Sang kien kinh nghiem Toan 4

Các bài toán tìm số thỏa mãn điều kiện cho trước ………...16 Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.. Cỏc bài toỏn số và chữ số là một trong những dạng toỏn khú, thường học

Môc Lôc

Phần một: Những vấn đề chung

Nội dung Trang

Lý do chọn đề tài……….3

Mục lục nghiên cứu ……… 3

Đối tượng nghiên cứu ……….3

Nhiệm vụ nghiên cứu ……… 4

Phương pháp nghiên cứu ……… 4

Giả thuyết khoa học ……… 4

Phần hai: Nội dung nghiên cứu Hệ thống các bài toán số và chữ số. các bài toán thêm bớt……… 5

Thêm chữ số vào một số tự nhiên Bớt chữ số Các bài toán tìm số lượng các số ……… 10

Bài toán tìm các số từ những số cho trước Bài toán tìm các số thỏa mãn yêu cầu khác Các bài toán tìm số thỏa mãn điều kiện cho trước ……… 16

Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó Các bài toán về số tự nhiên và tổng, hiệu, tích, thương các chữ số của nó Các bài toán về số tự nhiên và cacá chữ số tạo thành Các bài toán về tổng của số tự nhiên và các chữ số của nó Bài toán về trung bình cộng Các bài toán tìm thành phần chưa biết trong phép tính ………….30

Các bài toán xét chữ số tận cùng của nó ……… 34

Giới thiệu một số bài toán thi học sinh giỏi ……… 36

Phần ba: Kết luận về đề xuất ý kiến Tài liệu tham khảo………

Phần một : Những vấn đề chung

Ta cú thể coi việc giải toỏn là một hoạt động trớ tuệ sỏng tạo, linh hoạt và cũng

vụ cựng hấp dẫn đối với học sinh Tiểu học Cỏc bài toỏn số và chữ số là một trong những dạng toỏn khú, thường học sinh rất ngại giải loại toỏn này, vỡ hầu hết cỏc bài toỏn số và chữ số khụng những đũi hỏi học sinh phải cú đầu úc phõn tớch, khả năng tổng hợp vấn đề mà phải cú khả năng suy luận và khả năng tư duy lụgớc Nú yờu cầu cao hơn so với những loại toỏn khỏc Điều khú hơn, giải toỏn loại này cần phải sử dụng nhiều kiến thức, nhiều phương phỏp giải toỏn

Trong quỏ trỡnh học và nghiờn cứu tài liệu tôi thấy cỏc bài toỏn số và chữ số là một trong những dạng tóan hay v lý thú Và ỡ vậy tôi đó chọn sáng kiến kinh nghiệm

“Tỡm hiểu một số bài toỏn về số và chữ số trong chương trỡnh toỏn Tiểu học” làm

đề tài sáng kiến của mình

Mục đớch nghiờn cứu sang kiến kinh nghiệm này

Mục đớch của sáng kiến này là nhằm hệ thống húa cỏc bài tập số và chữ số trong chương trỡnh toỏn tiểu học Đi sõu vào nghiờn cứu tỡm hiểu cỏc bài toỏn dạng này nhằm nắm vững kiến thức để dụng vào giải toỏn một cỏch hợp lý Qua đú bồi dưỡng năng lực sư phạm cho bản thõn tạo cơ sở cho việc tỡm tũi, sỏng tạo ra phương phỏp dạy học cú hiệu quả để tham gia giảng dạy được tốt hơn

3 Đối tượng nghiờn cứu.

Đối tương nghiờn cứu của đề tài là cỏc bài tập số và chữ số trong chương trỡnh toỏn của Tiểu học

4 Nhiệm vụ nghiờn cứu

a Tỡm hiểu cơ sở lý thuyết về số và chữ số

b Phõn loại cỏc bài tập số và chữ số

c Sưu tầm cỏc bài tập nõng cao

5 Phương phỏp nghiờn cứu

Tham khảo tài liệu, phõn tớch và tổng hợp tài liệu

6 Giả thuyết khoa học

Việc dạy học toán số và chữ số cho học sinh tiểu học sẽ giúp phát triển trí thông minh, năng lực tư duy linh hoạt sáng tạo đặc biệt là rèn luyện phương pháp và khả năng suy luận lôgíc Nhận dạng các bài tập và lựa trọn phương pháp thích hợp

để giải toán Đồng thời rèn cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo trong suy nghĩ và trong thực hành Rèn luyện cho học sinh đức tính cần cù, nhẫn nại trung thực và vượt khó trong học tập.………

Phần hai:

Néi dung nghiªn cøu

Hệ thống các bài toán số và chữ số

1 Các bài toán thêm, bớt chữ số vào một số tự nhiên

1.1 Bài toán thêm chữ số vào một số tự nhiên

Muốn nhân một số với 10, 100, 1000,….ta chỉ việc viết thêm 1,2,3,…chữ số 0 vào bên phải số đó

Từ quy tắc trên ta suy ra:

+ Khi viết thêm 1,2,3 ,… chữ số 0 vào bên phải một số tự nhiên khác 0 thì số

đó gấp lên 10, 100, 1000, ….lần

+ Khi viết thêm 1, 2, 3,… chữ số khác 0 vào bên phải một số tự nhiên khác 0

ta được một số mới gấp lên 10, 100, 1000,… số ban đầu cộng với số đơn vị vừa viết thêm vào bên phải số đó

+ Khi viết thêm 1, 2, 3,… chữ số khác 0 vào bên trái một số tự nhiên thì số đó tăng lên số đơn vị đúng bằng giá trị chữ số đứng ở hàng ấy

Bài toán 1: khi viết thêm một chữ số vào bên phải một số đã cho thì số đã cho

tăng thêm 518 đơn vị T×m số đã cho và chữ số viết thêm

Bài giải

Gọi a là chữ số viết thêm

Khi viết thêm a vào bên phải số đã cho thì số ấy tăng gấp 10 lần và cộng thêm

a đơn vị

Ta có sơ đồ:

Số đã cho:

Số mới: a

518

Từ sơ đồ ta cú: 518 bằng 9 lần số phải tỡm cộng với a đơn vị

Vỡ 518 khụng chia hết cho 9 nờn chữ số a khụng thể là 9 Vậy a < 9 Suy ra a

là số dư phộp chia 518 cho 9

Vỡ 518 : 9 = 57 dư 5 nờn số phải tỡm là 57

Chữ số viết thờm là số 5

Đáp số: 57 và 5

Bài toỏn 2 khi viết thờm số 12 vào bờn phải 1 số tự nhiờn cú hai chữ số ta

được một số mới lớn hơn số ban đầu 4764 đơn vị Tỡm số cú hai chữ số đú

Bài giải

Gọi số cần tìm ab (a, b < 10 ; a > 0)

Khi viết thêm số 12 vào bên phải ta đợc số mới là ab12

Theo bài ra ta có: ab12 - ab = 4764

(ab x 100 + 12) - ab = 4764 ( phân tích cấu tạo số)

(ab x 100 - ab) + 12 = 4764 (trừ một tổng đi một số)

Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số này ta đợc số 2abc

Bài toán 4 Tìm số có ba chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số

hàng trăm và hàng chục ta đợc số mới gấp 7 lần số đó

Bài giải

Gọi số cần tìm abc (a,b,c < 10, a> 0)

Viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và hàng chục đợc số mới có dạng aobc

50 x a = bc (cùng chia cả hai vế cho 6) (1)

Từ (1) suy ra a chỉ có thể nhận giá trị là 1 (vì nếu a ≥ 2 thì a x 50 là một số có

ba chữa số nên bc = 50)

Vậy số cần tìm là 150

Đáp số : 150

1.2 Bớt chữ số.

Muốn chia một số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn cho 10, 100, 1000 ta… …chỉ việc xóa đi 1,2,3 chữ số 0 ở bên phải số đó.…

Bài toán 1: Chia số hàng nghìn của một số có bốn chữ số lớn gấp ba lần hiệu

giữa chữa số hàng trăm và hàng chục của nó Nếu xóa đi chữ số hàng nghìn thì số đó giảm đi 9 lần Tìm số tự nhiên đó?

Bài giải:

Gọi số cần tìm là abcd (a,b,c,d <10, a > 0)

Khi xóa đi chữ số hàng nghìn ta đợc số bcd

Nếu a = 3 thì bcd = 375 ta đợc số abcd = 3375 (loại)

Nếu a = 6 thì bcd = 750 ta đợc số abcd = 6750 (thỏa mãn)

Số bé là : 154 : 11 = 14

Số lớn là : 144

Đáp số : 144 và 14

Bài tập tơng tự Bài 1 Nếu thêm số 23 vào bên trái số tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp

Bài 4 Cho một số có hai chữ số Nếu viết thêm bên phải số đó hai chữ số nữa

thì đợc số mới hơn số đã cho 1986 đơn vị Hãy tìm số đã cho và hai chữa số viết thêm

Bài 5 Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào tận cùng

bên trái hoặc tận cùng bên phải của số đó ta đợc hai số có 6 cha số mà số nọ gấp 3 lần số kia

2 Các bài toán về tìm số lợng các số.

2.1 Bài toán tìm số các số từ những số cho trớc

Khi gặp các bìa toán tìm số các số từ những số cho trớc, nếu đếm trực tiếp chúng ta phải viết tất cả các số thỏa mãn yêu cầu đầu bài, rồi đến từng số một Cách này rất dài dòng Vậy khi gặp các bài toán dạng này ngoài cách giải trực tiếp là liệt

kê tất cả các trờng hợp ấy ra rồi đếm thì ta còn có cách giải khác bằng cách tính toán dựa trên những đặc tính riêng bịêt của từng loại sự kiện Sau đây là một số bài toán

ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 2 cách chọn chữ số hàng chục (là một trong hai chữ số còn lại)

ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có một cách chọn chữ số hàng

đơn vị

Vậy số chữ số có thể viết đợc là : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)

Cách 2

Ta có thể dùng sơ đồ cây để giải bài toán trên nh sau :

Đặt chữ số 6 ở hàng nghìn khi đó hàng trăm chỉ có thể là 1 trong 3 chữ số 7, 8, 9

Nếu chữ số hàng trăm là 7 đơn vị thì chữ số hàng chục chỉ có thể là một trong hai chữ số 8, 9

Nếu chữ số hàng trăm là 8 thì ở hàng chục chỉ có thể là một trong hai chữ số :

7, 9

Nếu chữ số hàng trăm là 9 thì ử hàng chục chỉ có thể là một trong hai chữ số 7,8

Nh vậy ta có sơ đồ sau:

8 9

7

9 8

7 9

6 8

9 7

7 8

9

8 7

Tơng tự ta có sơ đồ cây với các số 7, 8, 9 ở hàng nghìn

Vậy ta có số các số có 4 chữ số khác nhau là : 6 x 4 = 24 (số)

Ngoài những bài toán tìm số các số mà chữ số khác nhau ra thì chúng ta còn gặp những bài toán tìm số các số mà các chữ số không cần khác nhau

Bài toán 2: cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số có hai chữ số từ

4 chữ số trên?

Bài giải

Sử dụng sơ đồ cây ta có: nếu đặt chữ số 1 ở vị trí hàng chục thì hàng đơn vị sẽ

là một số trong 4 chữ số: 1, 2, 3, 4 khi đó ta có sơ đồ sau:

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 3 4

3 3 3 3

4 4 4 4

Vậy số các số có hai chữ số là : 4 x 4 =16 (số)

2.2 Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn yêu cầu khác.

2.2.1 Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn tính chẵn, lẻ.

Bài toán 1: Với 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 em viết đợc bao nhiêu số có 4 chữ

số thỏa mãn một và chỉ một điều kiện trong các điều kiện sau :

a là số chẵn

b là số lẻ

Bài giải

a Gọi số có 4 chữ số là abcd (a ≠ 0)

Vì abcd là số chẵn nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là một trong 3 chữ

số 2, 4, 6)

Số cách chọn chữ số hàng nghìn là 7 cách

Số cách chọn chữ số hàng trăm là 7 cách

Số cách chọn chữ số hàng chục là 7 cách

Vậy các số có 4 chữ số và là số chẵn là :

3 x 7 x 7 x 7 =1029 (số)

b Gọi số có 4 chữ số là: abcd (a ≠ 0)

Vì abcd là số lẻ nên số cách chọn chữ số hàng đơn vị là 4 cách (là một trong 4 chữ số 1, 3, 5, 7)

2.2.2 Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn tính chất chia hết.

Bài toán có 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4

chữ số khác nhau vì chia hết cho 5?

1 x 4 x 3 x 2 =24 (số)

2.2.3 Bài toán tìm số các số mà các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc

giảm dần

Bài toán 1: cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 hỏi có thẻ lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ

số khác nhau mà các chữ số giảm dần theo thứ tự từ trái qua phải?

3 Bài toán tìm số thoả mãn điều kiện cho trớc.

3.1 Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.

Bài toán 1 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 55 và hiệu của chúng bằng

15?

Bài giải

Khi giải bài bài toán này thì ta cần phân tích bài toán nh sau :

- Nếu ta giả thiết số lớn giảm đi 15 đơn vị thì hai số sẽ bằng nhau (đều bằng số bé) Bớc này thực chất ta biểu diễn số lớn theo số bé

- Nh vậy tổng sẽ giảm đi 15 đơn vị và tổng này bằng hai lần số bé

- Từ đây ta tìm đợc số bé

- Lấy số bé cộng với hiệu hai số ta đợc số lớn

Tơng tự nếu ta giả thiết số bé tăng thêm 15 đơn vị thì ta sẽ đợc cách giải thứ hai

Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán :

Số lớn là 20 + 15 = 35.

Đáp số : 20 và 35

Ngoài ra ta còn có nhiều cách giải khác

Bài toán 2 Tổng của 3 số lẻ liên tiếp bằng 51 Tìm ba số đó?

Bài giải.

Phân tích : Nếu ta giải số thứ hai giảm đi hai đơn vị và số thứ ba (số lớn nhất) giảm đi 4 đơn vị thì ba số sẽ bằng nhau (đều bằng số bé nhất) Bớc này thực chất là ta biểu diễn số thứ hai và số thứ ba qua số bé nhất

- Nh vậy tổng của ba số sẽ giảm đi 2 + 4 = 6 (đơn vị) và tổng này bằng 3 lần

số bé nhất

- Từ đây ta tìm đợc số bé nhất

Lấy số bé nhất cộng với hai ta đợc số thứ hai, cộng với 4 ta đợc số thứ ba

Tơng tự ta giả thiết số thứ nhất tăng thêm 4 đơn vị, số thứ hai tăng thêm hai

3.2 Các bài toán về số tự nhiên tổng, hiệu, tích, thơng các chữ số của nó.

Bài toán 1 Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số

hàng chục trừ đi số hàng đơn vị

Bài giải

Gọi số cần tìm ab ( a ≠ 0, a > b; a,b < 10)

Thử lại : 2 x 4 x 3 = 24 (đúng với đầu bài)

Ngoài ra còn nhiều cách giải khác.

3.3 Các bài toán về số tự nhiên và các chữ số tạo thành.

Bài toán 1 Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị?

Bài toàn này còn có nhiều cách giải khác

3.4 Các bài toán về tổng của số tự nhiên và các chữ số của nó.

Bài toán 1 Tìm số tự nhiên biết rằng số đó cộng với tổng các chữ số của nó

thì bằng 106?

Bài giải

Vì số phải tìm cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 106 nên số đó phải nhỏ hơn 106 Số đó chỉ có thể gồm 3 chữ số hoặc hai chữ số

- Giả sử số phải tìm là số có 3 chữ số : abc ( a ≠ 0; a,b,c < 10)

Theo bài ra ta có abc + a + b + c = 106

Do đó a = 1 khi đó ta có

1bc + 1 + b + c = 106

101 + bc + b + c = 106

bc + b + c = 106 – 101 = 5

bb + c x 2 = 5 do đó b phải là số lẻ

Giả sử lấy giá trị nhỏ nhất của b là 1 thì :

11 + c x 2 = 5 không thể tìm giá trị thích hợp của c vì tổng lại nhỏ hơn một số hạng của tổng (5 < 11)

Vậy không có số có ba chữ số phù hợp với đầu bài

- Giả sử số phải tìm là số có hai chữ số : ab ( a ≠ 0 a, b < 10)

Gọi số phải tìm là abcd (a ≠ 0; a,b,c,d < 10)

Theo bài ra ta có : 1990 – abcd = a + b + c + d hay

abcd + a + b + c + d = 1990

Nhận xét vì a + b+ c + d + d < 9 x 5 = 45 nên nếu phép cộng có nhớ sang hàng chục thì nhớ nhiều nhất là 4, do đó phép cộng này không thể nhớ sang hàng trăm Vậy ab = 19 khi đó ta có :

19cd + 1+ 9 + c +d = 1990

1910 + cc + d x 2 = 1990

cc + d x 2 = 1990 – 1910 = 80

Vì 80 và d x 2 đều là số chẵn nên c là số chẵn và c < 8

Nếu lấy giá trị lớn nhất của d là 9 thì d x 2 = 9 x 2 = 18 thì giá trị nhỏ nhất của

cc là 80 – 18 = 62, hay giá trị nhỏ nhất của c là 6 Vậy c = 6

3.5 Bài toán về trung bình cộng.

Bài toán : Cho dãy số 1,2,3,5, 8, 13, 21.

a, Hãy xem số 8 là số trung bình cộng của năm số trong các số đã cho?

b, Hãy xem số 5 là số trung bình cộng của những số nào trong dãy đã cho?

- Trờng hợp 3 : Số 5 là số trung bình cộng của bốn số

Ta có : 5 x 4 = 20, trong dãy số không có 4 số nào có tổng bằng 20 (loại)

- Trờng hợp 4 : Số 5 là số trung bình cộng của năm số

Ta có : 5 x 5 = 25 Không có năm số nào trong dãy số có tổng là 25 (loại)

- Trờng hợp 5 : Số 5 là số trung bình cộng của sáu số

Ta có : 6 x 5 = 30 Không có 6 số nào trong dãy số có tổng là 30 (loại)

- Trờng hợp 6 : Số 5 là số trung bình cộng của bảy số

Ta có : 7 x 5 = 35 mà bảy số trong dãy số có tổng là 53 (loại)

Vậy có các số thoả mãn điều kiện bài toán là :

Số 5 là số trung bình cộng của 2 và 8

Số 5 là số trung bình cộng của 2, 5 và 8

Bài tập áp dụng Bài 1 : Trong một phép trừ biết tổng của hai số bì trừ, số trừ và hiệu bằng 6542

và hiệu lớn hơn số trừ 684 Tìm số bị trừ, số trừ và hiệu?

Bài 2 : Tổng của hai số lẻ liên tiếp là 284 Tìm hai số đó.

Bài 3 : Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó

thì đợc thơng là 11?

Bài 4 : Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số có tổng các chữ số là 5?

Bài 5 : Trung bình cộng của 3 số là 50 Tìm số thứ ba biết rằng nó bằng trung

bình cộng của hai số đầu?

Bài 6: Tìm số có hai chữ số sao cho nếu lấy 3 lần chữ số hàng chục trừ đi 1thì

Nếu c = 6 thì tích riêng thứ nhất :2b1

2b6 x 6 hiển nhiên là số có bốn chữ số

Nh vậy nếu a = 2 thì c = 6 ta xét tích riêng thứ ba :

2b6 x b = ***b, do đó b chỉ thể bằng 2,4,6,8

Nhng do b ≠ c và b ≠ a nên b chỉ lấy các giá trị 4, 8

Nếu b = 4 thì abc =246

Xét tích riêng thứ ba abc x b = 246 x 4 = 984 (không thoả mãn yêu cầu bài toán)

Vậy b = 8, khi đó ta có các thừa số 286 và 826

Thực hiện nhân : 286

x

826

1716

572

2288

236236

- Nếu a = 3 thì tích riêng thứ hai : 3bc x 3 = **3

Suy ra c phải bằng 1 Nhng khi đó tích riêng thứ nhất :

3b1 x 1 không phải là số có bốn chữ số (loại)

Vậy a không thể bằng 3

Nh vậy ta có phép tính 286 x 826 = 236236

Bài tập áp dụng Bài 1 : Tìm số ab biết aba x aa = aaaa

Bài toán 2 : Thay mỗi chữ số trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp để phép

tính đúng

a, abab + ab = 8568

b, 12abc = abc x 97

c, 7ab : 26 = ab

d, X + XA + XAN + XANH = 4321