Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 11 pptx

Bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp như đã thực hiện ở bước 4 hệ thống sẽ có cặp cực quyết định như mong muốn, do đó đáp ứng quá độ đạt yêu cầu thiết kế H.6.18... Trình tự thiết kế

kiện biên độ Do đó ta phải chọn KC bằng công thức:

G s G s( ) ( ) *

= =

Ví dụ 6.4. Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp QĐNS

Cho hệ thống điều khiển

như hình vẽ Hãy thiết kế

khâu hiệu chỉnh GC(s) để đáp

ứng quá độ của hệ thống sau

khi hiệu chỉnh thỏa: POT < 20%; tqđ < 0,5 sec (tiêu chuẩn 2%) Giải: Vì yêu cầu thiết kế cải thiện đáp ứng quá độ nên sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha:

( / ) ( )

( / )

=

+

1

1 (α >1) Bước 1: Xác định cặp cực quyết định

Theo yêu cầu thiết kế, ta có:

 ξπ 

 − ξ 

0 2

ξπ

− ξ2 0 2 1 6

1

⇒ ,1 95ξ > 1− ξ2 ⇒ ,4 8ξ >2 1 ⇒ ξ >0 45 ,

Chọn ξ =0 707 ,

n

t = < ,

ξω

4 0 5

,

ω >

× ξ

4

0 5 ⇒ ω >n 11 4 , Chọn ω =n 15

Vậy cặp cực quyết định là:

, = − , ± ,

1 2 10 5 10 5

Bước 2: Xác định góc pha cần bù

Cách 1 Dùng công thức đại số

* a r g[( , , ) ] a r g[( , , ) ( )]

Φ = −180° + −10 5+ 10 5 − +0 −10 5+ 10 5 − −5

a r ct a n , a r ct a n ,

180

= −180° +(135 117 6 + , )

⇒ Φ =* 72 6 , °

Cách 2 Dùng công thức hình học

Φ = −180° + β + β1 2

= −180° +(135° +117 6, ° =) 72 6 , ° Bước 3: Xác định cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp đường phân giác

- Vẽ PA là phân giác của góc OPxˆ

- Vẽ PB và PC sao cho APBˆ =Φ*

2 , APC

*

ˆ =Φ

2 Điểm B chính là vị trí cực và C là vị trí zero của khâu hiệu

T =

T=

α

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta suy ra:

OPx

OB OP

OPx

*

*

,

sin sin

135 72 6

135 72 6

OPx

OC OP

OPx

*

*

ˆ

,

,

sin sin

135 72 6

135 72 6

⇒ G sC KC s

s ( )= +

+

8 28

Bước 4: Tính K C

G s G sC( ) ( )s s= * =1

s K

s .s s( ) =− , + ,

10 5 10 5 28 10 5 10 5 10 5 10 5 5

10 79 50 1

20 41 15 11 85

⇒ KC =6 7 ,

Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:

G s

s ( )= , +

+

8

6 7

Nhận xét

Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước khi hiệu chỉnh không qua điểm s* (H.6.17a) do đó hệ thống sẽ không bao giờ đạt được chất lượng đáp ứng quá độ như yêu cầu dù có thay đổi hệ số khuếch đại của hệ thống

Hình 6.17 Sự thay đổi dạng QĐNS khi hiệu chỉnh sớm pha a) QĐNS trước khi hiệu chỉnh; b) QĐNS sau khi hiệu chỉnh

Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số của hệ thống bị sửa dạng và qua điểm s* (H.6.17b) Bằng cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (như đã thực hiện ở bước 4) hệ thống sẽ có cặp cực quyết định như mong muốn, do đó đáp ứng quá độ đạt yêu cầu thiết kế (H.6.18)

Hình 6.18 Đáp ứng nấc của hệ thống ở ví dụ 6.4

trước và sau khi hiệu chỉnh

6.3.2 Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế có dạng:

( / ) ( )

( / )

=

+

1

1 (β <1 ) Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, β và T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập mà “không” làm ảnh hưởng đến đáp ứng quá độ (ảnh hưởng không đáng kể)

Ta đã biết do khâu hiệu chỉnh trễ pha có hệ số khuếch đại ở miền tần số thấp lớn nên có tác dụng làm giảm sai số xác lập của hệ thống Để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh trễ pha gần như không đổi thì cặp cực quyết định của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh phải nằm rất gần nhau Để đạt được điều này ta phải đặt thêm cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho dạng QĐNS thay đổi không đáng kể Đây là nguyên tắc cần tuân theo khi thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha Trình tự thiết kế dưới đây cụ thể hóa nguyên tắc trên:

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Trễ pha

Phương pháp thiết kế: QĐNS

Bước 1: Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập

Nếu yêu cầu về sai số xác lập cho dưới dạng hệ số vận tốc

V

K* thì tính β bằng công thức: V

V

K

K*

β =

trong đó K và V KV* là hệ số vận tốc của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh

Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh sao cho:

s

T << Re( *, )

1

trong đó s*

,

1 2 là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh:

T = β.βT

Bước 4: Tính KC bằng cách áp dụng công thức:

G s G s *

,

( ) ( ) = =

1 2 1 trong đó s*

,

1 2 là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng quá độ nên có thể tính gần đúng: s* s

, ≈ ,

1 2 1 2 Giải thích

Bước 1: Ta có hệ số vận tốc của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh là:

K limsG s( )

→

= 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

C

/

/

⋅ + β

1

⇒ C V

V

K K

K*

β =

Nếu KC≈1 thì V

V

K

K*

β =

Do đó ta chọn β bằng công thức trên Các bước thiết kế tiếp theo đảm bảo KC ≈1

Bước 2: Gọi s1,2 là cặp cực quyết định của hệ thống trước khi hiệu chỉnh:

s s

G s( ) = ,

s s

G s

G s

,

,

( ) ( )

=

=









1 2

1 2

1 180 Gọi s*

,

1 2 là cặp cực quyết định của hệ thống sau khi hiệu chỉnh:

G s G s *

,

( ) ( ) =

1 2

G s G s

G s G s

* ,

*,

( ) ( ) ( ) ( )

=

=









1 2

1 2

1 180 Xét điều kiện về pha Để hệ thống có chất lượng quá độ gần như không thay đổi thì s* s

1 2 1 2 Suy ra:

G s G s *

,

( ) ( )

=

1 2 180

,

=

1 2

s s

,

( ) =

Phân tích ở trên cho thấy cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha phải thỏa mãn biểu thức (6.29) Khi thiết kế ta thường chọn khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho G sC s s*

,

( ) =

− ° < ∠ < °

1 2

đạt được điều này có thể đặt cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha nằm rất gần góc tọa độ so với phần thực của nghiệm s*

,

1 2 Do

đó ta chọn vị trí zero sao cho: s

T << Re( *, )

1

Bước 3: Suy ra:

T = ββT

Để ý rằng bằng cách chọn như trên 1/T cũng nằm rất gần gốc tọa độ do β < 1

Bước 4: Ở bước 2 và 3 ta mới chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh trễ pha để thỏa mãn điều kiện về pha Để thỏa mãn điều kiện biên độ ta chọn KC bằng công thức: G s G sC s s*

,

( ) ( )

1 2 1 Có thể dễ dàng kiểm chứng được rằng do cách chọn zero và cực của khâu hiệu chỉnh như ở bước 2 và bước 3 mà ở bước 4 ta luôn tính được KC ≈ 1 Như vậy KC thỏa mãn giả thiết ban đầu

Ví dụ 6.5. Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha dùng phương pháp QĐNS

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) sao cho hệ thống có sơ đồ khối dưới đây sau khi hiệu chỉnh có sai số đối với tín hiệu vào là hàm dốc là 0,02 và đáp ứng quá độ thay đổi không đáng kể

Giải. Hệ số vận tốc của hệ thống trước khi hiệu chỉnh:

V

s s s

Sai số xác lập của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dốc là: xl

V

e

= 1 = 1 =1 2

0 83

Vì yêu cầu thiết kế làm giảm sai số xác lập nên sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha: G sC KCs T

( / ) ( )

( / )

=

+

1

Bước 1: Tính β

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh:

V xl

K e

*

= 1 = 1 =50

0 02

Do đó: V

V

K

K*

,

,

β = = 0 83=0 017

50 Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh

Các cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là nghiệm của phương trình:

G s( )

s s( )(s )

10

3 4 ⇔ s3+7s2+12s+10 0 =

⇔ ss, = − ± j



= −



1 2

3

1 5 Vậy cặp cực quyết định trước khi hiệu chỉnh là s1 2, = − ±1 j Chọn

T

β

1 sao cho: { }s

T<< Re =

T = ,

β

1 0 1 Bước 3: Tính cực của khâu hiệu chỉnh

T = ββT =( , )( , )

1 1 0 017 0 1 ⇒

T = ,

1 0 0017 ⇒ G sC KC s

s

, ( )

,

+

=

+

0 1

0 0017 Bước 4: Tính KC:

G s G s( ) ( ) = * =1

s s

s K

,

Để đáp ứng quá độ không thay đổi đáng kể thì:

, = , = − ±

Thế vào công thức trên ta được:

⇒ KC =1 0042 1 , ≈

Vậy khâu hiệu chỉnh trễ pha cần thiết kế là:

G s

s

, ( )

,

+

= +

0 1

Hình 6.19 cho thấy QĐNS của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh trễ pha gần như trùng nhau Do vị trí cặp cực phức quyết định gần trùng nhau nên đáp ứng quá độ của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh gần như nhau (H.6.20) Hình 6.20 cũng cho thấy sai số xác lập của hệ thống sau khi hiệu chỉnh nhỏ hơn rất nhiều so với trước khi hiệu chỉnh Như vậy khâu hiệu chỉnh trễ pha vừa thiết kế ở trên thỏa mãn yêu cầu đặt ra

Hình 6.19 QĐNS của hệ thống ở ví dụ 6.5 a) Trước khi hiệu chỉnh; b) Sau khi hiệu chỉnh

Hình 6.20 Đáp ứng của hệ thống ở ví dụ 6.5 đối với tín hiệu vào là

hàm dốc trước và sau khi hiệu chỉnh

6.3.3 Hiệu chỉnh sớm trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế có dạng: G sC( )=GC1( )s GC2( )s

trong đó: GC1( )s là khâu hiệu chỉnh sớm pha

GC2( )s là khâu hiệu chỉnh trễ pha

Bài toán đặt ra thiết kế G sC( ) để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập của hệ thống

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Sớm trễ pha Phương pháp thiết kế: QĐNS Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha GC1( )s để thỏa mãn yêu cầu về đáp ứng quá độ (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha ở mục 6.3.1)

Bước 2: Đặt G s1( )=GC1( ) ( )s G s

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha GC2( )s mắc nối tiếp vào

G s1( )để thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha ở mục 6.3.2)

Ví dụ 6.6. Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha dùng phương pháp QĐNS

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực phức với ξ =0 5 , , ω =n 5 (rad/sec); hệ số vận tốc KV =80

Giải: Hệ chưa hiệu chỉnh có ξ =0 125 , , ω =n 2 (rad/sec); KV =8

Vì yêu cầu thiết kế bộ hiệu chỉnh để cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập nên GC(s) là khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha

G s( )=G 1( )s G 2( )s

Bước 1: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha GC1( )s

s T

s T ( )

+ α

=

+

1

1

1 1

- Cặp cực quyết định sau khi hiệu chỉnh:

, = −ξω ± ω − ξ2

= −( , )( )0 5 5 ± j( )5 1−( , )0 5 2

1 2 2 5 4 33

Hình 6.21 Góc pha cần bù

- Góc pha cần bù:

Φ = −180° + β + β1 2

= −180° +(120° +115 °)

⇒ Φ =* 55 °

- Chọn zero của khâu sớm pha trùng với cực s = −0,5 của G(s) để hạ bậc hệ thống sau khi hiệu chỉnh

T = ,

α 1

1 0 5 Từ cực s1 *vẽ hai nửa đường thẳng tạo với nhau một góc là Φ*

như hình 6.21 Cực của khâu sớm pha tại điểm B

OB

T1 = 1

Ta có: OB OA AB= +

OA=0 5 ,

AB PA APB

PAB

ˆ sin sin

=

Dễ thấy: PA= 22+4 33, 2 =4 76 ,

APB= Φ =* 55 °

PAB= β − Φ =2 * 115° −55° =60 °

Nên: AB , sin ,

sin

°

°

55

60

⇒ OB

T1 = = , + , =

1 0 5 4 5 5

Do đó: GC s KC s

s

, ( )= +

+

5

- Tính KC1: GC1( ) ( )s G s s s= * =1

s K

, ( , ) =− +

1

2 5 4 33

⇒ KC

2 5 4 33 5 2 5 4 33

⇒ KC1=6 25 ,

Vậy GC s s

s

, ( )= , +

+

5 Hàm truyền hở sau khi hiệu chỉnh sớm pha là:

G s G s G s

, ( ) ( ) ( ) ,

( , )

⇒ G s

s s

( )

= +

5

Bước 2: Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha GC2( )s

s T

s T ( )

+ β

=

+

2

2

1 1

- Xác định β:

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh sớm pha:

s s

lim ( ) lim

+ 1

5 Hệ số vận tốc mong muốn: KV* =80

Suy ra: V

V

K

K*

80 16

- Xác định zero của khâu trễ pha:

T << Re( *) = Re(− , + , ) = ,

β 2

Chọn

T = ,

β 2

1 0 16

- Xác định cực của khâu trễ pha:

T2 = β.βT2 = .( , )= ,

16

⇒ GC s KC s

s

, ( )

,

+

=

+

0 01

- Tính KC2: GC2( )s G s1( )s s= * =1

⇒ (GC2( )s s s= *)(G s1( )s s= *)=1

⇒ GC2( )s s s= * =1

j

2 2 5 4 33 0 16 1

2 5 4 33 0 01

,

2 4 995 1 01

4 992

⇒ GC s s

s

, ( ) ,

,

+

=

+

0 01

Tóm lại khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế là:

,

( , )( , ) ( ) ,

=

0 5 0 16

6 31

6.4 THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG BIỂU ĐỒ BODE

6.4.1 Hiệu chỉnh sớm pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế có dạng:

Ts ( )= + α

+

1

1 (α >1) Chúng ta cần chọn giá trị KC, α và T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về độ dự trữ biên, độ dự trữ pha và sai số xác lập

Nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode là chọn hệ số khuếch đại KC để hệ thống thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập, sau đó chọn vị trí cực và zero của khâu sớm pha để thêm pha dương vào hệ thống xung quanh tần số cắt, nhờ đó tăng độ dự trữ pha, băng thông của hệ thống sau khi hiệu chỉnh sớm pha được mở rộng Tuy nhiên nếu góc pha cần bù quá lớn (hơn 70o) thì không thể dùng khâu hiệu chỉnh sớm pha Các bước thiết kế dưới đây cụ thể hóa nguyên tắc trên

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Sơ ùm pha Phương pháp thiết kế: Biểu đồ Bode Bước 1: Xác định KC để thỏa mãn yêu cầu thiết kế về sai số xác lập

Bước 2: Đặt G s1( )=K G sC ( ) Vẽ biểu đồ Bode của G s1( )

Bước 3: Xác định tần số cắt biên của G s1( )từ điều kiện:

C

L (1 ω =) 0 hoặc G j1( ωC) =1

Bước 4: Xác định độ dự trữ pha của G s1( ) (độ dự trữ pha của

hệ trước khi hiệu chỉnh):

C

Φ =180+ ϕ ω1 Bước 5: Xác định góc pha cần bù

m a x

trong đó MΦ *là độ dự trữ pha mong muốn, θ = ° ÷5 20 °

Bước 6: Tính α bằng cách áp dụng công thức:

m a x

m a x

sin sin

α =

1

Bước 7: Xác định tần số cắt mới ω′C (tần số cắt của hệ sau

khi hiệu chỉnh) từ điều kiện:

C

L (1 ω = −′ ) 10lgα hoặc G j1( ω′C) =1/ α

Bước 8: Tính hằng số thời gian T từ điều kiện:

C

T=

′

Bước 9: Kiểm tra lại hệ thống có thỏa mãn điều kiện về độ

dự trữ biên hay không? Nếu không thỏa mãn thì trở lại bước 6

Chú ý: Trong trường hợp hệ thống quá phức tạp khó tìm

được lời giải giải tích thì có thể xác định ωC (bước 3), ΦM (bước

4) và ω′C (bước 7) bằng cách dựa vào biểu đồ Bode

Ví dụ 6.7. Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng phương pháp

biểu đồ Bode

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha sao cho hệ thống sau

khi hiệu chỉnh có: KV* =20 M; Φ *≥50 GM°; * ≥10dB

Giải Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế là:

Ts ( )= + α

+

1

1 (α >1)

Bước 1: Xác định KC

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

Ts s s

+ α

K = * = 20

2 2 ⇒ KC =10 Bước 2

Đặt: G s K G sC

s s

+

2

⇒ G s

( )

( , )

=

+

0 5 1 Biểu đồ Bode của G s1( ) là đường liền nét ở đường 6.22

Hình 6.22 Biểu đồ Bode của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh sớm

pha

Bước 3: Tần số cắt của hệ trước khi hiệu chỉnh

C

G j1( ω ) =1

⇔

j (j ) =

2 ⇔ ωC ω +C2 =

4

⇔ ω + ω −C4 4 C2 1600 0 =

⇔ ω =C 6 17 (rad/sec) ,

Bước 4: Độ dự trữ pha của hệ khi chưa hiệu chỉnh

C

Φ =180+ ϕ ω1

M

j j

Φ = ° +  ω ω + = ° − ° +  

40

⇒ M  a r ct a n , 

6 17

2

⇒ Φ =M 18 °

Bước 5: Góc pha cần bù

m a x

ϕ = Φ − Φ + θ (chọn θ = °5 )

⇒ ϕm a x =50° − ° + °18 5

⇒ ϕm a x =37 °

Bước 6: Tính α

m a x

m a x

Bước 7: Tính tần số cắt mới

C

G j( ω′ ) =

α

⇔

j (j ) =

2 4 ⇔ ωC′ (ω′C)2+ =

4 4

⇔ (ωC′ )4+ ω4( C′ )2−6400 0 =

⇒ ω =′C 8 83 (rad/sec) ,

Bước 8: Tính T

C

T

( , )( )

′

8 83 4

⇒ T=0 057,

⇒ α = ×T 4 0 057 0 228, = ,

s

, ( )

,

+

= +

1 0 228 10

1 0 057 Bước 9: Kiểm tra lại điều kiện về biên độ

Vì tần số cắt pha ω−π trước và sau khi hiệu chỉnh đều bằng vô cùng nên độ dự trữ biên của hệ trước và sau khi hiệu chỉnh đều bằng vô cùng (>10dB)

Kết luận: Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là có hàm truyền như trên g

6.4.2 Hiệu chỉnh trễ pha

Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế có dạng:

Ts ( )= + α

+

1

1 (α <1 ) Bài toán đặt ra là chọn giá trị KC, α và T để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn yêu cầu về độ dự trữ biên, độ dự trữ pha và sai số xác lập

Nguyên tắc thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha dùng biểu đồ Bode là chọn hệ số khuếch đại KC để hệ thống thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập, sau đó chọn vị trí cực và zero của khâu trễ pha để làm giảm biên độ ở miền tần số cao, băng thông của hệ thống sau khi hiệu chỉnh trễ pha bị thu hẹp, nhờ đó mà đạt yêu cầu về độ dự trữ pha và độ dự trữ biên Các bước thiết kế dưới đây cụ thể hóa nguyên tắc trên

Trình tự thiết kế

Khâu hiệu chỉnh: Trễ pha Phương pháp thiết kế: Biểu đồ Bode Bước 1: Xác định KC để thỏa mãn yêu cầu thiết kế về sai số xác lập

Bước 2: Đặt G s1( )=K G sC ( ) Vẽ biểu đồ Bode của G s1( )