Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông

Lập thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút của phần tử thanh bê tông cốt thép.. Mở đầu Biến dạng dẻo và sự có mặt của các khe nứt trong bê tông làm cho sự phân bố nội

PHÂN TÍCH HỆ THANH BÊ TÔNG CỐT THÉP

CÓ XÉT ĐẾN ĐẶC TRƯNG BIẾN DẠNG CỦA BÊ TÔNG

ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE FRAME STRUCTURE

CONSIDERING THE DEFORMATION CHARACTERISTIC OF CONCRETE

TRỊNH QUANG THỊNH

Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông: biến dạng dẻo, khe nứt nhằm đánh giá sự phân bố lại nội lực, để kết quả phân tích chính xác hơn và

sử dụng vật liệu hiệu quả hơn

Lập thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút của phần tử thanh bê tông cốt thép Kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu bê tông cốt thép trên máy tính điện tử

ABSTRACT

Analysis of reinforced – concrete frame structure with consideration to deformation characteristic of concrete: plastic strain, cracks, and others is used to determine the redistribution of stress, to achieve more accurate analysis results and to use materials more effectively The paper also presents the establishment of algorithm to build matrix of stiffness and node stress vector of reinforced – concrete frame elements, and in combination with the Finite Element Method to analyze reinforced-concrete structures on computer

1 Mở đầu

Biến dạng dẻo và sự có mặt của các khe nứt trong bê tông làm cho sự phân bố nội lực trong các kết cấu bê tông cốt thép khá phức tạp

Các phần mềm để phân tích kết cấu công trình phần nhiều là sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên việc xem xét một cách đầy đủ và chính xác ảnh hưởng của biến dạng phức tạp của bê tông trong việc xác định độ cứng và ứng lực nút của các phần tử mẫu cho phương pháp phần tử hữu hạn còn hạn

chế

Bài viết này muốn đề xuất một biện

pháp kết hợp các qui tắc tính toán hiện có

để giải quyết khó khăn này

2 Cơ sở lý thuyết

Xét dầm chịu uốn với tải trọng tăng

dần: lúc đầu chưa bị nứt, toàn bộ tiết diện

bê tông chịu ứng suất, dầm có độ cứng lớn

Tải trọng tăng, bê tông có biến dạng dẻo,

vết nứt xuất hiện, tại tiết diện nứt mô men

bc’

Fa’

hc

hc

Fa

bc

b

h0

Hình 1: Tiết diện dầm tại vị trí khe nứt

quán tính giảm làm giảm rõ rệt độ cứng của dầm

2.1 Các đặc trưng hình học và biến dạng của cấu kiện bằng bê tông cốt thép thường sau khi xuất hiện khe nứt

* Diện tích miền BT chịu nén qui đổi:

Fbqđ=(bc’ - b).hc’ + n

ν .Fa’ + b.x (1 - 1)

* Độ cứng chống uốn của TD: B =

















+

bqd b

b a

a

a

F E F

E

Z h

1 0

ν

ψ

Trong đó:

ν là hệ số đàn hồi của bê tông

Ζ1 khoảng cách từ hợp lực vùng nén đến trọng tâm cốt thép chịu kéo

ψb: Hệ số xét đến biến dạng không đều của thớ bê tông chịu nén ngoài cùng, (lấy = 0.9 trong các trường hợp bình thường, khi chịu tải trọng rung động lấy = 1)

ψa: Hệ số xét sự làm việc chịu kéo của bê tông; (ψa ≤ 1)

* Độ cứng của thanh khi chịu kéo (nén): EF

Cấu kiện chịu kéo lệch tâm có lực dọc Nc nằm trong phạm vi giữa các trọng tâm cốt thép Fa và Fa’: .( );

'

a

a a

E EF

ψ

+

Cấu kiện chịu nén lệch tâm: ( . . . );

a

bqd b a

E EF

ψ

ν

+

2.2 Ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử trong phương pháp phàn tử hữu hạn

Tổng quát với phần tử thanh lăng

trụ trong bài toán phẳng (hệ thanh

phẳng):

Gọi q1, q2 là tải trọng phân bố

theo phương trục 1, trục 2, m là mô men

phân bố

Gọi t1, t2 là nhiệt độ tăng lên ở mặt dưới và mặt trên của phần tử

Các thành phần chuyển vị {V} = {u, v, ϕ} (u: chuyển vị

thắng dọc trục 1, v: chuyển vị thắng theo trục 2, ϕ: chuyển vị

xoay quanh trục 3)

Và nội lực {F} = {N, Q, M.} (qui ước dấu theo hình vẽ

bên)

- Vectơ chuyển vị nút {δ} ≡ [δ1δ2 δ6]T≡ [u1 v1ϕ1 u2 v2

ϕ2]T;

- Vectơ ứng lực nút {F} ≡ [F1 F2 F6]T ≡ [N1 Q1 M1 N2 Q2 M2]T;

- Các quan hệ vi phân giữa chuyển vị và nội lực:

2 1

3

Hình 2: Phần tử thanh phẳng

u 1 - N 1

v 1 - Q 1

ϕ 1 - M 1

v 2 - Q 2

ϕ 2 - M 2

u 2 - N 2

N

Q

M



























































dx

dM

dx

dQ

dx

dN

dx

d

dx

dv

dx

du

ϕ

=













































−1 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0

1 0 0 0

J E

F E

x









































M Q N

v u

ϕ

+













































−

−

−

− +

m q q l

t t

t t

2 1

1 2

2 1

2

02

α

α

; (2 - 1)

Hay

dx

dZ

= [A] {Z} + {B}; (2 - 2)

Theo phương pháp phần tử hữu hạn - Mô hình chuyển vị, có được phương trình cơ

bản của phần tử hữu hạn: [K] {δ} = {F};

[K] -Ma trận độ cứng của phần tử

{δ} -Vectơ các chuyển vị nút

{F} -Vectơ các lực nút tương đương của phần tử

Với phần tử thanh có các đặc trưng tiết diện không thay đổi, có thể với các phép khai triển tích phân thông thường, hoặc với các tiết diện quen thuộc có thể sử dụng các bảng tra lập sẵn để xác định các phần tử của ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần

tử

3 Phương pháp giải với cấu kiện bê tông cốt thép

Với cấu kiện bê tông cốt thép, do các đặc trưng của tiết diện: độ cứng dọc trục EF, độ cứng chống uốn B (tương đương với EJ) xác định theo (1-3), (1-12) là thay đổi nên chưa thể giải được nghiệm đúng của hệ phương trình trên Trong trường hợp này, có thể giải theo phương pháp gần đúng Runge-Kutta (bậc 4):

Phương trình (2 - 2) được viết lại:

































)

(

)

(

)

(

2

1

x

Z

x

Z

x

Z

dx

d

n

=

































) (

) ( )

(

) (

) ( ) (

) (

) ( )

(

2 1

2 22

21

1 12

11

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

nn n

n

n n

x

































) (

) (

) (

2 1

x Z

x Z

x Z

n

+

































) (

) (

) (

2 1

x b

x b

x b

n

; (2 - 3)

Nghiệm của hệ phương trình tại x: Z(x) = α(x).Z(0) + β(x); (2 - 4) Với khoảng chia h, tại x+h có: Z(x+h) = α(x+h).Z(0) + β(x+h); (2 - 5) Với các công thức truy hồi, có được sự liên hệ của các giá trị α và β ở 2 bước tích phân x và x+h như sau:

i i i i

ij

i x+h = x + K +2(K +K )+K

6

1 ) ( )

( IV )

ij ij

ij ij

ij

ij x+h = x + K +2(K +K )+K

6

1 ) ( )













+

=

n p

ip p

i

K

1

'

) ( )

( )

(

































+ +

=

n p

ip p p

i i

h x a K x

h x b h

K

1

' ''

) 2 ( 2

1 ) ( )

2 (

































+ +

=

n p

ip p p

i i

h x a K x

h x b h K

1

'' ''

) 2 ( 2

1 ) ( )

2 (













+ +

+ +

=

n p

ip p p

i

IV

K

1

''

) ( )

( )

(

=

= n

p

pj ip

K

1

'

) ( )

(

∑







+

= n

p

pj pj

ip

K

1

' ''

2

1 ) ( )

2 (

∑







+

= n

p

pj pj

ip

K

1

'' ''

2

1 ) ( )

2 (

∑

=

+ +

= n

p

pj pj

ip

IV

K

1

''

) ( )

(

Vậy hàm Z(x) được xác định với mọi điểm nếu biết Z(0) và với các giá trị [α(0)] = [I]

và {β(0)} = {0};

Với phần tử (ik), (2 – 4) sẽ là:

Z(k) = α(k).Z(i) + β(k);

Hay { }

{ } [ ] [ ]

[ ] [ ] { } { }i { } { } K

i K k

k

F

V F

V











 +

























=













2

1 4

3

2 1

β

β α

α

α α

⇒ {Vk} = [α1]k.{Vi} + [α2]k.{Fi} + {β1}k; (2 - 6)

{Fk} = [α3]k.{Vi} + [α4]k.{Fi} + {β2}k; (2 - 7) (2 - 6) ⇒ {Fi} = [ ] 1

2 −

k

α {Vk} - [ ] 1

2 −

k

α [α1]k.{Vi} - [ ] 1

2 −

k

α {β1}k; (2 - 7) ⇒{Fk}=([α3]k-[α4]k.[ ] 1

2 −

k

α [α1]k).{Vi}+[α4]k.[ ] 1

2 −

k

α {Vk}-[α4]k.[ ] 1

2 −

k

α {β1}k)+{β2}k; Mặt khác: {F} = [K] {δ} + {F0};

u 1 - N 1

v 1 - Q 1

ϕ 1 - M 1

v 2 - Q 2

ϕ 2 - M 2

u 2 - N 2

Hay: { }

0

,

, ,















 +

























=











−

k

i

F

F V

V Kk

K

K K

F

F

k

i i

ki

k ik i

ik k

i

Vậy, ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử đang xét:

[ ]K ik,i = [ ] 1

2 −

k

α .[α 1 ] k ; [K ik,k] = -[ ] 1

2 −

k

α ; { }0

i

F = [ ] 1

2 −

k

α .{β 1 } k ;

[ ]K ki,i = [α 3 ] k - [α 4 ] k [ ] 1

2 −

k

α .[α 1 ] k ; [K ki,k] = [α 4 ] k ( [ ] 1

2 −

k

α ;

k

F = {β 2 } k - [α 4 ] k [ ] 1

2 −

k

α .{β 1 } k ;

4 Kết quả và thảo luận

Xét dầm có sơ đồ và tiết diện như hình vẽ,

Với tiết diện ban đầu xem bê

tông là vật liệu đàn hồi, độ cứng của

dầm là EJ= 5.103 T.m2; Nội lực xác

định được như sơ đồ

Xác định độ cứng của dầm bê tông

cốt thép theo (1-3), có được sự phân bố lại

nội lực như sơ đồ sau:

- Theo kết quả phân tích, nếu có xét biến dạng dẻo và nứt trong bê tông thì độ cứng của dầm thay đổi đáng kể Tại tiết diện có nội lực xấp xỉ giới hạn chịu lực, độ cứng có thể giảm 2-3 lần độ cứng ban đầu

- Giá trị của hệ số đàn hồi của bê tông giảm nhiều khi ứng suất tăng, do đó độ cứng của dầm không những thay đổi nhiều hơn, mà còn khác nhau nhiều giữa các tiết diện có nội lực chênh lệch lớn Nếu xét đến yếu tố này sự phân bố lại nội lực càng rõ rệt

- Phân tích kết cấu bê tông cốt thép nếu không xét sự phân bố lại nội lực do độ cứng của các cấu kiện thay đổi sẽ làm mất ý nghĩa của những cố gắng chính xác hóa khi tính toán tiết diện bê tông cốt thép

2φ18

500

200 2φ20

q=1.5T/m

6m

5 Kết luận

- Với thuật toán trên, các đặc trưng biến dạng của bê tông là các số liệu rời rạc có được

từ thực nghiệm có thể sử dụng để xác định độ cứng của từng tiết diện của cấu kiện tùy theo giá trị nội lực

- Khi phân tích kết cấu bê tông cốt thép nếu xét quan hệ giữa đặc trưng biến dạng và ứng lực trong bê tông, phải xác định đặc trưng biến dạng của bê tông khi chưa biết nội lực Điều này sẽ làm cho khối lượng tính toán trở nên rất lớn nếu tính theo phương pháp lặp, vì vậy cần tìm một phương pháp tốt hơn để xác định quan hệ này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Ngô Thế Phong (Chủ biên), Kết cấu Bê tông cốt thép (Phần cấu kiện cơ bản), Tính

toán cấu kiện Bê tông cốt théptheo trạng thái giới hạn thứ 2 1995: 83-90

[2] Nguyễn Quốc Tuấn, Bài giảng Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích kết

cấu công trình

[3] NguyễnViết Trung, Thiết kế Kết cấu Bê tông cốt thép hiện đại theo tiêu chuẩn ACI,

Chương 9: Khả năng khai thác 1999: 384-405

[4] Arthur H Nilson, Design of Concrete Structures-Twelfth Edition Chapter 6

Serviceability 1997: 211-230