Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14 pptx

Hàm truyền 7.18 có thể biến đổi tương đương về dạng: C z G z − − K Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.

Ta có:

u k( )

z−

←→

1 1 Z

⇒ ( )

−

−

1

1

Z

kTu k

z z

−

−

−

−

1

1 Z

Vậy ( ) ( )

r k kTu k

z z

−

−

−

−

1

1

4- Hàm mũ

Hàm mũ liên tục trong miền thời gian:

x(t) = e at nếu t

nếu t < 0

−







0 0

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T,

ta được:

x(k) = e kaT nếu k

nếu k < 0

−







0 0

⇒ x(k) = e–kaTu(k)

Theo định nghĩa:

( )

0

Z

1 e zaT − e zaT −

Nếu ( ) 1

1 aT

e z − < thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra: { ( )}

1

z

x k

z e

− Z

(1 )

1

kaT

aT aT

z

z e

e z

−

−

−

−

Z

(ROC e z: aT > ⇔1 z > e−aT )

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:

( )

a u k

z a

az−

−

1 1 Z 7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

Cho hàm X z , bài toán đặt ra là tìm ( ) x k Theo công thức ( ) biến đổi Z ngược, ta có:

( ) ( ) k

C

=

1 2 với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X ZZZZ và bao ( ) gốc tọa độ

Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau:

Cách 1: Phân tích X z( ) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến đổi Z

Ví dụ 7.1 Cho ( )

( )(z )

X z

=

−2 −3 Tìm x(k)

Giải. Phân tích X ZZZZ , ta được: ( )

( ) ( z ) z

X z

−

Tra bảng biến đổi Z:

( )

a u k

z a

←→

−

Z

Cách 2: Phân tích X z( ) thành chuỗi lũy thừa

Theo định nghĩa biến đổi z:

k

+∞

=

0

Do đó nếu phân tích X z thành tổng của chuỗi lũy thừa ta ( ) sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z–k

Ví dụ 7.2. Cho ( )

( )(z )

X z

=

−2 −3 Tìm x(k)

−2 −3 2−5 +6 Chia đa thức, ta được:

( )

X z =z−1+5z−2+19z−3+65z−3+K

Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65, g

Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui

Ví dụ 7.3. Cho ( )

( )(z )

X z

=

−2 −3 Tìm x(k)

Giải. Ta có: ( )

X z

−

1

⇒ (1 5− z−1+6z−2)X z( )=z−1

⇒ X z( )−5z X z−2 ( )+6z X z−2 ( )=z−1

Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được:

x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) = δ(k – 1)

⇒ x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) + δ(k – 1)

Với điều kiện đầu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0

Thay vào công thức trên ta tìm được:

x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65, g

Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư

( ) Re k 1 ( ) k–1 ( )

tại các cực của z X z

x k =∑ s z − X z 

Nếu ZZ là cực bậc một thì: o

Res zk− X z z zo z z zo k− X z z zo

Nếu ZZ là cực bậc p thì: o

( )

( ) ( ) ( )

o

Re

!

−

−

0

1

1 1

1

Ví dụ 7.4. Cho ( )

( )(z )

X z

=

−2 −3 Tìm x(k)

Giải. Áp dụng công thức thặng dư, ta được:

x k Res z − X z Res z − X z

Mà:

= ( )

( )( )

k

z

z

−

=

−

1

2 2

k

k z

z

z−3 =2 = −2

= ( )

( )( )

k

z

z

−

=

−

1

3 3

k

k z

z

z−2 =3 =3

7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN

7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân:

a c k n+ +a c k n1 + − + +1 K a −1c k+ +1 a c k =

= b r k mo ( + )+b r k m1 ( + − + +1) K bm−1r k( + +1) b r km ( ) (7.17) trong đó n ≥ m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc

Biến đổi z hai vế phương trình (7.17) ta được:

a z C z +a z1 −1C z + +K a −1zC z +a C z =

b z R z +b z1 −1R z + +K b −1zR z +R z

−

( )

−

⇔ ( )

( )

C z

−

−

−

−

=

1

1

K K Đặt: ( ) ( )

( )

C z

G z

−

−

−

−

1

1

K

( )

G z được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc

Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng: ( ) ( )

( )

C z

G z

−

−

K

Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn

Ví dụ 7.5. Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:

c k+3 +2c k+2 −5c k+ +1 3c k =2r k+2 +r k

Tìm hàm truyền của hệ thống

Giải. Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được: z C z3 ( )+2z C z2 ( )−5zC z( )+3C z( )=2z R z2 ( )+R z( )

⇒ ( ) ( )

( )

G z

+

2

( )

G z

+

2

7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối

Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu Xét một số sơ đồ thường gặp sau đây:

1- Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 7.6 Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

( ) ( )

( ) ( ) ( )

C z

R z

trong đó: G z1( )=Z{G s1( )}; G z2( )=Z{G s2( )}

Ví dụ 7.6. Cho G s( ) và G s2( )

đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6

Giải. Tra bảng biến đổi Z, ta có:

z

s a z e−

z

s b z e−

Do đó dễ dàng suy ra:

( ) ( )

z

G z G z

z e− z e−

=

2

2- Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

Hình 7.7 Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

( ) ( )

( ) ( )

C z

R z

trong đó: G G1 2=Z{G s G s1( ) 2( )}

Cần chú ý là:

( ) ( ) { ( )} { ( )} { ( ) ( )} ( )

G z G z1 2 =ZZZZ G s1 ZZZZ G s1 ≠ZZZZ G s G s1 2 =G G z1 2

Ví dụ 7.7 sẽ minh họa điều này

Ví dụ 7.7. Cho G s( ) và G s2( )

đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7

Giải. Tra bảng biến đổi z, ta có:

G G z( ) {G s G s( ) ( )} ( )( )

s a s b

(b a s a) ( ) (a b s b) ( )

Z (b a s a) ( ) (a b s b) ( )

G G z

−

=

1 2

Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở ví dụ 7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau g

3- Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

Hình 7.8 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số

( ) ( )

( ) ( )( )

G z

+

trong đó: G z( )=Z{G s( )}; GH z( )=Z{G s H s( ) ( )}

Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có:

( ) ( )

( )

( ) ( )

G z

+

Ví dụ 7.8. Cho G s( ) và H s( )

đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7

Giải. Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm ở ví dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính được:

z

s a z e−

1

( ) { ( ) ( )} { } ( )

−

Thay vào công thức (7.22) ta được:

( ) ( )

aT

z

G z

−

−

+

1

1

bT

G z

−

=

4- Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp

Hình 7.9 Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau:

( ) ( )

( ) 1

RG z

C z

GH z

=

trong đó: RG z( )=Z{R s G s( ) ( )}; GH z( )=Z{G s H s( ) ( )}

5- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận

Hình 7.10 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ

trong nhánh thuận ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

G z

+

trong đó: G z( )=Z{G s( )}; H z( )=Z{H s( )}

6- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận

Hình 7.11 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu

nối tiếp ở nhánh thuận ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

G z

+

1 trong đó: G z1( )=Z{G s1( )}; G z2( )=Z{G s2( )}

G H z2 ( )=Z{G s H s2( ) ( )}

7- Sơ đồ dòng tín hiệu - Công thức Mason cho hệ rời rạc

Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương 2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc sau đây:

Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG ZZZZ ( )

Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống

Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z

Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào

Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, độc giả có thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã

dẫn ra trong mục 7.3.2 này

7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI

7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân

1- Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu

ra mô tả bởi phương trình sai phân:

( + )+ 1 ( + − + +1) n−1 ( + +1) n ( )= o ( )

Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1 Nếu ao ≠ 1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có dạng (7.26)

Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc một

Đặt các biến trạng thái như sau:

( ) ( )

x k1 =c k

( ) ( )

x k2 =x k1 +1 ⇒ x k2( )=c k( +1 )

( ) ( )

x k3 =x k2 +1 ⇒ x k3( )=c k( +2 )

x k =x −1 k+1 ⇒x k =c k n+ −1 ⇒x k+1 =c k n+ Thay vào phương trình (7.26) ta được:

x k+ +1 a x k1 + +K a −1 2x k +a x k1 =b r k

⇒ x kn( +1)= −a x k1 n( )− −K an−1 2x k( )−a x kn 1( )+b r ko ( )

Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trình sau:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )











1

1

1

1 1

M

K

Viết lại dưới dạng ma trận:

n

n

x k

x k

x k−

+

+

1

2

1

1

1

1

1

K K

K K

( ) ( )

( ) ( )

n n

x k

x k

x k−

1 2 1

o

b

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0

M r(k)

Đáp ứng của hệ thống:

( ) ( )

( ) ( )

1

n n

x k

x k

x k−

2 1

1

Đặt:

x(k) =

( ) ( )

( ) ( )

n n

x k

x k

x k−

1 2

1

=

K K

K K A

Bd =

b

 

 

 

 

 

 

 0

0 0 0

M Cd = [1 0 K 0 0]

Ta được hệ phương trình biến thái:

( ) ( )

d



=



Ví dụ 7.9. Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: 2c k( +3)=c k( +2)+5c k( + +1) 4c k( )=3r k( )

Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống Giải. Ta có: 2c k( +3)=c k( +2)+5c k( + +1) 4c k( )=3r k( )

⇔ c k( +3)+0 5, c k( +2)+2 5, c k( + +1) 2c k( )=1 5, r k( )

Đặt biến trạng thái như sau:

( ) ( )

x k1 =c k ( ) ( )

x k2 =x k1 +1 ( ) ( )

x k3 =x k2 +1 Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:

( ) ( )

d



=



C x trong đó: x(k) =

( ) ( ) ( )

x k

x k

x k

1 2 3

Ad =

Bd =

o

 = 

   

 

1 5

Cd = [1 0 0 ]

2- Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào

Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu

ra mô tả bởi phương trình sai phân:

c k n+ +a c k n1 + − + +1 K a −1c k+ +1 a c k =

= b r k no ( + )+b r k n1 ( + − + +1) K b r kn−1 ( + +1) b r kn ( ) (7.27) Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1 Nếu ao ≠ 1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có dạng (7.27)

Đặt các biến trạng thái như sau:

( ) ( ) o ( )

x k1 =c k − β r k

( ) ( ) ( )

x k2 =x k1 + − β1 1r k

( ) ( ) ( )

x k3 =x k2 + − β1 2r k

x k =x −1 k+ − β1 −1r k

Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:

⇒ x kn( +1)= −a x kn 1( )−an−1 2x k( )− −K a x k1 n( )+ βnr k( )

trong đó:

o bo

β =

o

β =1 1− β1

β =2 2 − β − β1 1 2 0

o

β =3 3− β − β − β1 2 2 1 3

o

β =4 4− β − β − β − β1 3 2 2 3 1 4

n bn a n− a n− a n− a n− an− an o

β = − β1 1− β2 2− β3 3− β4 4 − −K 1 1β − β

Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:

( ) ( ) ( )





trong đó:

x(k) =

( ) ( )

( ) ( )

n n

x k

x k

x k−

1 2

1

M Ad =

K K

K K

Bd =

n n

−

β

 β 

β

 β 

1 2

1

M Cd = [1 0 K 0 0] Dd = βo

Ví dụ 7.10. Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:

c k+ +c k+ + c k+ + c k =r k+ + r k

Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên Giải. Ta có:

c k+ +c k+ + c k+ + c k =r k+ + r k

⇔ c k( +3)+0 5, c k( +2)+2 5, c k( + +1) 2c k( )=0 5, r k( +2)+1 5, r k( )

Đặt các biến trạng thái:

( ) ( ) o ( )

x k1 =c k − β r k

( ) ( ) ( )

x k2 =x k1 + − β1 1r k

( ) ( ) ( )

x k3 =x k2 + − β1 2r k

⇒ x k3( +1)= −a x k3 1( )−a x k2 2( )−a x k1 3( )+ β3r k( )

trong đó:

o bo

β = =0

o

β =1 1− β =1 0 5 0 0 5 × =

o

β =2 2 − β − β = −1 1 2 0 0 5 0 5 2 5 0× − × = −0 25

o

β =3 3− β − β − β =1 2 2 1 3 1 5 0 5= × −0 25 −2 5 0 5 0 375× = Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:

( ) ( ) ( )





trong đó:

x(k) =

( ) ( ) ( )

x k

x k

x k

1 2 3

Ad =

Bd =

, , ,

− 

0 5

0 25

0 375

Cd = [1 0 0 ] Dd = 0 g

7.4.2 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc

Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

( ) ( )

( )

C z

G z

−

−

−

−

1

1

K

Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số ao = 1 Nếu a0 ≠ 1 ta chia tử số và mẫu số cho ao để được hàm truyền có dạng (7.28)

Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân:

(7.28) ⇔ ( n n ) ( )

−

−

⇔ c k n( + )+a c k n1 ( + − + +1) K an−1c k( + +1) a c kn ( )=

= b r k mo ( + )+b r k m1 ( + − + +1) K bm−1r k( + +1) b r km ( )

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ phương trình biến trạng thái

Ví dụ 7.11. Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:

( ) ( )

( )

G z

+

2

3

Giải. Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với:

( ) ( )

( )

G z

+

2

0 5 1 5

⇔ (z3+0 5, c2+2 5, c+2)C z( )=(0 5, z2+1 5, )R z( )

⇔ c k( +3)+0 5, c k( +2)+2 5, c k( + +1) 2c k( )=0 5, r k( +2)+1 5, r k( ) xem tiếp lời giải đã trình bày ở ví dụ 7.10

Cách 2: Do ( ) ( )

( )

C z

G z

−

−

−

−

1

1

K K nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho:

−

−

(7.30) ⇒ e k n( + )+a e k n1 ( + − + +1) K a e kn−1 ( + +1) a e kn ( )=r k( ) Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái:

( ) ( )

x k1 =e k

( ) ( )

x k2 =x k1 +1 ⇒ x k2( )=e k( +1 )

( ) ( )

x k3 =x k2 +1 ⇒ x k3( )=e k( +2 )

x k =x −1 k+1 ⇒ x kn( )=e k n( + −1 ⇒ ) x kn( +1)=e k n( + )

Ta được phương trình:

n

n

x k

x k

x k−

+

+

1

2

1

1

1

1

1

K K

K K

( ) ( )

( ) ( )

( )

n n

x k

x k

r k

x k−

 + 

1 2

1

0 0

0 1

M M

(7.29) ⇒ c k( )=b e k mo ( + )=b e k m1 ( + − + +1) K bm−1e k( + +1) b e km ( ) ⇒ c k( )=b xo m+1( )k +b b k1 m( )+ +K bm−1 2x k( )+b x km 1( )

⇒ c k( )=[bm bm−1 K b1 bo 0 K 0]

( ) ( )

( ) ( )

n n

x k

x k

x k−

1 2

1 M

Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:

( ) ( )

d



=



C x trong đó:

x(k) =

( ) ( )

( ) ( )

n n

x k

x k

x k−

1 2

1

M Ad =

K K

K K

Bd =

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

1

M Cd = c k( )=[bm bm−1 K b1 bo 0 K 0]

g

Ví dụ 7.12. Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

( ) ( )

( )

G z

+

2

3

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái

Giải. Hàm truyền đã cho tương đương với:

( ) ( )

( )

G z

+

2

0 5 1 5

Đặt biến phụ E z sao cho: ( )

( ) ( ) ( )







2

0 5 1 5





Đặt biến trạng thái:

( ) ( )

x k1 =e k ( ) ( )

x k2 =x k1 +1 ( ) ( )

x k3 =x k2 +1

Ta được hệ phương trình:

( ) d ( )d d



=



1

D x trong đó:

x(k) =

( ) ( ) ( )

x k

x k

x k

1 2 3

Ad =

Bd =

 

 

 

 

0

0

1

Dd = [b2 b1 b0]=[1 5 0 0 5 ] g

Ví dụ 7.13. Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là:

( ) C z( )( ) z

G z

+

Giải. Đặt biến phụ E(z) sao cho:

( ) ( ) ( )



