào?

(tổng hai góc đối diện bằng 1800)

b)- Hãy xét vai trò của CE và BF trong tam giác ABC?

(CE và BF là các đường cao trong tam giác ABC,

mà CE cắt BF tại H nên suy ra H là trực tâm của

tam giác ABC  H là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác DEF (bài toán 2)

c)- Hướng dẫn: Để chứng minh EI là tiếp tuyến của

đường tròn ta chứng minh IEO 90 0

bằng cách chứng minh IEH HEO 90 0

Hoặc chứng minh: AIE BEO   90 0

Cách 1:

Do I là trung điểm của AH nên EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông AEH EI = IH IEH IHE ;

mà IH E CH D (vì đối đỉnh)  IEH CH D (1)

Ta lại có: HEO HCO (2) vì tam giác EOC cân

(do OE và OC là các bán kính của đường tròn (O)

Mà CH D HCO  90 0 (3) vì CHD vuông tại D (do AH BC tại D)

Từ (1) (2) (3) IEH HEO  90 0 Hay IE EO

Hay EI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E

Hay EI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E

Chứng minh tương tự ta cũng có FI là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại F

(Lưu ý: ở bài này có thể ra cho học sinh khá:

- Cho H là trực tâm của tam giác ABC; đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tạ E và F Chứng minh: B, H, Fthẳng hàng; C, H, E thẳng hàng.

- Gọi I là trung điểm của AH Chứng minh I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EOF; chứng minh 5 điểm I, E, D, O, F cùng thuộc một đường tròn

- Hoặc gọi I là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn tại E và F Chứng minh I, H, A thẳng hàng)

Phần chứng minh dựa vào chứng minh ở bài toán trên.

* Phát triển từ bài toán 14 ta có một số bài toán:

Bài 15:

Cho hai đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) cắt nhau tại Avà B Đường kính AP của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại E Đường kính AQ của (O’) cắt đường tròn (O) tại F Gọi M là giao điểm của PF và QE Chứng minh rằng.a) M, A, B thẳng hàng

b) Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giá FEQP cắt nhau tại một điểm trên MB

b) Kẻ tiếp tuyến FI của đường tròn ngoại tiếp

tứ giác PFEQ cắt MA tại I

Ta chứng minh IE là tiếp tuyến của đường

tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP

Hoặc lấy I là trung điểm của MA ta chứng minh

IF và IE là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP

( câu c bài 14)

Vậy các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP cắt nhau tại một điểm trên MB