Giáo trình xử lý ảnh y tế Tập 1b P2 potx

làm nổi đường biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên một ảnh bằng cách xử lý từng hàng một, thì đường biên sẽ phần lớn được làm nổi bật dọc theo các đường thẳng đứng.. Các

làm nổi đường biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên một ảnh bằng cách xử lý từng hàng một, thì đường biên sẽ phần lớn được làm nổi bật dọc theo các đường thẳng đứng Các đường biên ảnh nằm theo các đường nằm ngang sẽ không được làm nổi một chút nào và các đường biên nằm theo các hướng khác ngoài hai hướng này sẽ nhận được hiệu ứng làm nổi ảnh ít hơn các đường biên dọc Để đạt được hiệu quả như nhau theo mọi hướng, tín hiệu được lấy mẫu hai chiều phải được xử lý qua một hệ thống 2-D (Hình 2.2)

Trong hệ thống tuyến tính bất biến - TTBB (Linear Shift Invariant

- LSI), đáp ứng đầu ra có thể tính theo công thức :

y(n1,n2) x(n1,n2) * h(n1,n2) (2.1) Dấu * được hiểu là tích chập và h(n1,n2) là đáp ứng xung của hệ thống 2-D Biểu thức (2.1) có thể viết là:

 



















) ,

( ) , ( )

,

k n k n h k k x n

n

(2.2)

Hình 2.1 Biểu diễn trong miền khoảng cách

2.3 Một số dãy 2-D thông dụng

Chúng bao gồm:

1 Dãy xung đơn vị :

n 1 T v

2T

T H

x(n 1 ,T v ,n 2 ,T H )

n 2 T H









lại còn hợp trường các với

với 0

0

1 ) , ( ) ,

2 Dóy nhảy bậc đơn vị :









lại còn hợp trường các với

với 0

0 , 1 ) ,

1

n n n

n

3 Dóy hàm mũ:







lại còn hợp trường các với

với 0

0 , )

,

2 1

2

a n n x

n n

4 Dóy tớn hiệu hỡnh sin (phức):

) ( 2 1

2 2 1

) ,

x    - <n1,n2< + (2.6)

Hỡnh 2.2 Xử lý tớn hiệu 2-D

2.4 Đỏp ứng tần số của hệ thống 2-D -TTBB

2 1

2 1

) , (n n e j n n

Đỏp ứng ra cú thể rỳt ra khi dựng biểu thức (2.2)



















 1

2 1 2

) ( ) ( 2

k n k n j

k k h e

n n

hoặc





















2 1 2

) ,

2 1

k k j n

n

e n n

Cụng thức này cú thể viết lại thành

y(n1,n2)  x(n1,n2)H(1,2)

Tớn hiệu ra là tớn hiệu hỡnh sin phức (sinusoid) hoàn toàn cú cựng tần số như tớn hiệu vào, nhưng biờn độ và gúc pha thỡ bị thay đổi bởi

h(n 1 ,n 2 )

x(n1 ,n 2 ) y(n1 ,n 2 )

10

hàm khuyếch đại phức H(1,2) Hàm khuếch đại này gọi là đáp ứng tần số và được cho bởi

2 1 2

1

2 1 2

2 1

1

) , ( )

,

k

k k

k

e k k h

















Biểu thức j( k1 k2 )

e   được gọi là nhân Nếu khoảng cách cách lấy mẫu T V ,T H đã được biết thì biểu thức (2.9) có thể viết lại thành





















2

2 1 1

) , ( 2 2

( )

,

(

k

T vk T uk j H V k

H V e

T k T k h v

u

1, 2 có thứ nguyên là radian/đơn vị, còn u và v có thứ nguyên là

vòng/đơn vị Đơn vị ở đây có thể là đơn vị khoảng cách (như cm, inch) hoặc là đơn vị thời gian (như giây) Việc chọn đơn vị (thời gian hoặc khoảng cách) phụ thuộc nguồn gốc của ảnh, đó là một phép chiếu từ không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều Nếu ta

xử lý với một ảnh lấy ra trực tiếp từ ma trận CCD camera thì T V và

T H (và do đó là đơn vị) phải tính theo chiều không gian (xem hình

2.3) Mặt khác, với một ảnh truyền hình thì T V và T H phải theo chiều thời gian (xem hình 2.4)

Từ (2.9) ta có thể viết

H(1 2,2) H(1,2)

H(1,2 2) H(1,2) (2.11)

) , ( ) 2 , 2

Và từ (2.10) ta có thể viết

) , ( ,

1

v u H v T u H

V

















T v u H

H















) , (

1 ,

1

v u H T

v T u H

H V



















T V

11

Hình 2.3 T V và T H cho lấy mẫu ảnh trên một ma trận camera CCD

Hình 2.4 T V và T H cho một ảnh quét xen kẽ

  1    2  và là hàm tuần hoàn trong miền tần số với chu kì tuần hoàn là 2 đối với 1 và 2 H(u,v) xác định trên

miền  12T V u 12T V   12T H v 12T H và là hàm tuần hoàn với chu kì 1/TV và 1/TH cho u và v Có thể chiếu H(  1 ,  2 ) hoặc H(u, v)

lên miền chuẩn hoá, ở đây /1, /2  1 1 ,  bằng cách đặt /1=1/;

/2=2/ hoặc /1=2uTV;/2=2vTh /1 và /2 gọi là tần số chuẩn hoá, hàm H(  / 1 ,  / 2 ) có thể viết lại

12

) ( 2 1 2

1

2 1

1 2

) , ( )

,

k k

e k k h

H       (2.13)

Nếu chỳng ta hạn chế h(n 1 ,n 1 ) chỉ lấy cỏc giỏ trị thực thỡ đỏp ứng

tần số thoả món:

) , ( ) , ( j 1 j 2 j 1 j 2

e e H e

e

H     (2.14)

H* = liờn hợp phức của H Điều này dẫn đến H(  1 ,  2 ) đối xứng

(Hỡnh 2.5)

Hỡnh 2.5 Đối xứng tõm

Chỳ ý rằng nếu x(n 1 ,n 2 ) =  (n 1 ,n 2 ), thỡ biểu thức (2.2) trở thành y(n 1 ,n 2 ) = h(n 1 ,n 2 ) Vỡ lý do này mà h(n1,n2) được gọi là đỏp ứng xung, hoặc là đỏp ứng biờn độ, của hệ thống 2-D

Bài tập 2.1 Tớnh biểu thức đỏp ứng tần số của một hệ thống với

đỏp ứng xung cho bởi



















0 0

5 0

125 0

125 0

125 0

) , (n1 n2

Chứng minh rằng cụng thức tớnh đỏp ứng tần số cú thể tỏch được

A

B

 1

2

lại còn hợp trường các

0

1 ,

0

0 , 1

1 ,

1

2 1

2 1

2 1

2 1

























n n

n n

n n

n n

13

2.5 Tính đáp ứng xung từ đáp ứng tần số

Đáp ứng tần số của h(n 1 ,n 2 ) được cho bởi :



1 2

) ( 2 1 2

1

2 1

) , ( )

, H(

n n

n n j

e n n



Xét tích phân

 

 























) (

2 1 2

2 1

) , ( 4

1

d d e

H j k k (2.16)

Thay biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.16) chúng ta được

2 1 ) (

) (

2 1 2

1 2

2 1 2 2

) , ( (

4

1























d d e

e n n h

n n

k k j n n j

   

 







Và có thể viết thành

1 ) ( 2

1

21 2 2 1

1 1

1 2

1 ) ,



















d e

d e

n n

 













Và biến đổi thành

( 1, 2) ( 1 1) ( 2 2) ( 1, 2)

1 2

k k h k n k n n n h

n n







Điều này có nghĩa là đáp ứng xung có thể tính từ đáp ứng tần số

qua mối quan hệ:

h(n 1 ,n 2 ) =  

 























) ( 2 1 2

2 1

) , ( 4

1

d d e

(2.17)

Nếu đáp ứng tần số được cho dưới dạng hàm của u,v (vòng/đơn

vị), thì biểu thức (2.17) có thể viết thành

V

V H

H

H V

T

T T

T

n vT n uT j H







2 2 2 2 _

) (

2 2

1

2 11

) , ( )

,

Hoặc cho tần số chuẩn hoá:

 

















1 1

2 1

1

1 ) ( 2 1 2

1

2 1

) , ( 4

1 ) ,

d d e

H n

n

14

Vớ dụ 2.3 Cho đỏp ứng tần số





 0

|

| ,

|

| 1 ) ,

lại còn hợp trường các











H

(xem hỡnh 2.10), hóy tớnh đỏp ứng xung

Hỡnh 2.10 Vớ dụ 2.3

Giải Từ phương trỡnh (2.17) chỳng ta cú thể viết :

2 2 1

1

2 1

2 1 ) (

2 2

1

) sin(bn ) sin(an

=

2

1 2

1

=

4

1 ) , (

2 1

2 1

n n

d e d

e

d d e

n n h

b

b

n j a

a

n j

a

a b

b

n n j































 





 





Bởi vỡ đỏp ứng tần số là hàm tỏch được của hai biến 1và 2 nờn

đỏp ứng xung cũng là một hàm hai biến tỏch được Khỏi niệm “tỏch được” ở đõy nghĩa là cú thể phõn tớch h(n 1 ,n 2 ) = f 1 (n 1 ).f 2 (n 2 )

Vớ dụ 2.4 Tỡm đỏp ứng xung của một bộ lọc thụng thấp đối xứng

vũng trũn lý tưởng được mụ tả như sau (xem hỡnh 2.11 và 2.12):

 1

a -a

b

b





-

-

 2

15







lại còn hợp trường các 0

1 ) ,

e e

Giải Cú thể dễ dàng thấy nếu H(1,2)là một hàm đối xứng vũng trũn lý tưởng, cụ thể là H(1,2) H( 12 22) thỡ h(n1,n2) cũng là một hàm tuần hoàn đối xứng vũng trũn, tức là h n n( ,1 2) h( n12 n22)

Vỡ vậy cỏch dễ dàng nhất để tỡm h(n1,n2)là tỡm h(n 1 , 0) và hàm

2

2

2

1 + n

n theo n 1 Chỳng ta rỳt ra h(n1, 0 )từ:

 



A n j d d e n

4

1 ) 0 ,



e

4

1

=

R R

-j 2

1

2



















1

2 1

2 1

) cos(

2

4

1 ) 0 , (

1

2 2

2 2 1





















d R

d d

e n

h

n

R

R

R

R

n j

Ta cú 1 Rsin()





d 1 cos( )

d cos

2 4

1 ) 0 , (

/2

/2

-sin 2

2





















 d e

Rn n

R n

2 /

sin 2

1 1

2 ) 0 , (

 1

R -R





-

-

 2