Biểu thức trên biểu diễn tích chập của hai tín hiệu tuần hoàn.. Chú ý rằng biêủ thức này chỉ áp dụng cho hai dãy có chung một chu kỳ, và chiều dài của dãy tính theo biểu thức trên là 2N
Trang 1
1
0
¦ ) ( )
(
N
n
nk N W k f n
ở đây f(k) = f(kT) và W N = e - j2 /N W N được gọi là hạt nhân của phép biến đổi Tổng quát, F(n) có dạng
F(n) A(n)e j (n) (6.7)
Ký hiệu A(n), (n) gọi là phổ khuyếch đại và phổ pha của F(n)
6.2.1 Biến đổi ngược DFT
Hàm f(k) là biến đổi ngược DFT của F(n) cho bởi theo biểu thức
1
0
2
) (
1 ) (
N
n
nk N
j e n F N k f
Chứng minh: Từ định nghĩa của DFT
1
0
1
0
) (
1
0 1
0 1
0
) ( 1
) (
1 )
( 1
N m
N n
m k n N
kn N N
n N m
nm N N
n
nk N
W m f N
W W m f N
W n F N
(6.9)
1
0
) (
N
n
m k n N W S
Nếu (k = m) thì S = N
Nếu (k m), chúng ta có thể viết:
S = 1 + WN
(k -m ) + WN
2(k -m ) + + WN
(N-1)(k -m )
hoặc
) ( 2
)) ( 2 (
m) -(k N
m) -N(k N
1 1
W -1
W -1
m k N j
m k j
e e S
Khi e j2 (k-m) = 1 và e j2 /N (k-m) 1 với (k m), vì vậy S = 0 với (k m )
Vì vậy, biểu thức (6 9) có thể rút gọn thành
Trang 2f(k).N
1 )
( 1
0F n W N
nk
N
Kết quả này giống như biểu thức (6.8)
Khi f(k) có thể rút ra từ F(n) và ngược lại, chúng gọi là cặp biến đổi Cặp biến
đổi này có dạng
f(k)F(n)
Chú ý từ biểu thức (6.8) ta có thể dễ dàng chứng minh:
) (
) ( 1
) ( 1
1
0
2
1
0
) ( 2
k f
e n F N
e n F N
N n
nk N j
N n
N k n N j
(6.10)
Mặc dù f(k) được xác định trên miền k [0,N], nó vẫn là tín hiệu tuần hoàn
với chu kỳ NT (T được bao hàm và rút ra từ biểu thức 6.5)
6.2.2 Một vài tính chất của DFT
Tuyến tính Nếu ta có hai dãy tuần hoàn cùng f 1 (n) và f 2 (n), và cả hai dãy này
tuần hoàn với chu kỳ N, được dùng để tính
f 3 (k) = af 1 (k) + bf 2 (k) (6.11)
là kết quả của biến đổi DFT f 3 (n) cho bởi
F3(n) = aF1(n) + bF2(n) (6.12)
ở đây a, b là hằng số và
F 1 (n) = DFT của f 1 (k)
F2(n) = DFT của f2(k)
Tính đối xứng Tính đối xứng của DFT rất hay được dùng
nk N j N
nk N j N
k
N N j
N k
n N k N
e e k f
e e k f
W k f n
N F
2 1
2 1
0
2
1
0
) (
) (
) (
) ( )
(
)
Trang 3Nếu f(k) là thực thì
(
1
0
2
n F e
k f n
N F
N
k
nk N
j
(6.13)
Dấu * có nghĩa là liên hợp phức
Tích chập tuần hoàn Coi f 1 (k) và f 2 (k) là hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N, với
biến đổi Fourier rời rạc là F 1 (n) và F 2 (n) Xem xét tích F(n 1 ).F(n 2 )
1
0 1 1 1
1
1
1 1
N
k
k n N W k f n
)
( )
(
1
0 2 2 2
2
2
2 2
N
k
k n N W k f n
và tại các vị trí n 1 = n 2 = n
Đặt f 3 (k) = IDFT của F 1 (n).F 2 (n)
n
W n F n F N k
1
0
2 1
3 ( ) 1 ( ) ( )
vì vậy
1
0
) (
1
0 2 2 1
0 1 1
1
0
1
0
1
0
) ( 2 2 1 1
2 1 2
1
1 2
2 1
1 ) ( )
(
) ( ) ( 1
N
n
k k k n N N
k
N
k
nk N N
n
N
k
N
k
k k n N 3
W N k f k f
W W
k f k f N
(k) f
W
=
=
2
n -N
2 1
1 1
2
2 2 1
1
1
0
2 2 1 1 1
0
1
0 1 2 1
0 1 1 1
1 1 1
) ( ) (
) ( )
( )
( )
(
k N
k
k N N
n
N k
k n N N
k
k N
W k f k f
W k f W
k f n
F n F
Trang 4Chú ý là
0
1
0
) ( 1 2
N
n
k k k n W N
ở đây l là số nguyên Vì vậy mà
) (
) ( )
1
0 1 1 1
f
N
k
ở đây k = 0 đến 2N - 1
Biểu thức trên biểu diễn tích chập của hai tín hiệu tuần hoàn Chú ý rằng biêủ thức này chỉ áp dụng cho hai dãy có chung một chu kỳ, và chiều dài của dãy tính
theo biểu thức trên là 2N - 1 Kết quả này chứng minh rằng trong DFT, tín hiệu có
số mẫu lớn hơn N sẽ được biến đổi thành dãy tuần hoàn có chu kỳ N Khi dùng
DFT cho một tín hiệu không có chu kỳ, mà kết quả thu được từ tích hai dãy, ta sẽ
phạm một sai lầm gọi là lỗi wraparound Đó là lý do ta phải làm cho cả hai dãy
có chu kỳ bằng nhau Để sửa lỗi này, một số số 0 cần phải thêm vào cả hai dãy để
chiều dài hai dãy bằng nhau Ví dụ, nếu một dãy có chiều dài A, một dãy có chiều dài B, kết quả ta phải thêm các số 0 cho cả hai dãy có chiều dài ít nhất là A
+ B - 1
Bài tập 6.1
Cho hai dãy sau
0
1 ) (
1 k
0
1 ) (
2 k f
1 Tính bằng tay tích chập của hai dãy trên Vẽ một lưu đồ biểu diễn thuật toán
2 Làm lại phần 1, nhưng lần này sử dụng tích chập tuần hoàn
3 Lập một chương trình C rút ra f 3 (k) từ biểu thức f 3 (k) = IDFTDFT[f 1 (k)]
DFT[f 1 (k)] So sánh kết quả của phần 1 và phần hai
4 Bây giờ thêm các số không vào f 1 (k) và f 2 (k) để chu kỳ của chúng = 5 + 6 -
1 Làm lại phần 3 và so sánh kết quả
cho k = k 1 + k 2 + lN
các trường hợp còn lại
0 k 1 4 các trường hợp còn lại
0 k 1 5 các trường hợp còn lại
Trang 56.3 Thuật toán biến đổi nhanh Fourier
Tính trực tiếp giá trị của DFT bao gồm N phép nhân phức và N - 1 phép cộng phức cho mỗi giá trị của F(n) Khi N giá trị được tính toán thì N 2 phép nhân và
N(N - 1) phép cộng được tính toán Cũng như vậy, cho N có giá trị rất lớn, tính
trực tiếp giá trị của DFT sẽ đòi hỏi một số phép tính lớn đến mức không thể chấp
nhận được Để ví dụ, cho N = 1024 = 210 ta sẽ phải tính 220 = 1,048,576 phép nhân số phức và một số gần bằng như vậy các phép cộng
Hoàn thiện có nghĩa là phải giảm số phép tính trong biến đổi Fourier xuống Dưới đây chúng ta sẽ giới thiệu hai thuật toán hay dùng là thuật toán phân chia thời gian và thuật toán phân chia tần số DFT dùng các thuật toán trên gọi là Fast Fourier transform (FFT)
6.3.1 Thuật toán phân chia thời gian
Xem xét tính toán của DFT cho bởi (5.6) với N= 2 r (r là một số nguyên bất
kỳ) Cơ sở của thuật toán phân chia thời gian thì rõ ràng Tuy nhiên, việc thiết kế phần mềm cũng đòi hỏi một số phân tích chi tiết Để làm rõ các bước của thuật
toán này chúng ta sẽ bắt đầu phân tích với N = 16 và sau đó mở rộng ra áp dụng cho N bất kỳ
Cơ sở của thuật toán phân chia thời gian dựa trên cơ sở chiến lược chia và
chiếm Các bước sau sẽ làm sáng tỏ thuật toán Vì trong trường hợp này N =16;
nên,
15
0
16 ) ( )
(
k
nk W k f n
Chia dãy f(k) thành hai dãy, một dãy được rút ra từ phần tử chẵn và một dãy từ
những phần tử lẻ Đó là,
15
0
16 15
0
) ( )
(
k
nk k
nk
W k f W
k f n
k chẵn k lẻ
Chúng có thể viết thành
7
0
) 1 2 ( 16 7
0
) 2 (
) 2 ( )
(
k
k n k
k n
W k f W
k f n
Chú ý là
Trang 6
nk
nk j k
n j k
n
W
e e
W
8
8
2 )
2 ( 16
2 )
2 ( 16
7
0
8 16
7
0
) 2 ( )
(
k
nk n
k
nk
W k f W
W k f n
F
đặt
f 10 (k) f(2k)
f 11 (k) f(2k1)
Ta được
7
0
8 11 16
7
0
8
) (
k
nk n
k
nk
W k f W
W k f n
7
0
8 10
10 ( ) ( )
k
nk W k f n
7
0
8 11
11 ( ) ( )
k
nk W k f n
Viết lại biểu thức (6.16) chúng ta được
Cũng như vậy, phát triển cho một biểu thức
(n) F W -(n) F 8)
Biểu thức (6.19) và (6.20) định dạng những đơn vị tính toán gọi là bướm Hình 6.1 là biểu đồ của phần tử bướm Ký hiệu W 16 -n thường gọi là trọng lượng hay hệ
số xoay Hai biểu thức này biểu diễn bước cuối cùng trong lưu đồ tính toán của
hình 6.2
Bây giờ xem xét biểu thức
7
0
8 10
10 ( ) ( )
k
nk W k f n
F
Xử lý như trên chúng ta có
7 3
Trang 7Dễ thấy
W8-n W16-2n
đặt
1) (2k f (k) f
(2k) f (k) f
10 21
10 20
Hình 6.1 (a) Bướm; (b) Biểu diễn rút gọn
F10(n) F(n)
F11(n) F(n+8)
F10(n) F(n)
F11(n) F(n+8)
1
Trang 8Hình 6.2 Bước cuối cùng của thuật toán biến đổi FFT phân chia miền thời gian
X(k) ký hiệu vector chứa giá trị được tính qua phép biến đổi FFT
3
0
4 21 3
0
2 16 4
20
10( ) ( ) ( )
k
nk k
n nk
W k f W
W k f n
F
(n) F W (n) F (n)
(n) F W -(n) F 4) (n
3
0
4 20
20( ) ( )
k
nk
W k f n
3
0
4 21
21( ) ( )
k
nk
W k f n
Tương tự
F (n) F (n) W F 23 (n)
-2n 16 22
11 (6.25)
(n) F W -(n) F 4)
(n
F
16 22
3
0
4 22
22( ) ( )
k
nk
W k f n
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
F10(n)
F(n)
F11(n)
X(k) X(k)
Trang 984
3
0
4 23
23 ( ) ( )
k
nk W k f n
và f 22 (k) f 11 (2k)
f 23 (k) f 11 (2k1)
Biểu thức (6.21), (6.22), (6.25) và (6.26) có thể biểu diễn bằng sơ đồ hình 6.3
Biểu thức (6.23), (6.24), (6.27) và (6.28) có thể tiếp tục chia nhỏ ra như các bước
đã làm ở trên như sau:
(n) F W -(n) F 2) (n
(n) F W -(n) F 2) (n
(n) F W (n) F (n)
(n) F W -(n) F 2) (n
(n) F W (n) F (n)
(n) F W -(n) F 2) (n
k
30 30 2
0
1
k
31 31 2
0
3
., vv
Các biểu thức từ (6.29) đến (6.36) cho kết quả trong bước thứ ba của thuật toán
và biểu diễn trong lưu đồ hình 6.4.Mỗi phần tử từ F 30 (n) đến F 37 (n) có thể chia
tiếp thành hai phần tử nữa và bước này tạo thành sơ đồ cuối cùng (bước đầu tiên)
trong lưu đồ
0
1
2
3
0
1
0
1
2
3
4
0
F20(n)
2
F21(n)
F10(n)
X(k)
Hệ số xoay n=0 đến 3
Trang 10Hình 6.3 Bước thứ hai sau bước cuối cùng trong thuật toán FFT
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
F30(n)
F31(n)
F32(n)
F33(n)
F34(n)
F35(n)
F36(n)
F (n)
X(k) X(k)
Dãy
đầu
vào
đã
được
sắp
xếp
lại
