Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 8 pdf

5: Quỹ đạo nghiệm số Vẽ các nghiệm của phương trình 4.10 tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức.. Định nghĩa Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình

H ình 4 5: Quỹ đạo nghiệm số Vẽ các nghiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +∞, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỹ đạo nghiệm số

Định nghĩa

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞

4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Hình 4.6 Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối ở hình 4.6

Phương trình đặc tính của hệ

G s H s( ) ( )

Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng

N s K

D s

( ) ( )

trong đó K là thông số thay đổi

Đặt G so K N s

D s

( ) ( )

( )

= Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của Go(s)

(4.12) ⇔ 1+G so( )=0

o

G s Điều kiện biên độ

G s l Điều kiện pha

( )







1

Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12):

Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n

Qui tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của Go(s)

Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero của Go(s), n-m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và 6

Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực

Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của Go(s) bên phải nó là một số lẻ Qui tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi

l

n m

( + π)

α =

−

2 1 ( l

, , ,

Qui tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm

A có tọa độ xác định bởi

i i

i i

cực zero OA

−

−

(pi và zi là các cực và các zero của Go(s))

Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số

nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: dK

ds =0 Qui tắc 8: Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có

thể xác định bằng một trong hai cách sau đây

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

- Thay s j = ω vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng

phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị

K

Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức

pj được xác định bởi

i j

≠

θ = ° +∑ − −∑ −

Dạng hình học của công thức trên là

θj = 180o + (∑góc từ các zero đến cực pj )

– (∑góc từ các cực còn lại đến cực pj) Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ

0 → +∞

Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có

thể xác định từ điều kiện biên độ

N s K

D s

( )

Ví dụ 4.7. Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau

K

G s

( )

=

Hình 4.7 Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞

Giải. Phương trình đặc tính của hệ thống

G s( )

s s( )(s )

Các cực: ba cực

p1=0 , p2= −2 , p3= −3 Các zero: không có

⇒ QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0 Khi K → +∞, ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực

n m

( + π) ( + π)

3 0 ⇒

1 2 3

0 3

1 3

1

π







π











(l )

(l ) (l )

–

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

cực zero OA

n m

[ ( ) ( )]

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình dK

ds =0

Ta có (1) ⇔ K = −s s( +2)(s+3)= −(s3+5s2+6 s)

ds = −(3 2+10 +6 )

Do đó dK

ds =0 ⇔ −(3s2+10s+6)=0 ⇔ s (loại)

s

, ,

= −





= −



1 2

2 549

0 785

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây:

Cách 1

Áp dụng tiêu chuẩn Routh

(1) ⇔ s3+5s2 +6s K+ =0

Bảng Routh

α = 3 1

1

K

− × =1

5

0

s 0 K Điều kiện để hệ thống ổn định

K K



− >





 >



1

5

0 ⇔ 0 < K < 30 Vậy hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30

Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình

ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo

s3+5s2+6s+30 0 =

⇔

s

= −





=





= −



1 2 3

5 6 6 Cách 2

Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s j = ω Thay s j = ω vào phương trình (1) ta được

( )jω +3 5( )jω +2 6( )jω +K =0 ⇔ − ω − ω +j 3 5 2 6jω +K =0

K







3 2

K

ω =





=



0 0

K

ω = ±





=



6 30

Ví dụ 4.8. Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền

( )

=

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞

Giải. Phương trình đặc trưng của hệ thống

G s( )

⇔

Hình 4.8 Hình 4.8

⇔ K

s s( s )

2

Các cực p1 =0 , p2 3, = − ±4 j2

Các zero không có

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0 Khi

K → +∞, ba nhánh tiến đến vô cùng theo tiệm cận xác định bởi

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực

n m

( + π) ( + π)

3 0 ⇒

1 2 3

3

1 3

π







π











(l 0)

(l ) (l 1)

–

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

OA

n m

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình dK

ds =0

Ta có

⇔ K = −(s3+8s2+20 s)

ds = −(3 2+16 +20 )

Do đó dK

ds =0 ⇔ s3 2+16s+20 0 = ⇔ s

s

, ,

= −





= −



1 2

3 33

Vậy QĐNS có hai điểm tách nhập

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định cách thay

s j= ω vào phương trình đặc tính

(1) ⇔ s3+8s2+20s K+ =0

Thay s j= ω ta được

j j j K

( ω +)3 8( ω +)2 20( ω +) =0 ⇔ j− ω − ω +3 8 2 20jω +K =0

⇔ − ω +K =



2 3

20 0

K

K

ω =





=



ω = ±





=



0 0 20 160 Vậy giao điểm của QĐNS và trục ảo là s= ±j 20

- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2 là

[a r g( ) a r g( )]

=180° −{a r g[(− +4 j2)− +0] a r g[(− +4 j2)− − −( 4 j2 )]}

= ° −tg−  + 

−

4 =180° −{153 5 90 , + }

⇒ θ = −2 63 5, °

Hình 4.9

Ví dụ 4.9. Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là: G s K s

( )

+

=

1

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞

⇔

Giải. Phương trình đặc trưng của hệ thống

G s( )

+

1

Các cực p1=0 , p2 = −3, p3 4, = − ±4 j2

Các zero z1= −1

⇒ QĐNS gồm bốn nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0

Khi K → +∞, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến đến

vô cùng theo tiệm cận xác định bởi:

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực

n m

( + π) ( + π)

4 1 ⇒

1 2 3

3

1 3

π







π











(l 0)

(l ) (l 1)

–

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

OA

n m

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình dK

ds =0

Ta có

(1) ⇔ s s( +3)(s2+8s+20)+K s( + =1) 0

s

= −

+

2

1

= −

+

2

1

Do đó dK

ds = 0 ⇔ s3 4 +26s3+77s2+88s+60 0 =

,







1 2

3 4

3 67 1 05

0 66 0 97 (loại) Vậy QĐNS không có điểm tách nhập

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định cách thay

s j= ω vào phương trình đặc tính

(1) ⇔ s s( +3)(s2+8s+20)+K s( + =1) 0

⇔ s4 +11s3+44s2+(60+K s K) + =0 Thay s j= ω ta được

ω −4 11 ω −3 44ω +2 60+ ω + =0

K







3

K

ω =





=



0 0

⇔

K

,

ω = ±





=



5 893 322 j K

, ,

ω = ±





= −



1 314

61 7 (loại) Vậy giao điểm cần tìm là:

s= ±j ,5 893

Hệ số khuếch đại giới

hạn là Kgh =322

- Góc xuất phát của QĐNS

tại cực phức p3

θ =3 180+ β − β + β + β1 2 3 4 =180 146 3 153 4 116 6 90 + , −( , + , + )

,

Ví dụ 4.10. Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền

hở là: G s

( )

=

400 6 Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi a = 0→ +∞

Giải. Phương trình đặc trưng của hệ thống

G s( )

Hình 4.10

⇔

s s( )(s a)

400

⇔ s s( +6)(s a+ )+400 0 =

⇔ s s2( +6)+400+as s( +6)=0

( + )

6

Các cực p1= −10 , p2 3, = ±2 j6

Các zero z1 =0, z2 = −6

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0 Khi

K → +∞, hai nhánh tiến đến hai zero, nhánh còn lại tiến đến vô

cùng theo tiệm cận xác định bởi

- Góc giữa các tiệm cận và trục thực

n m

( + π) ( + π)

3 2 ⇒ α = π, (l = 0)

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

OA

n m

3 2

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình da

ds =0

Ta có (1) ⇔ s3+6s2+400+as s( +6)=0

= −

+

2

6

ds = − +s +s = + +(s −s) −

Do đó da

ds=0 ⇔ s4+12s3+36s2−800s−2400 0 =

⇔

s (loại) s

s , j (loại)

, , ,

 = +



= −





1 2

3 4

6 9

2 9

8 7 48 Vậy QĐNS 1 có điểm tách nhập tại – 2,9

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách

thay s j = ω vào phương trình đặc tính

(1) ⇔ s3+ 6 s2+ 400 + as s ( + = 6 ) 0

⇔ s3+ + ( 6 a s ) 2+ 6 as + 400 0 = Thay s j = ω ta được

− ω −3 6+ ω +2 6 ω +400 0 =

a







2 3

a

ω =





= ∞

 0

⇔

a

, ,

ω = ±





=



5 85

5 7 j a

, ,

ω = ±





= −



8 38

11 7 (loại)

Vậy giao điểm cần tìm là s= ±j ,5 85 , tương ứng với giá trị

giới hạn của hệ số a là agh= 5 7 ,

- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2

θ =2 180+ β + β − β + β( 1 2) ( 3 4) =180+(71 6 36 7, + , )−(26 6 90 , + )

,

θ =2 171 7°

Hình 4.11

4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ

4.4.1 Nguyên lý góc quay

Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:

A(s) = a so n +a s1 n−1+ +an= 0 (4.17)

Đa thức A(s) được viết dưới dạng:

A(s) = ao(s - p1)( s - p2) ( s - pn) với p1, p2, pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính

Thay s = jω vào (4.17) ta có:

A(jω) = ao(jω - p1)( jω - p2) ( jω - pn) Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n - m) nghiệm trái (có phần thực âm)

Hình 4.12 Góc quay của vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω)

arg A(jω) = n i

i

a r g( )

=

ω −

∑ 1 Khi tần số ω thay đổi từ –∞ đến +∞ thì sự thay đổi góc quay của vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ là:

∆arg A(jω) = n i

i

a r g( )

=

ω −

∑ 1

-∞<ω < +∞ -∞<ω < +∞

Ký hiệu ∆ chỉ sự thay đổi góc quay

Nếu qui định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:

∆arg (jω - pn-m) = π ∆ arg (jω - pm) = - π

-∞<ω < +∞ -∞<ω < +∞

Hệ có m nghiệm phải và (n - m) nghiệm trái:

∆ arg A(jω) = (n - m)π - mπ = (n - 2m) π

-∞<ω < +∞

Nguyên lý góc quay

Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n - m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ quay một góc là ((n−2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số ω biến thiên từ - ∞ đến + ∞

∆arg A(jω) = n− m

2

2 2π

-∞< ω < +∞

Véctơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái (n - m) và nghiệm phải (m) nhân với π khi ω biến thiên từ - ∞ đến + ∞

4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov

 Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được

A V Mikhailov phát biểu vào năm 1938:

Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ vectơ đa thức đặc tính A(jω) xuất phát từ nửa trục thực dương tại

ω bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi ω biến thiên từ 0 đến + ∞, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống

 Chứng minh:

Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính:

A(s) = a so n+a s1 n−1+ +an= 0 (4.18) Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức Theo nguyên lý góc quay:

∆arg A (jω) = nπ (4.19)

-∞<ω < +∞

Vì A(jω) và A(-jω) là phức liên hợp nên

∆ arg A(jω) = ∆ arg A(jω) (4.20)

-∞<ω < 0 0 <ω < +∞

Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng

∆ arg A(jω) = nπ

2

0 <ω < +∞

Hình 4.13

 Xây dựng biểu đồ Mikhailov

Thay S = jω vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo

A(jω) = P(ω) + jQ(ω) trong đó: P(ω) là hàm chẵn với ω: P(-ω) = P(ω)

Q(ω) là hàm lẻ với ω: Q(-ω) = - Q(ω)

Từ biểu thức A(jω) nhận được bằng cách thế S = jω vào mẫu số hàm truyền:

a j( ω +) a j1( ω) −1+ +a

Ta nhận thấy A j( ω)chính là đường chéo của đa giác có cạnh tương ứng bằng akωn-k và các cạnh vuông góc với nhau

Ví dụ 4.12. xét hệ bậc ba n = 3

A j( ω)= a jo( ω +)3 a j1( ω +)2 a j2( ω +) a3 Cho ω biến thiên từ 0 đến vô

cùng bằng phương pháp trên xây

dựng toàn bộ biểu đồ véctơ đa thức

đặc tính A(jω)

Đa thức đặc tính (mẫu số hàm

truyền đạt của hệ cần xét ổn định ở

trạng thái hở hoặc trạng thái kín)

được phân tích thành hai thành

phần:

A(s) = D(s) + K(s)

Ví dụ 4.13: A(s) = (1+sT1) (1+sT2) (1+sT3) + K = D(s) + K = 0

T1 = 0,5 ; T2 = 2 ; T3 = 0,1 Tính Kgh

∆ arg A(jω) = D(jω) + K

0 < ω <+∞ 0 < ω < +∞

Xây dựng biểu đồ D(jω) = P(ω) + jQ(ω)

Từ đó suy ra: P(ω) = 1 - 1,25 ω2

P(ω) = ω(2,6 - 0,1ω2)

2 6

0 1

( )

? ( ) , ,

o gh gh

o o

K

Q

ω =



ω =



ω =

2 6

0 1

,

,

gh

4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối

Hình 4.16

Hình 4.14

Hình 4.15

Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s)

Tiêu chuẩn Nyquist

Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (–1, j0) l

2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức

Ví dụ 4.14. Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ Biết rằng G(s) ổn định Xét tính ổn định của hệ thống kín

Hình 4.17

Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức Do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (–1, j0) Vì vậy:

Trường hợp
: G(jω) không bao điểm (-1, j0) ⇒ hệ kín ổn định Trường hợp : G(jω) qua điểm (-1, j0) hệ kín ở biên giới ổn định; Trường hợp : G(jω) bao điểm (-1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định g

Chú ý: Đối với các hệ thống có khâu tích phân lý tưởng, để xác định đường cong Nyquist có bao điểm (–1, j0) hay không, ta vẽ thêm cung −2γ bán kính vô cùng lớn (γ là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở)

Ví dụ 4.15. Xét tính ổn định của hệ hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền của hệ hở là:

=

K

G s

( )

Giải. Tùy theo giá trị của K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquist của hệ hở có thể có một trong ba dạng sau

Hình 4.18

Vì hệ kín không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức nên

- Trường hợp
: G(jω) không bao điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín ổn định

- Trường hợp : G(jω) qua điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn định

- Trường hợp : G(jω) bao điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín không ổn định g

Ví dụ 4.16. Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định?

Hình 4.19

Gia ûi: (a) Ổn định (b) Không ổn định (c) Không ổn định

(d) Ổn định (e) Không ổn định

Ví dụ 4.17.Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là

n

K

G s

Ts

( )

= +1 (K > 0, T > 0, n > 2) Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn

vị) ổn định

Giải. Đặc tính tần số của hệ thống là

n

K

G j

Tj

( )

ω =

ω +1 Biên độ

K M

T

( )ω =

ω +

Pha ϕ ω = −( ) ntg−1(Tω)

Biểu đồ Nyquist của hệ thống hở có dạng như hình 4.29

Hình 4.20

Do hệ hở không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức nên để

hệ thống kín ổn định thì đường cong Nyquist của hệ hở không

bao điểm (–1,j0), theo hình vẽ ta thấy điều này xảy ra khi M(ω–π)

< 1

P( ω )