Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 13 pps

Cần nhấn mạnh rằng sisotool không phải là bộ công cụ thiết kế tự động mà chỉ là bộ công cụ trợ giúp thiết kế, người thiết kế phải hiểu rõ lý thuyết điều khiển tự động, nắm được bản chất

Do đó: ( )Φ A =A3+32A2+340A+2000I

( )

A

⇒ ( )

A

Bước 3: Tính K dùng công thức Ackermann:

K=[0 0 1]C-1Φ( )A

[ ]

1

Ta thấy véctơ K tính được theo cả hai cách đều cho kết quả như nhau Tuy nhiên phương pháp tính theo công thức Ackermann phải thực hiện nhiều phép tính ma trận nên thích hợp để giải bài toán trên máy tính hơn là giải bằng tay Công thức Ackermann được Matlab sử dụng để giải bài toán phân bố cực

Phụ lục: THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG MATLAB Phụ lục này giới thiệu công cụ Sisotool hỗ trợ thiết kế hệ thống điều khiển tự động của Control Toolbox 5.0 chạy trên nền MATLAB 6.0 Độc giả cần nắm vững lý thuyết điều khiển tự động và tham khảo thêm các tài liệu hướng dẫn sử dụng của MATLAB mới có thể khai thác hiệu quả công cụ này

Sisotool là công cụ giúp thiết kế hệ thống điều khiển tuyến tính hồi tiếp một đầu vào, một đầu ra Tất cả các khâu hiệu chỉnh trình bày trong quyển sách này như sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha, P, PI, PD, PID đều có thể thiết kế được với sự trợ giúp của công cụ này Cần nhấn mạnh rằng sisotool không phải là bộ công cụ thiết kế tự động mà chỉ là bộ công cụ trợ giúp thiết kế, người thiết kế phải hiểu rõ lý thuyết điều khiển tự động, nắm được bản chất của từng khâu hiệu chỉnh thì mới sử dụng bộ công cụ này được Do phụ lục này chỉ mang tính giới thiệu nên chúng tôi chỉ trình bày một ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS, các khâu hiệu chỉnh khác có thể thực hiện tương tự

Ví dụ: Thiết kế hệ thống điều khiển ở ví dụ 6.4 dùng sisotool

Trình tự thiết kế như sau

Bước 1: Khai báo đối tượng điều khiển

>> G=tf(50,[1 5 0]); H=tf(1,1);

Bước 2: Kích hoạt sisotool

>> sisotool;

Cửa sổ SISO Design Tool xuất hiện

Bước 3: Nhập đối tượng điều khiển vào sisotool

Trong cửa sổ SISO Design Tool chọn [File]→ [Import …] (xem hình bên) Cửa sổ Import System Data xuất hiện Thực hiện các bước sau:

3.1 Đặt tên hệ thống tùy ý (ở đây tên hệ thống được đặt là

ví dụ 6.4)

vào nút nhấn [Other …]

Ban đầu tất cả các khối trong hệ thống điều khiển đều có hàm truyền bằng 1, ta thay đổi đối tượng điều khiển (plant) là G, cảm biến (sensor) là H, bộ lọc F (prefilter) bằng 1, khâu hiệu chỉnh (compensator) C chưa thiết kế nên cũng bằng 1

3.3 Sau khi thực hiện xong bước 3.2 cửa sổ Import System Data như hình trên Nhấp chuột vào nút [OK]

Bước 4: Khảo sát hệ thống trước khi hiệu chỉnh

Sau khi nhấp chuột vào nút [OK] ở bước 3.3, cửa sổ SISO Design Tool xuất hiện trở lại, trong cửa sổ này có các thông tin sau:

- Hàm truyền khâu hiệu chỉnh hiện tại bằng 1

- Cấu hình hệ thống điều khiển hiện tại là hiệu chỉnh nối tiếp, hồi tiếp âm Có thể thay đổi cấu hình hệ thống điều khiển bằng cách nhấp chuột vào nút [+/−] và [FS]

- QĐNS của hệ thống chưa hiệu chỉnh được hiển thị ở đồ thị bên trái Các chấm vuông đỏ đánh dấu vị trí các cực hiện tại của hệ thống

- Biểu đồ Bode của hệ thống chưa hiệu chỉnh được hiển thị ở đồ thị bên phải, trên biểu đồ Bode có ghi chú tần số cắt biên, tần số cắt pha, độ dự trữ biên, độ dự trữ pha

- Có thể xem đáp ứng của hệ thống trước khi hiệu chỉnh bằng cách chọn [Tool]→[Loop Responses …]→[Plant Output (Step)] Quan sát đáp ứng của hệ thống ở hình dưới đây ta thấy độ vọt lố khoảng 30%, thời gian quá độ khoảng 1.5 giây

Bước 5: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS

Di chuyển chuột vào đồ thị QĐNS và nhấp nút chuột phải,

một menu xuất hiện Để ý các tùy chọn trên menu ở hình bên ta thấy SISO Design Tool hỗ trợ thiết kế tất cả các khâu hiệu chỉnh thông dụng trong lý thuyết điều khiển kinh điển như hiệu chỉnh sớm pha (Lead), trễ pha (Lag), sớm trễ pha (Notch), PD (Real Zero), PI (Integrator + Real Zero), PID (Integrator + Real Zero + Real Zero) Ngoài ra, ta còn có thể thiết kế các khâu hiệu chỉnh khác tùy theo sự kết hợp của các cực thực (Real Pole), cực phức (Complex Pole), tích phân lý tưởng (Integrator), zero thực (Real Zero), zero phức (Complex Zero), vi phân lý tưởng (Differentiator) Trong ví dụ này ta chọn [Add] → [Lead] để thêm khâu hiệu chỉnh sớm pha vào hệ thống Nhấp chuột vào một vị trí tùy chọn trên trục thực của QĐNS để xác định vị trí của cực, vị trí zero SISO Design Tool sẽ gán tự động nằm gần góc tọa độ hơn cực

Ta thấy sau khi thêm vào khâu sớm pha QĐNS của hệ thống

bị sửa dạng Bây giờ ta dùng chuột di chuyển vị trí cực và zero sao cho QĐNS đi qua cực mong muốn s* j

1 2 10 5 10 5 (xem lại

ví dụ 6.4 để biết cách tính cực mong muốn này) Chú ý là khi di chuyển vị trí cực và zero ta phải luôn đảm bảo zero gần góc tọa độ hơn cực thì khâu hiệu chỉnh thiết kế mới là khâu hiệu chỉnh sớm pha

Sau khi di chuyển cực đến vị trí –28.2 và zero đến vị trí – 7.91 ta thấy QĐNS đi qua cực mong muốn (hoặc chính xác hơn là gần qua cực mong muốn, xem hình bên trái) Để ý hệ số khuếch đại của khâu hiệu chỉnh bây giờ vẫn là 1 (hàm truyền của khâu hiệu chỉnh nằm trong khung [Current Compensator])

Di chuyển chuột đến vị trí cực hiện tại của hệ thống (chấm vuông đỏ) và dời vị trí cực này đến gần cực mong muốn s* j

1 2 10 5 10 5 Khi di chuyển vị trí cực thì hệ số khuếch đại của khâu hiệu chỉnh thay đổi Khi vị trí cực đến s* j

1 2 10 7 10 7 thì hệ số khuếch đại của khâu hiệu chỉnh là 6.82 (vị trí cực hiển thị trong khung trạng thái phía dưới đồ thị QĐNS, xem hình bên phải )

Bước 6: Kiểm tra lại đáp ứng của hệ thống

Chọn [Tools]→[Loop Responses]→[Plant Output (Step)], đáp ứng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh hiển thị trên cửa sổ LTI Viewer Quan sát đáp ứng ta thấy hệ thống sau khi hiệu chỉnh có độ vọt lố nhỏ hơn 20%, thời gian quá độ khoảng 0.5 giây, thỏa mãn yêu cầu thiết kế

Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh sớm pha là:

G s

s

( ) ,

+

=

+

7 91

6 82

28 1

Chương 7

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG

ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1.1 Khái niệm

Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc Hệ thống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu số Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển - biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu Vì có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt

Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển các đối tượng Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng

cách lập trình Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số trở nên phổ biến Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC, đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau

Hình 7.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục c(t), uR(t) và tín hiệu số r(kT), cht(kT), u(kT) Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và D/A Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóa biên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2

Hình 7.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc

Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong quyển này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số

7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu

Hình 7.3 Quá trình lấy mẫu dữ liệu

hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (H.7.3) Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:

trong đó s(t) là chuổi xung dirac:

k

+∞

=−∞

Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử rằng x(t) = 0 khi t < 0,

ta được:

k

x t* ( ) x t t kT

+∞

=

=∑ δ − 0

k

x t* ( ) x kT t kT

+∞

=

=∑ δ − 0

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:

k

+∞

−

=

=∑

0

(7.4)

Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu

Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:

c

T

trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu

Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu

7.1.3 Khâu giữ dữ liệu

Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian

Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-Order Hold - ZOH) (H.7.4)

Hình 7.4 Khâu giữ bậc 0 (ZOH)

Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (H.7.4b) Ta có:

R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)

−

=LLLL =LLLL − − = − =

Theo định nghĩa: ( ) ( )

( )

ZOH C s

R s

=

Do đó: GZOH( )s =1−e−Ts =1−z−1

Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0 Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH)

Nhận xét

(7.6) Tuy nhiên các biểu thức toán học này lại chứa hàm ex nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này

7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z

7.2.1 Định nghĩa

Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc Biến đổi Z của x(k) là:

k

=−∞

trong đó: z = eTs (s là biến Laplace)

Ký hiệu: x k( )←Z→X z( )

Nếu x(k) = 0, k∀ <0 thì biểu thức định nghĩa trở thành:

k

=

0

Miền hội tụ (Region of Convergence - ROC)

ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn

Ý nghĩa của phép biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT)

Biểu thức lấy mẫu x(t):

k

+∞

−

=

=∑

0

(7.9) Biểu thức biến đổi Z:

k

X z +∞ x k z−

=

=∑

0

(7.10)

Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó

Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược của X(z) là:

C

=

1

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ

7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z

1- Tính tuyến tính

Nếu: x k1( )←Z→X z1( )

x k2 ←Z→X z2 Thì: a x k1 1( )+a x k2 2( )←Z→a X z1 1( )+a X z2 2( ) (7.11) 2- Dời trong miền thời gian

Hình 7.5 Làm trễ tín hiệu k o mẫu Nếu: x k( )←Z→X z( )

o

Nhận xét:

Vì x k( − ←1) Z→z X z−1 ( )

nên z–1 được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy mẫu 3- Tỉ lệ trong miền Z

Nếu: x k( )←Z→X z( )

thì: a x kk ( )←Z→X a z( −1 ) (7.13) 4- Đạo hàm trong miền Z

Nếu: x k( )←Z→X z( )

thì: kx k( ) zdX z( )

dz

5- Định lý giá trị đầu

Nếu: x k( )←Z→X z( )

z

→∞

=

6- Định lý giá trị cuối:

Nếu: x k( )←Z→X z( )

z

→

∞ = − 1

7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản

1- Hàm dirac

δ(k) = nếu k = 0

nếu k 0





≠



1 0 Theo định nghĩa:

( )

k

=−∞

δ = ∑ δ = δ 0 0 =1 Z

Vậy: δ( )k ←Z→1 (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)

2- Hàm nấc đơn vị

Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền

thời gian):

u(t) = nếu t

nếu t < 0

≥







0 Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là

T, ta được:

u(k) = nếu k

nếu k < 0

≥







0 Theo định nghĩa:

( )

0

Z

Nếu z−1 <1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:

( )

z

z−

−

− 1

1

1 1

Z

z

z−

←→ =

−

− 1

1

1 1

3- Hàm dốc đơn vị

Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền

thời gian):

0

≥







t nếu t nếu t < 0 Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là

T, ta được:

0

≥







kT nếu k nếu k < 0 ⇒ r(k) = kTu(k)