CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC I.. Về kiến thức : củng cố, khắc sâu kiến thức về : Hiểu định lí cosin, định lí sin , công thức tính độ dài đường trung tuyến trong
Trang 1 4 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
I Mục Tiêu
1 Về kiến thức : củng cố, khắc sâu kiến thức về :
Hiểu định lí cosin, định lí sin , công thức tính độ dài đường trung tuyến trong một tam giác Biết được một số công thức tính diện tích tam giác
Biết một số trường hợp giải tam giác
2 Về kĩ năng :
Ad được định lí cosin, định lí sin , công thức về độ dài đường trung tuyến , các công thức để tính diện tích để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác
Biết giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản Biến vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiển Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi khi giải toán
II Chuẩn Bị
1 GV chuẩn bị :
Các bảng biểu , bảng cuộn , thước kẻ
Chuẩn bị máy chiếu qua đầu overhead hoặc projecter
Chuẩn bị đề bài để phát cho học sinh
2 Học sinh chuẩn bị SGK, kiến thức về tập hợp và xem trước phần 3
Phân nhóm học tập ( mỗi nhóm 2 bàn )
III) Kiểm tra bài cũ :
HĐ1: Giúp HS nắm được
các công thức tính diện tích
tam giác
* Hãy viết các công thức
tính diện tích tam giác theo
một cạnh và đường cao
tương ứng ?
* Cho hs nêu các ct tính
diện tích tam giác
S = 1
2a.ha = 1
2b.hb = 1
2c.hc
4) Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác và h a,h b ,h c
là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,C
Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau :
(1) S = 1
2aha = 1
2b.hb = 1
2c.hc (2) S =1
2ab sin C = 1
2bc sin A = 1
2ca sin B; (3) S =
4
abc
R ; (4) S = pr;
(5) S = p p a p b p c( )( )( ) (công thức Hêrông)
Trang 2* GV vẽ hình và hỏi : Xét
AHC vuông tại H ,
ta có : h =AH = ? a
* Cho các nhóm thảo luận
để chm công thức (2)
* Từ ct (1): S =1
2ab sin C làm sao chm ct (2)
* Thế sinC vào ct (1) ta
được gì ?
* Cho các nhóm thảo luận
để chm công thức (3)
GV vẽ hình và hỏi:
Kh cách từ tâm O đến 3
cạnh thế nào ?
S bằng tổng diện tích 3
tam giác nào ?
SOBC = ? , SOCA = ? ,
SOAB = ?
GV nêu ví dụ 1 và cho các
nhóm giải trên bảng con
* Để tính diện tích tam giác
khi biết trước 3 cạnh ta ad
công thức nào ?
* Để tính bán kính đường
tròn nội tiếp và ngoại tiếp
a
h = AH=ACsin C =
bsin C (kể cả ˆC
nhọn,tù hay vuông)
Ad : sinC =
2
c R
S = 4
abc R
Đều bằng r
OAB, OBC, OCA 1
2ar , 1
2br , 1
2cr
công thức Hêrông
Chứng minh
* Ta đã biết S = 1
2a h a với h a = AH=ACsin C = bsin C (kể cả ˆC
nhọn,tù hay vuông)
Do đó S = 1
2 absin C Các công thức S = 1
2 ca sin B và
S = 1
2 bc sin A được Chứng minh tương tự b) Ta có ct S =1
2ab sin C theo định lí sin sinC =
2
c R
S =
4
abc
R ( đpcm)
c) Chứng minh công thức S = pr
Ta có khoảng cách từ tâm O đến 3 cạnh bằng nhau
Do đó : S = SOBC + SOCA + SOAB
= 1
2ar + 1
2br + 1
2cr = 1
2 ( a+b+c).r = 1
2 p.r Với p = 1
2(a+b+c) d) Công thức Hêrông có chứng minh trong SGK trang 60
Ví dụ 1 Tam giác ABC có các cạnh
a = 5 m, b = 6 m và c = 7 m
a) Tính diện tích tam giác ABC ; b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
GIẢI
a) Ta có p = 1
2 (5 + 6 + 7) = 9
Theo công thức Hêrông ta có :
S = 9(9 5)(9 6)(9 7) = 6 6 (m2 ) b) Áp dụng công thức S = pr
Trang 3ta ad công thức nào ?
* Các nhóm đem gắn KQ
lên bảng lớn
GV cho các nhóm nhận
xét , sửa chửa bổ sung và
đánh giá các nhóm
GV nêu ví dụ 2
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải ra bảng con
GV vẽ hình và hỏi :
Để tính c ta ad công thức
nào?
Để tính góc A ta da công
thức nào ?
Để tính diện tích ABC
ad ct nào ?
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
HĐ2: Giúp HS biết cách ad
các hệ thức trong để giải
tam giác
GV nêu ví dụ 1
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
Để tính B ta ad gì ?
Để tính b,c ta ad gì ?
a = ? , c = ?
Hd thêm cách sử dụng
S=p.r r= S
p
S=
4
abc
R R=
4
abc S
định lí côsin :
2 2 2
c a b 2abcos C định lí cosin cosA =
S= 1
2 absinC
A + B + C = 1800 định lí sin
r = S p = 6 6
9 = 2 6
3 (m)
Từ công thức S =
4
abc
R R =
4
abc
S = 5.6.7 4.6 6 = 35
4 6 (m)
Ví dụ 2 Tam giác ABC có cạnh
a =8 , b = 5 và ˆC = 600 Tính cạnh c, góc A và diện tích tam giác đó
GIẢI
* Theo định lí côsin ta có
2 2 2
c a b 2abcos C = 64 + 25 2.8.5.cos600 = 49 c = 7
* cosA = 2 2 2
2
b c a bc
= 1/7 A 810 47’12”
* Ta có S= 1
2 absinC
= 1
2.8.5.sin600 = 10 3 (đơn vị diện tích)
5.Giải tam giác và ứng dụng thực tế
a) Giải tam giác
Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác
Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các hệ thức đã được nêu lên trong định lí côsin, định
lí sin và các công thức tính diện tích tam giác
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC biết cạnh
b = 15,4 m ; C 54 300 ' và A 640.Tính góc
B và các cạnh a,c.
GIẢI Ta có B = 1800 ( A C )= 610 30’ Theo định lí sin ta có
A B C
Do đóù sin sin
a
B
Trang 4MTBT
61 , 0‘“, 30 , 0‘“
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
GV nêu ví dụ 2
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
Để tính cạnh b ta ad ct nào
?
Để tính A ta ad ct nào ?
Để tính C ta làm sao ?
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
GV nêu ví dụ 3
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
Để tính diện tích của
ABC ta ad ct nào ?
Để tính sinA ta cần tính gì
Để tính r ta ad ct nào ?
định lí côsin
b a c ac B
coasA = 2 2 2
2
b c a bc
C = 1800 ( A + B )
Ct Hê rông hoặc
Ct S = 1
2 bcsinA
2 2 2
cos
2
b c a A
bc
S=pr r = S p
sin
b C c
B
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có cạnh
a=19,4 cm, c = 16,4cm và B 47 200 ' Tính
cạnh b, ˆA và C GIẢI
Theo định lí côsin ta có
b a c ac B b 14,63 cm cosA = 2 2 2
2
b c a bc
0.2222 A 770 9’27”
C = 1800 ( A + B ) 550 30’33”
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm,
b= 13 cm và c = 15 cm Tính các góc A,B,C
GIẢI
Theo định lí côsin ta có
2 2 2
cos
2
b c a A
bc
15 A 1170 49’
2 2 2
cos
2
a c b B
ac
90 B 280 38’
C = 1800 ( A + B ) = 330 33’
Trang 5GV nêu bài toán 1 và hình
vẽ
Để tính CD ta cần biết độ
dài cạnh AD hoặc BD
Làm sao ta tính được cạnh
AD , ta xét nào ?
Trong ABD ta đã biết
được 1 cạnh và 2 góc nào ?
Do đó để tính AD ta ad
gì ?
Khi biết AD làm sao tính
CD ?
Cho các nhóm gắn lời giải
lên bảng lớn
Cho các nhóm nx , Gv chỉnh
lí và đánh giá
GV nêu bài toán 2
Cho các nhóm thảo luận và
ghi lời giải trên bảng con
GV nêu hình vẽ và hỏi
Để đo khoảng cách AC ta
xét ABC có gì ?
ACB = ?
Tương tự như bài toán 1 ,
để tính AC ta ad gì ?
Gọi các nhóm gắn lời giải
trên bảng lớn
AB = 24m,
BAD =1800 =117
CBD
Định lí sin sin sin
D
Ad tỉ số luợ¬ng giác trong vuông ACD
CD= ADsinα
AB = 42 m,
CAB
CBA
1800 (α + ) Định lí sin
B C
b) Ứng dụng vào việc đo đạc
Bài toán 1 Đo chiều cao của một cái tháp mà
không thể đến được chân tháp.Giả sử CD= h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp Chọn 2 điểm A,B trên mặt đất sao cho 3 điểm A,B và C thẳng hàng Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD CBD, Chẳng hạn ta đo được
AB = 32m, CAD = = 680 , CBD 43 0
Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có
D
Ta có Dˆ nên
0 0
Do đó AD = sin 32sin 4300
sin( ) sin 25
AB
Trong tam giác vuông ACD ta có
h = CD = AD sin α 47,88 (m)
Bài toán 2 Tính khoảng cách từ một điểm
trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao
ở giữa sông Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông,người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm
C Ta đo khoảng cách AB,góc CAB và CBA
Chẳng hạn ta đo được AB = 42 m,
Khi đó khoảng cách AC được tính như sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC,ta có
B C (h.2.22)
Vì sinC = sin ( ) nên
Trang 6Cho các nhóm nhận xét ,
chỉnh lí và đánh giá các lời
giải
0 0
sin 42.sin 55
35,17
AB
Vậy AC 35,17 m Củng cố:
1) Nhắc lại định lí cossin, định lí sin và định lí tính độ dài trung tuyến
2) Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác
3) Một tam giác khi biết 2 cạnh b,c và góc kề A thì làm sao tính a, B,C
4) Một tam giác khi biết 1 cạnh a và 2 góc kề B,C thì làm sao tính A,b,c
5) Một tam giác khi biết 3 cạnh a,b,c thì làm sao tính A, B,C
Dặn dò : làm BT trang 59 , hd thêm ở bài 10,11