Những sai sót thường gặp trong giảng dạy hình học lớp 10

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn cụm 05 – Môn Toán NHỮNG SAI SÓT THƯỜNG GẶP TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC LỚP 10 Tổ Toán- Tin THPT Nguyễn Hiền Trong giảng dạy ở bất kỳ loại lớp nào cũng có

Trang 1

Tài liệu sinh hoạt cụm chuyên môn (cụm 05) – Môn Toán

NHỮNG SAI SÓT THƯỜNG GẶP TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC LỚP 10

Tổ Toán- Tin THPT Nguyễn Hiền

Trong giảng dạy ở bất kỳ loại lớp nào cũng có những sai sót của học sinh Mức độ sai sót tùy thuộc vào trình độ của đối tượng học sinh lớp đó Có những sai sót rất ngô nghê, nhưng cũng

có những sai sót không dễ gì phát hiện được nếu ta không nắm vững kiến thức ở lĩnh vực đó Trong quá trình giảng dạy hình học lớp 10,chúng tôi thường gặp một số sai sót của học

sinh Nhận diện rõ những sai lầm của học sinh, “ bắt mạch” tìm nguyên nhân của sai sót đó để có hướng “ điều trị ” thích hợp nhằm giúp học sinh tránh sai sót, đó cũng là nhiệm vụ quan trọng của

người giáo viên trong giảng dạy

Với quan điểm cùng nhau học hỏi, góp ý trao đổi những kinh nghiệm với nhau để góp phần phục vụ tốt cho sự nghiệp giảng dạy của chúng ta, tổ Toán Tin trường Nguyễn Hiền cũng góp phần chía sẻ một số kinh nghiệm như sau:

Trong Toán học, đúng chỉ có một, nhưng cái sai thì vô vàn Mỗi sai sót đều có nguyên

nhân của nó, chúng tôi tạm chia các sai sót ra làm 3 loại như sau:

1/ Sai lầm trong ghi chép, tính toán

2/ Sai lầm trong sử dụng định nghĩa, công thức , tính toán

3/ Sai lầm do không nắm vững bản chất của kiến thức thuộc vấn đề đó

(Chúng tôi loại bỏ đối tượng lười học, không chịu học, quay cóp trong làm bài nên sai sót Đây là loại chúng ta không nói đến đối tượng này phổ biến ở các lớp hệ bán công trước đây)

I/ Sai lầm do ghi chép và tính toán:

Khi đọc bài làm của học sinh ta thường bắt gặp những lỗi ghi sai so với đề bài, ghi chép cẩu thả, dòng trên ghi đúng, dòng dưới ghi sai Tính toán không cẩn thận ví dụ như 32 = 6; … Đối tượng thường vấp những sai lầm này là những học sinh tiếp thu nhanh nhưng không cẩn thận, chủ quan, một số sai sót như:

 Ghi véc tơ nhiều khi thiếu dấu mũi tên, véc tơ không chỉ ghi số 0

 Ghi thứ tự các điểm đầu và cuối vec tơ không thống nhất

 Cách ghi phép toán về tọa độ vec tơ chưa được thống nhất Chẳng hạn như : Cho ( 2;3) ; (4; 2)

+ Cho học sinh trình bày trên bảng, giáo viên cho cả lớp nhận xét sửa sai

+ Giáo viên thường xuyên nhắc nhở học sinh cẩn thận kiểm tra bài làm,phân tích những chỗ sai lầm của học sinh

II/ Sai lầm khi dùng định nghĩa, công thức , định lý:

Một số học sinh không nắm vững định nghĩa, công thức, định lý nên đã sai lầm trong giải toán, mặc dù hướng giải bài toán đã được xác định Một số sai lầm thường thấy:

 Hai véc tơ bằng nhau, chỉ chú ý đến độ dài, quên yếu tố cùng hướng Ví dụ như cho ΔABC đều ta có   ABBCCA

.(Giáo viên cho học sinh nhắc lại định nghĩa hai vec tơ bằng nhau)

( H 1)

A

C

Trang 2

 Góc giữa hai véc tơ, học sinh thường quên yếu tố cùng gốc Ví dụ như cho Δ ABC đều

III/ Sai lầm do nắm không vững bản chất của vấn đề

Có những vấn đề, bài toán mà khi giải học sinh đi theo đường mòn nên dễ sai lầm khi gặp trường hợp cá biệt

a/ Sai lầm do bệnh máy móc rập khuông

Ví dụ1: Khi gặp bài toán: “ trong mặt phẳng cho 2 điểm A; B nằm cùng phía với đường

thẳng (d), tìm điểm M  (d) sao cho MA + MB ngắn nhất ” Học sinh đã giải: lấy điểm A’ đối xứng với A qua (d), gọi M  (d), ta có MA = MA’ nên MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B , do đó

MA + MB ngắn nhất khi A’, M và B thẳng hàng, hay M là giao điểm của A’B và (d) ( H3a)

A' M'

Ví dụ 2: Học sinh đều biết rằng nếu ABCD là hình bình hành thì có ABDC

nên khi gặp bài toán: Trong mpOxy có 3 điểm A(2; 1) ; B( 1; 5) và C( 3 ; 9) , tìm điểm D để ABCD là hình bình hành

Trang 3

Học sinh có thói quen là khi giải đến kết quả cứ yên tâm là đúng! Nếu ta tinh ý thì 4 điểm A;B;C;D này thẳng hàng Do đó bài toán này không tìm được điểm D thỏa mãn yêu cầu, vì 3 điểm A; B và C thẳng hàng

Vậy khi giải dạng toán này cần kiểm tra 3 điểm đã cho không thẳng hàng

Chú ý cho học sinh nắm vững: ABCD là hình bình hành  AB k AC

b/ Sai lầm do không lường hết các trường hợp, không nắm vững bản chất vấn đề

Ví dụ 3: Trong mpOxy có đường tròn (C): (x2)2 + ( y + 1)2 = 9, viết phương trình tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm M( 5; 4)

Học sinh đã trình bày:

Đường tròn ( C) có tâm I(2 ; 1) và bán kính R = 3

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (Δ ) qua điểm M, thì phương trình của ( Δ ) có dạng:

Giáo viên giúp học sinh thấy có một lớp các đường thẳng không có hệ số góc, đó là các đường thẳng song song với trục Oy, trong đó có đường x = 5 là tiếp xúc với ( C) Vì vậy khi dùng hệ số góc phải xét trường hợp đặc biệt gồm các đường song song với trục Oy

Để tránh tình trạng trên, nên dùng phương trình tổng quát của đường thẳng ( Δ ) qua một điểm M có pháp vec tơ n( ; )a b 0

 (3a 5b)2 = 9( a2 + b2 )  b = 0 hoặc 15a + 8b = 0

ta được 2 tiếp tuyến là ( Δ1) x = 5 và ( Δ2): 8x 15y + 100 = 0

y

x O

I A M

Trang 4

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABH và ACH ta được AB = 4 10 và AC =

Nguyên nhân sai lầm: Học sinh ngộ nhận chân đường cao H nằm giữa B và C, sót

trường hợp H nằm ngoài B và C Khi đó BC = 2 và cosA = 7

Ví dụ 5: Cho ΔABC cân tại A, cạnh đáy BC = 6, bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 5 Tính độ dài cạnh bên ?

Tóm tắt lời giải của học sinh:

Sử dụng đinh lý Sin cho Δ ABC ta có: 2 sin 6 3

 Nguyên nhân sai lầm: Có 2 giá trị của góc A có giá trị sinA = 3/5, đó là 2 góc bù

nhau, nên lời giải trên còn sót trường hợp cosA =  4

5, khi đó AB = 10

c/ Sai lầm do không kiểm tra lại yếu tố của đề cho

Ví dụ 5: ( Đ H Thương mại 1991)-Trong mpOxy cho ΔABC có A( 2 ; 1) phân giác

trong góc B có phtrình (d1): x  2y +1 = 0,

Phân giác trong góc C có phương trình(d2): x + y + 3 = 0, viết phương trình cạnh BC Học sinh đã trình bày( tóm tắt)

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua phân giác góc B, ta tìm được A1( 0; 3)

Gọi A2 là điểm đối xứng của A qua phân giác góc C, ta tìm được A2( 2;5)

Ta biết rằng phân giác là trục đối xứng của một góc nên A1 và A2 nằm trên đường thẳng

BC

Do đó phương trình đường thẳng BC qua A1 và A2 là 4x  y + 3 = 0

Qua lời giải trên học sinh cứ nghĩ là hoàn thành bài giải, và sẽ không tìm ra chỗ sai của lời giải trên Bởi vì các điểm đối xứng với điểm A qua phân giác trong và ngoài của góc tại đỉnh B đều nằm trên đường thẳng BC Trong trường hợp này ta vẽ và biểu diễn các điểm và các đường thẳng phân giác lên mpOxy thì ta thấy các đường thẳng đó không phải là phân giác trong của các

Trang 5

góc tại đỉnh B và C Vì vậy khi giải các bài toán thuộc loại này ta phải kiểm tra hai đỉnh A và C

có khác phía với (d1) không ( để(d1) là phân giác trong góc B)

x y

x +y +3=0 x-2y +1=0

(H5b)

(H5a)

B C A2

Ví dụ 6: Trong mpOxy cho Δ ABC có đỉnh B( 2; 1), đường cao AH và phân giác trong

góc C có phương trình lần lượt là: (d1) 3x  4y +27 = 0 và (d2): x + 2y  5 = 0 Viết phương trình các cạnh Δ ABC

Tóm tắt lời giải của học sinh:

Cạnh BC qua B( 2; 1) và vuông góc với AH nên có phương trình: 4x + 3y 5 = 0

Ta có C = BC  (d2) nên tọa độ điểm C( 1; 3)

Ta gọi B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác (d2) nên B’ nằm trên AC Ta tìm được B’(4; 3), khi đó phương trình cạnh AC là: y 3 = 0

A = AC  AH => tọa độ A( 5; 3) , phương trình cạnh AB: 4x + 7y 1 = 0 ( H6a)

Nhận xét: Lời giải ta đọc qua sẽ dễ dàng chấp nhận là đúng và chính xác Nhưng ta để ý rằng điểm B’ đối xứng với B qua phân giác trong hay góc ngoài của góc C đều nằm trên đường thẳng AC Do vậy ta phải kiểm tra lại xem A và B có nằm khác phía với phân giác (d2) không?

Ta dễ dàng nhận thấy A và B cùng phía với ( d2) ( H 6b)

H C A

B B' B'

H

A

Biện pháp khắc phục cho những sai lầm ở dạng này:

 Những sai lầm ở dạng này khá tinh vi, dễ xảy ra cho mọi đối tượng, vì vậy giáo viên cần phải làm cho học sinh thấy rõ bản chất của vấn đề khi giảng dạy lý thuyết Đồng thời chú ý những trường hợp đặc biệt của các vấn đề, các định lý, các công thức

 Cho học sinh tập phân tích mổ xẽ các lời giải của bạn, tìm các sai sót Nếu làm như vậy học sinh trình bày bài làm khá chặt chẽ, ít sai sót

Trang 6

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢNG DẠY MÔN ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 11

Tổ Toán – Tin THPT Trần Đại Nghĩa 1.Một ví dụ về khái niệm Cung lượng giác Nhiều học sinh sai lầm khi cho rằng, độ và radian là

hai đơn vị giống nhau nên viết x  300  k2  hoặc x k1800

3



  ; hoặc x = arcsin2/3 + k3600 Do vậy khi dạy khái niệm đơn vị đo góc và cung, giáo viên cần phải: nhấn mạnh hai đơn vị

đo “độ và radian” là khác nhau, chỉ dùng một trong hai đơn vị trong cùng một biểu thức, đồng thời

số đo cung và độ dài cung là khác nhau, lấy ví dụ để học sinh phân biệt

Trang 7

k, n Z 4

x  y  45  tg(x  y) 1  Sai lầm này dẫn đến nghiệm ngoại lai

Cuối cùng, x, y trong hệ ở đề bài có đơn vị đo là độ Nhưng trong lời giải tính x, y theo đơn vị đo radian

3.Trong chương Đại số tổ hợp nên đưa bài Nhị thức Niu Tơn về cuối chương để kiến thức về

Tổ hợp-Xác xuất được liên tục

4.Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí

(!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn

Trang 8

Ví dụ 02: Tìm

n n

2 ( 1) lim

 ; 3 1 u 3

  dãy   un là không tăng, không giảm

(!): Ta thấy rằng định lí Weierstrass về sự hội tụ của dãy đơn điệu và bị chặn có giới hạn chỉ là điều kiện đủ chứ không là điều kiện cần Bài toán được giải như sau:

  , nên áp dụng nguyên lí kẹp giới hạn ta suy ra

n

lim u 0

 

5 Sai lầm khi vận dụng không đúng về quy tắc nhân

Ví dụ 03: Một nhóm có 18 học sinh , trong đó co 7 học sinh lớp 12, 6 hs lớp 11 , 5 hs lớp

10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 em đi thi mà 1 khối có ít nhất 1 em

Cỏch giải của 1 bạn học sinh:

Ta sẽ chọn ra 3 em hs ở cả 3 khối , sau đó ta sẽ chọn ngẫu nhiên 5 em cũn lại trong số 15

Trang 9

NHỮNG SAI SÓT VÀ CÁCH KHẮC PHỤC MÔN HÌNH HỌC 12

Tổ Toán – Tin THPT Lê Hồng Phong

Vấn đề 1:Sai sót: Không xác định được chân đường cao của hình chóp đưa đến không

tính được thể tích Ví dụ : xác định chân đường cao của hình chóp S.ABC biết:

1a: Đáy ABC là tam giác đều và SA=SB=SC

1b: SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau

1c: SA,SB,SC tạo với đáy những góc bằng nhau

1d: Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy những góc bằng nhau

Khắc phục:Ngoài việc nhắc lại các định lý lớp 11 Ta còn xây dựng qui trình ngược như sau.Cho S  kẻ SH   Từ đó lấy A,B,C   thỏa:

1a: Tam giác ABC đều và H là trọng tâm CMR: SA=SB=SC

1b: AM,BN,CP lần lượt là ba dường cao,H là trực tâm và ba tam giác SAM,SBN,SCP vuông tại S CMR: SA,SB,SC đôi mọt vuông góc với nhau

1c: H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC CMR SA,SB,SC tạo với đáy những góc bằng nhau

1d :H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.CMR: Các mặt bên

Vấn đề 2: sai sót: Không xác định các yếu tố liên quan đến thiết diện khi cắt bởi mặt

phẳng qua các đường sinh của mặt trụ,nón ,cầu tạo ra.Ví dụ:

2a: Cho hính nón đỉnh S đáy là đường tròn tâm O Một thiết diện qua hai đường sinh.Hãy xác định hình chiếu của O đến thiết diện

2b: Cho hình trụ tâm O và O'.Một thiết diện qua hai đường sinh Hãy xác định hình chiếu của O đến thiết diện

2c: Cho hình cầu tâm O, A là điểm thuộc mặt cầu Một thiết diện của mặt cầu qua A không qua O Hãy xác định hình chiếu của O đền thiết diện

Khắc phục: Ta giải quyết bài toán bằng cách xem trụ, nón, cầu do hình chữ nhật, tam giác vuông , nửa đường tròn quay thích hợp tạo ra tức là qui về các bài toán sau

2a Cho hình chóp S.OAB ,SO là đường cao, đáy là tam giác cân tại O.Xác định chân đường cao kẻ từ O

2b Cho lăng trụ đứng O/A/B/.OAB,đáy là tam giác cân tại O Xác định hình chiếu của O xuống mặt bên A/B/AB

2c Cho mp  và O không thuộc mp đó Tìm tập hợp điểm A  sao cho OA=R không

đổi

Vấn đề 3: sai sót: Không chia hình chóp đaý tứ giác thành những hình chóp đáy tam giác

nhằm sử dụng công thức tỉ số thể tích bởi mặt phẳng cho bởi yếu tố song song, vuông góc

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành gọi M là trung điểm AD ,mpqua

BM và song song với SA lần lượt cắt SD tại P,SD tại N.Tính tỉ số thể tích hai phần đa diện tạo ra Khắc phục:Trước hết ,ta cho học sinh giải quyết bài toán chẻ nhỏ sau:

Cho hình chóp S.ABC Lấy G thuộc đoạn AC sao cho AG:AC=1:3.Mp())qua BG và song song với SA cắt SC tại P Tính tỉ số thể tích hai phần đa diện tạo ra

Vấn đề 4: sai sót: Không lập được pt mặt cầu ,mặt phẳng, đường thẳng do không nắm

được định nghĩa gốc

Ví dụ : Lập pt Mặt cầu biết tâm và bán kính,pt mặt phẳng biết qua điểm M và có VTPT,pt đường thẳng qua M và có VTCP

Khắc phục: Ngoài việc cho HS nhớ thuộc lòng công thức ta còn nhấn mạnh các pt đó các

pt đó công thức khoảng cách,tích vô hướng và tích véc tơ với một số Một số trong chúng xuất phát từ tiên đề nên việc hình thành không mang tính tự nhiên ,do vậy ta cần củng cố liên tục

Trang 10

Vấn đề 5: sai sót: không xác được hệ phương trình tương ứng khi giải bài toán tương giao

giữa các đối tượng và lúng túng khi sử dụng các kí hiệu trong pt tổng quát, tham số ,chính tắc

Ví dụ :Từ hai pt tham số của hai đường thẳng xét vị trí tương đối của chúng

Khắc phục:Ta cho học sinh thấy bản chất xuất phát các điều sau

5a/Ad1d2Ad1và A  d2 nên tọa độ A là nghiệm của hệ tạo bởi pt tham số của

Trang 11

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN

Tổ Toán – Tin THPT Nông Sơn

Hình học giải tích không gian được giới thiệu ở chương trình hình học lớp 12 - THPT qua

ba bài học:

§1 - Hệ toạ độ trong không gian

§2 - Phương trình mặt phẳng

§3 - Phương trình đường thẳng

Yêu cầu về chuẩn kiên thức đối với học sinh:

- Biết các khái niệm hệ toạ độ trong không gian, toạ độ vectơ, toạ độ điểm, biểu thức toạ độ các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm

- Biết khái niệm tích vectơ và ứng dụng của tích vectơ

- Biết phương trình mặt cầu

- Nắm được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Biết được điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Biết được phương trình tham số của đường thẳng và điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song nhau, vuông góc nhau

Yêu cầu về chuẩn kĩ năng cần đạt học sinh:

- Tính được toạ độ tổng, hiệu các vectơ, tích vectơ với một số, tích vô hướng và tích

có hướng hai vectơ, khoảng cách giữa hai điểm cho trước

- Viết được phương trình của mặt cầu cho trước

- Tính được diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp nhờ ứng dụng tích vectơ ( Đối với học sinh học chương trình nâng cao)

- Xác định được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và viết được phương trình tổng quát của mặt phẳng cho trước

- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Viết được phương trình tham số của đường thẳng cho trước

- Xác định được vị trí tương đối của hai đường thẳng khi biết phương trình của chúng

Theo đó nhận thấy nội dung chương trình thật sự gọn nhẹ, dễ tiếp cận, chuẩn yêu cầu không cao, dễ đáp ứng Vì thế phân môn hình học giải tích không gian dễ học, dễ dạy và là môn học được hầu hết học sinh yêu thích Hơn nữa, trong cấu trúc các đề thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐH&CĐ đều có ít nhất một câu, một điểm dành cho kiểm tra các nội dung này Như vậy, việc dạy tốt, học tốt hình học giải tích không gian là hết sức cần thiết

Theo phân công của trưởng cụm chuyên môn, tổ toán trường THPT Nông Sơn biên soạn chuyên đề: “Rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán hình học giải tích không gian” với hy vọng phần nào đáp ứng nhu cầu ôn tập chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào các trường ĐH&CĐ của học sinh các trường trong cụm

Chuyên đề gồm: A Tóm tắt lý thuyết

B Các bài toán thường gặp:

- Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng

- Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng

- Bài toán 3: Viết phương trình mặt cầu

- Bài toán 4: Tìm toạ độ điểm thoả điều kiện cho trước

Trong báo cáo lần này xin được trình bày hai bài toán 1 và bài toán 2

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I TOẠ ĐỘ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

1) ĐN: a (x;y;z) a  x i y j  k

Trang 12

2) Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ: Cho a    a a a1; ;2 3 , b    b b b1; ;2 3

3) Tích có hướng hai vectơ:

a Định nghĩa: Cho 2 vectơ

4i) Ba vectơ a b    , , c

,[AB ; S ABC =

2

AC]

,[AB

Trang 13

II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

2) Cặp vectơ chỉ phương của mp(): Cho hai véctơ không cùng phương, có giá song song hoặc

3) Phương trình mp(): Phương trình mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n 

= (A;B;C):

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) = 0

4) Các trường hợp đặc biệt:

- Mp(): Ax+By+Cz = 0: Đi qua gốc toạ độ

- Mp(): By+Cz+D = 0: Song song hoặc chứa Ox

- Mp(): Ax+Cz+D = 0: Song song hoặc chứa Oy

- Mp(): Ax+By+D = 0: Song song hoặc chứa Oz

- Mp(): Cz+D = 0: Song song hoặc trùng Oxy

- Mp(): By+D = 0: Song song hoặc trùng Oxz

- Mp(): Ax+D = 0: Song song hoặc trùng Oyz

Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0

- Phương trình mặt phẳng theo đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là:

Trang 14

7) Góc giữa hai mặt phẳng : Gọi  là góc hợp bởi hai mặt phẳng ( ), ( )   , ta có:

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:

1) Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

2) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a 

,

a b MN d

Trang 15

 Phương trình dạng: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d = 0 với a2 b2 c2d 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-a ; -b ; -c) và bán kính R  a2b2c2d

2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho       2

R

 2  2  2 (S) : x a y b z c và ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(), khi đó:

+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp() )

Chú ý: Các nội dung được in đậm là các nội dung giáo khoa chỉ dành cho học sinh học chương

trình nâng cao

B CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP:

BÀI TOÁN 1: Viết phương trình mặt phẳng

Lưu ý 1: Thông thường viết phương trình mặt phẳng bằng hai cách sau:

Lưu ý 2: Có thể tìm được trực tiếp vtpt của mặt phẳng hoặc gián tiếp thông qua cặp vtcp

của mặt phẳng Cũng có thể tìm một vtpt bằng cách tìm các thành phần toạ độ của nó dựa vào các giả thiết định lượng của bài toán

Phương trình của () : 2(x+1) -3(y-2) +3(z-1)=0 Hay: 2x-3y+3z+5 = 0

Ví dụ 2: Cho A(1;2;3) và đường thẳng d: 1 1 1

Phương trình của () : 4(x-1) +4(y+1) -6(z-1)=0 Hay: 2x+2y-3z+3 = 0

Ví dụ 3: Cho A(1;2;3), đường thẳng d: 1 1 1

Trang 16

(3;2;-Phương trình của () : 3(x-1) +2(y-2) -4(z-3)=0 Hay: 3x+2y-4z+5 = 0

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song cách đều 2 đường thẳng chéo nhau:

Phương trình của () : (x-2) -3(y-2) -2z=0 Hay: x –3y -2z+4=0

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua đường thẳng d: 1 1 1

Giải: Nhận thấy d và AB là hai đường thẳng chéo nhau Có đúng 2 mặt phẳng () thoả

yêu cầu bài toán:

Mặt phẳng () đi qua d và đi qua trung điểm I(-1/2;5/2;0) của AB Phương trình (): 16x+2y-17z+3=0

Mặt phẳng () đi qua d và song song với AB Phương trình ():

- Từ đó có 2 mặt phẳng thoả YCBT: (1): 2x+2y-z+4=0 và (2): 4x-8y+z-16=0

Ví dụ 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M(1;0;0), N(0;0;1) và hợp với mặt phẳng () : x+2y+2z-5=0 một góc  sao cho cos = 2/3

A(x Mặt phẳng ( ) qua N(0;0;1) nên: -A+C=0 (1)

- Mặt phẳng ( ) hợp với mặt phẳng () một góc  sao cho cos = 2/3 nên:

Trang 17

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua G(2;1;1), cắt Ox, Oy,Oz lần lượt tại A, B,

C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

Giải:

o Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) Nếu a=0 thì mp(ABC)  mpOyz, Mặt phẳng này không

đi qua G, vì thế a0 Lí luận tương tự cũng có b0, c0 Phương trình mặt phẳng ( ) :

o Gọi M(0;m;0), N(0;0;n) Nếu m=0 thì mp(BMN)  mpOxz, Mặt phẳng này không đi qua

A, vì thế m0 Lí luận tương tự cũng có n0 Phương trình mặt phẳng ( ) :

1 2

o Gọi ( ) là mặt phẳng bất kỳ qua A và song song đường thẳng d, gọi A/ là hình chiếu của

A trên d, ta có A/(3;1;4) Gọi H là hình chiếu của A/ trên ( ) , ta luôn có: A/H  AA/(không đổi) hay d(d;(P))  AA/

o Khi ( ) thay đổi, khoảng cách này bằng AA/ khi chỉ khi H trùng A Khi đó ( ) là mặt phẳng qua A vuông góc AA/

Phương trình ( ) : 7(x-10) +(y-2) -5(z+1)=0 Hay: 7x+y-5z-77 = 0

BÀI TOÁN 2: Viết phương trình đường thẳng

Lưu ý: Thông thường viết phương trình đường thẳng bằng hai cách sau:

Trang 18

Cách 1: Gọi d là giao tuyến 2 mặt phẳng, ta có:

- d đi qua điểm M(0;8;3) là điểm chung của hai mặt phẳng ( ) và ( )

Cách 2: Gọi d là giao tuyến 2 mặt phẳng( ) ,( ) M(x;y;x)d ta có: y+z+5=0 và

2x-z+3=0 Đặt x = t, từ hệ trên suy ra: 8 4

Hệ này là phương trình tham số của d

Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng qua A(0;1;-1), cắt và vuông góc đường

Trang 19

Phương trình đường thẳng d/ là phương trình đường thẳng AH:

- Gọi( ) là mặt phẳng qua A và d, phương trình ( ) : 4x+4y+3z-1=0

Đường thẳng d/ =( )   ( )  ; Phương trình đường thẳng d/ :

- Giao điểm của d và ( ) là M(0;0;-2)

- Hình chiếu vuông góc của N(12;9;1) trên ( ) là N/(186/35;-15/7;113/35)

phương trình đường thẳng d/ là phương trình đường thẳng MN/ :

6225

- Phương trình đường thẳng d/ là phương trình đường thẳng AB:

1 52

Trang 20

Phương trình đường thẳng d/ :

1 41

Phương trình đường thẳng d là Phương trình đường thẳng AM:

12

23

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d1 , vtpt của (P) là nP=[ u1, u ]=14(-1; 1; -1) và

phương trình của (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0  -x +y –z +7 = 0

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và d2, vtpt của (Q) là nQ=[u,u2]=(8; -23; 11)

phương trình của (Q) là: 8(x-2) - 23(y+1) + 11(z+1) =0  8x - 23y +11z - 43 = 0

- Rõ ràng d =( ) P  ( ) Q , phương trình tham số của d là :

t y

t x

5321

4322

Cách 2:

- Gọi A là điểm thuộc d1, B là điểm thuộc d2, khi đó: A(1+2t;-1+3t;5+t),

B(1+3k,-2+2k;-1+2k)

Trang 21

- AB là đường vuông góc chung của d1 và d2 khi chỉ khi: 1

3 3

- Phương trình đường thẳng AB:

4 3 7 5 3

Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của d là đường phân giác của

góc tạo bởi hai đường thẳng d1:

11

12

t y

t x

12

3

Giải:

- Nhận thấy d1 cắt d2 tại điểm I(3; 0; -1)

- Lấy A(1; -1; 0) d1 , Bd2 sao cho IA = IB Do Bd2 nên toạ độ của

B(3-t; 2t; -1+t), IA = IB suy ra t = 1 hoặc t = -1 đi đến B(2; 2; 0) và B(4; -2; -2)

Với B(2; 2; 0), gọi K là trung điểm của AB, ta có K= (

2

3

; 2

1

; 0) và đường phân giác

thứ nhất d đi qua I và K Phương trình d:

t y

t x

210

33

Với B(4; -2; -2), gọi K là trung điểm của AB, ta có K= (

2

5

; 2

Trang 22

Trang 23

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tổ Toán – Tin THPT Trần Đại Nghĩa

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

1/ Đường tròn lượng giác:

j

cotang tang

cos

sin

3 3

- 3 3

- 3 3 -1

-1

- 3

3 3

-1

- 3 2

- 2 2

-1 2

0

1 2

2 2

1 3 2

1

- 1 2

- 2 2

- 3 2

1 2

3

2 1

2 2

-

6 -

4 -

 6

 4

 2

32

12

Trang 24

3/Các lưu ý cần thiết:

sin(x+k) sinx ( nếu k nguyên chẳn)

sin(x+k)sinx ( nếu k nguyên lẽ)

cos(x+k) cosx ( nếu k nguyên chẳn)

cos(x+k)cosx ( nếu k nguyên lẽ)

tan(x+k) tanx ( k là số nguyên)

cot(x+k) cotx ( k là số nguyên)

5/Công thức liên hệ giữa các cung:

*Hai cung đối nhau:

cos(-x) =cosx (cos đối) sin(-x) =-sinx

tan(-x) =-tanx cot(-x) =-cotx

*công thức nhân đôi:

sin 2a  2 sin a.cosa

2 tana



Trang 25

*công thức nhân ba:

*công thức biến đổi tổng thành tích:

sina + sinb = 2sin (

2)4sin(

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG: Để giải bài toán này phương pháp thường gặp là thực

hiện một số phép biến đổi hợp lí (vì các công thức lượng giác rất đa dạng) để đưa bài toán về: + PTLG cơ bản

+ PTLG thường gặp:

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba, … đối với hslg

2 Phương trình bậc nhất đối với sinu, cosu

3 PT thuần nhất bậc hai đối với sinu, cosu

4 Phương trình đối xứng đối với sinu và cosu

+ Phương trình tích các PTLG cơ bản, các PTLG thường gặp

+ Hệ các PTLG: phần này ta thuờng sử dụng: “Đưa về tổng các bình phương, đánh giá hoặc dùng bất đẳng thức …” Các năm gần đây ít thấy ra dạng này nên tôi không giới thiệu trong chuyên đề này

Ngoài ra, ta còn sử dụng cách đặt ẩn số phụ hợp lí để đưa về phương trình theo ẩn phụ đó và giải tìm nghiệm

1/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

Trang 26





.sinx+

2 2a

b b



.cosx=

2 2a

c b

b b







,khiđó: pt(*) viết lại:

cos.sinx+sin.cosx =

2 2a

c b



 sin(x+) =

2 2a

c b



(pt cơ bản) b/Phương trình: a.sin 2 x+b.sinx.cosx+c.cos 2 x = 0 <2>

  không phải là ngiệm của<2>

-TH2:Xét cosx  0;chia 2 vế của pt<2> cho cos2x và đưa về dạng: a.tan2x +b.tanx+c = 0 ( pt này

cơ bản)

*Lưu ý:Nếu đề cho:: a.sin 2 x+b.sinx.cosx+c.cos 2 x +d = 0 <2*>

Thì ta biến đổi: d = d(sin2x+cos2x)=d.sin2x+d.cos2x thay vào <2*> đưa về dạng <2> hoặc vẫn làm như trên nhưng lưu ý: 2 12 (tan2 1)

Trang 27

+Cách1:đặt : t= sinx-cosx (  2 t 2 ), khi đó sinx.cosx =

212

3/ MỘT SỐ BIẾN ĐỔI THƯỜNG GẲP: “Để đưa về PT tích hay để rút gọn”

1) 1 sin 2 x(sinxcos )x 2; 1 sin 2 x(sinxcos )x 2

2) 1 tan sin cos

cos x 1 sin x 1 sin x 1 sin x  2 2    

sin x 1 cos x 1 cosx 1 cos x 6)

sin xcos x(sinxcos )(1 sin cos )x  x x , 3 3

sin xcos x(sinxcos )(1 sin cos )x  x x

8) cos4xsin4xcos2xsin2xcos 2x

Trang 28

/ 4 sin 3 3 sin 2 2 cos 4

f x x x g/ 2 cos3x sinx 3sin2x.cosx 0

2cos

sin

/ 3x 3x x x

d

212sin)sin)(cos

l x x x x m/ 1 sin  x cos 3x cosx sin 2x cos 2x

x

a/cos sin  2.cos3 b/sinx 2.sin5xcosx

0cossin

.33

x x

x

e/sin sin2 sin3 cos cos2 cos3

04cos3cos2

x x

h/cos3 sin3 1cos2 sin2 cos sin

Bài2:

0cos)sin1

x x

c/3(cos sin )1cos2 sin2 0

4

3cos22sin/ 2 x 2x 

d x

x x

e/cos4 sin6 cos2

x x

f /sin22 sin2 sin23 sin24

/ 8x 8x

h x

x x

k/sin 2sin2 3sin3 / sin(3 ) sin 2 sin( )

l x  x x3

*Một số phương trình lượng có cách giải đặc biệt:

a/sin2x -2cosx-2sin2x=0 b/sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 c/9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x-8=0 d/cos2x-2cosx-4sinx+sin2x=0 e/2sin2x+sin2x+sinx-cosx-1=0

Bài1:Giải các phương trình sau

a/5 s inx+cos3x+sin3x os2x+3

c/ cos3x – 4 cos2x + 3cosx -4 =0 (K.D-2002)

Trang 29

a/Cho tam giác ABC khômg tù, thoả:

cos2A+2 2cosB+2 2cosC=3

Tính các góc của tam giác (K.A-2004)

b/(2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin2x-sinx (K.D-2004)

c/5sinx-2=3(1-sinx).tan2x (K.B-2004)

a/cos23x.cos2x-cos2x=0 (K.A-2005)

d/sin 3x 3 cos 3x2 sin 2x (CĐ-A,B,D 2008)

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4xsin x (K.B-2009)

c/ 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx0 (K.D-2009)

d/(1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ-A,B,D 2009)

a/

1 sin cos 2 sin

14

b/(sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 (K.B-2010)

c/ sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 (K.D-2010)

Trang 30

cs in2x 2 cos x sin x 1 0

b/2(cosx 3 sin ) cosx xcosx 3 sinx1 (K.B-2012)

csin3xcos3x – sinx+cosx 2.cos2x (K.D-2012)

D/ NHỮNG ĐỀ DỰ BỊ TỪ 2002 ĐẾN 2006

a/Tìm m để phương trình: 2(sin4x+cos4x)+cos4x+2 sin2x-m=0

có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 0;

2 4

2 osx-1

x c

c



 (DB2.B-2003) e/

2

os ( osx-1)

2(1 s inx)sinx+cosx

a/4(sin3x+cos3x)=cosx+3sinx (DB1.A-2004)

b/ 1 s inx  1cosx  (DB2.A-2004) 1

d/2sinx.cos2x + sin2x.cosx = sin4x.cosx (DB1.D-2004)

a/Tìm nghiệm trong khoảng (0;) của phương trình sau

c/sinx.cos2x+cos2x(tan2x-1)+2sin3x=0 (DB1.B-2005)

d/tan( ) 3 tan2 2 os2x-12

Trang 31

e/tan(3 ) s inx 2

2 x 1+cosx



   (DB1.D-2005)

f/sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 (DB2.D-2005)

a/cos3x.cos3x-sin3x.sin3x=2 3 2

8

 (DB1.A-2006)

b/2sin(2x-6



)+4sinx+1=0 (DB2.A-2006)

c/cos3x + sin3x + 2sin2x=1 (DB1.D-2006)

d/4sin3x+4sin2x+3sin2x+6cosx=0 (DB2.D-2006)

e/(2sin2x-1)tg22x+3(2cos2x-1)=0 (DB1.B-2006)

f/cos2x+(1+2cosx)(sinx-cosx)=0 (DB2.B-2006)

Bài6:Giải các phương trình sau(các đề cao đẳng chọn lọc)

a/cos3x.sin2x – cos4x.sinx=1sin 3 1 osx

2 x c (CĐGT-2004) b/

2

os ( osx-1)

2(1 s inx)sinx+cosx

c x c

  (CĐGT-2005) c/ sin3x = sinx+cosx (CĐCK-LK-06)

d/sin2x+cos2x+sinx-2 os2

2

x

c =0 (CĐTCKT-06) e/sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x) (CĐSP.HẢIDƯƠNG-06)

f/cosx+cos2x=sin3x (CĐCN.QTDNTPHCM-06) g/sin3x+cos3x=1-1

2.sin2x (CĐBẾN TRE-06) h/2(sinx-cosx)2=tg(x-

4



) (CĐ ĐHBK-HÀ NỘI-06) k/sin4x-cos4x=2 3 sinx.cosx+1 (ĐHTẠI CHỨC-BK-Hà Nội) l/sin2x-2 2(sinx+cosx)-5=0 (Tham Khảo -2004)

m/ cos23x.cos2x-cos2x=0 (CĐ.A-2005)

E/MỘT SỐ KĨ NĂNG NHẬN DẠNG THƯỜNG DÙNG:

“Để vận dụng công thức lượng giác hợp lý để giải bài toán giải PTLG”

1/Khi gặp PTLG có chứa:

- “Bình phương, khác góc” ta thường sử sụng công thức hạ bậc

- “Tích các hàm số lượng giác sin và cos” ta thường biến đổi về tổng

- “Tổng các hàm số lượng giác sin và cos” ta thường biến đổi về tích

- “Góc gấp đôi nhau” ta thường sử dụng công thức nhân đôi

Trang 32

Bài toán 2: Giải PTLG sau:

(1 sin x cos 2x)sin x

14

.cos cossin cos

       “Góc 2x và 1x: nên sử dụng CThức nhân đôi”

27

sin

2

x x

Trang 33

Bài toán 4: Giải PTLG sau: 1 2 cos sin 

Nhận xét: “Ở bài toán này ta vận dụng các phép biến đổi ở trên để rút gọn vế phải, ở vế trái có

chứa tanx + cot2x ta biến đổi trước”

cosx sin 2x 3 cos 2x sinx

    “Ta chuyển cùng góc qua một vế để đưa về

dạng a.sinx + b.cosx”

cosx sin 2x 3 cos 2x sinx

3.sinx cosx sin 2x 3.cosx

Trang 34

Nhận xét: “Biến đổi và sử dụng cách giải PT: a.sinx + b.cosx = c” Ở bài toán này ta thấy có

chứa tích: cosx.sin2x nên ta biến đổi về tổng và có sin 3 x nên ta sử dụng công thức nhân ba để hạ bậc 3”

sin 3x 3 cos 3x 2 cos 4x

   “Ta chuyển cùng góc qua một vế để đưa về

Bài toán 8: Giải PTLG sau: 2.sin 22 xsin 7x 1 sinx (B – 2007)

Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc”

sin 7x sinx cos 4x 0

    “Tổng ta thường biến đổi về tích để đặt nhân tử chung”

2 cos 4 s in3xx cos 4x 0

cos 4 0cos 4 (2 s in3x 1) 0

sin 3 sin

6

x x

Bài toán 9: Giải PTLG sau: cos 3x cos2x cos x2  2 0 (A – 2005)

Nhận xét: “Bình phương, khác góc ta thường sử dụng công thức hạ bậc”

Bài toán 10: Giải PTLG sau: sin 2x cos2x 3s inx cos x 1 0     (D – 2010)

Nhận xét: “Góc 2x và 1x: nên sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi”

HD:PT2 sin cosx xcos 2x3sinxcosx 1 0 “Ở đây ta nhóm 2.sinx.cosx với cosx do

khi nhóm với 3.sinx ta không giải tiếp được”

Trang 35

Nhận xét: “Đưa về cùng một hàm số lượng giác” Ở bài toán này ta nhận thấy “cùng góc” nên

sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và đưa PT về cùng một hàm số sinx”

HD: PT 5sinx(1 sin x) 2(1 sin x) = 3(1 sinx).sin x 2   2  2 2sin x+sin x 5sinx+2=03 2 

Bài toán 12: Giải PTLG sau: cos3xcos2x cosx 1 0   (D – 2006)

Nhận xét: “Đưa về cùng một hàm số lượng giác” Ở bài toán này ta nhận thấy cos3x và cos2x ta

đều chuyển được về cosx nên sử dụng công thức nhân ba và công thức nhân đôi để đưa PT về cùng một hàm số sinx”

HD:

cos3x cos2x cosx 1 0

4.cos x 3.cosx 2 cos x 1 cosx 1 0

Bài toán 13: Giải PTLG sau: sin sin 2x xsin 3x6 cos3x

Nhận xét: “Biến đổi đưa về PT dạng:

Bài toán 14: Giải PTLG sau: sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3.sin2x.cosx (B – 2008)

Nhận xét: “Biến đổi đưa về PT dạng:

cos 4tan tan

Trang 36

4

x x

F/ KẾT LUẬN : Trên đây là một sô phương pháp cơ bản, một số dạng toán cơ bản, một số phép

biến đổi và một số kĩ năng thường sử dụng trong việc giải PTLG Không có kĩ năng hay phương pháp nào là tuyết đối, muốn giải tốt các bài tập dạng này học sinh phải nắm vững kiến thức lượng giác và giải nhiều bài tập để tự rút ra kinh nghiệm riêng cho bản thân mình

Trang 37

BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Tổ Toán – Tin THPT Quế Sơn

Hệ phương trình đại số là kiến thức rất quan trọng trong chương trình đại số THPT.Hệ phương trình là một trong những bài tập trong các đề thi đại học Nói chung để giải hệ ta cũng thường dùng các phương pháp quen thuộc như phương pháp thế ,phương pháp cộng đại số và phương pháp đặt ẩn phụ

Tất nhiên có nhiều dạng và mỗi dạng tương ứng với cách giải khác nhau tùy thuộc vào các bài tập cụ thể.Sau đây là một số dạng

723

83

2

z y x

(1)

Bài giải

Cách 1: Ta đưa về hệ tam giác để giải như sau:

+)Nhân hai vế phương trình thứ ba của hệ (1) cho -2 rồi cộng với phương trình thứ nhất vế theo

vế tương ứng , nhân hai vế phương trình thứ ba của hệ (1) cho 3 rồi cộng với phương trình thứ hai

vế theo vế tương ứng ,ta có hệ phương trình :

x y z

97

y x

2

y

x

Từ đó suy ra z = -1

Vậy hệ có 1 nghiệm (x;y;z) = ( 2;1;-1)

II)Hệ phương trình bậc hai , quy về bậc hai (hoặc bậc cao) 2 ẩn :

12

2 2

y y x x

y x

13

2 2

y x x

Trang 38

*)Có những hệ không thể rút được trực tiếp ẩn để thế ,ta phải biến đổi một phương trình của hệ

)4(02

y

c x

x y y x

303

3

2 2

v u

u v v u

30)(3

v u uv v

u

v u uv

303

SP S

5

uv

v u

9

y x

y x xy x

22

222

2

(6)

Bài giải

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta có : (x - y )(x+y -1) = 0  y = x hoặc y = 1- x

+)Với y = x ta có 3x2 - 3x = 0  x = 0 hoặc x = 1 ,Khi đó y = 0 và y = 1

+)Với y = 1 - x ta có x2 - x + 1 = 0 : PT vô nghiệm

x

y y x

43

Trang 39

+)Với x = y ta có -2y = 4  y = -2 Khi đó x = -2

3)Dạng 3: Dạng đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng

Bài 8 Giải hệ phương trình: 1 1 4

4)Dạng 4: Dạng biến đổi ,đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình giống dạng đối xứng

Bài 9.Giải hệ phương trình

5)(

22 2

2 2

y x

xy y

(

9)(

y x y x

xy y

(

])()[(

4

9)(

y x y x

y x y x y

(

0)(9)

y x

y

x

y x y

0

9 2 2

uv

v u

3

v u

3

y x

2

y x

3

y x

2

y x

Trang 40

2

2 2

y x y

y x y x

Tiêu đề	Những Sai Sót Thường Gặp Trong Giảng Dạy Hình Học Lớp 10
Tác giả	Nhóm Tổ Toán- Tin Trường Nguyễn Hiền
Trường học	Trường Nguyễn Hiền
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu sinh hoạt chuyên môn
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	86
Dung lượng	1,25 MB