a.Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu b.Tìm quỹ tích các điểm cực đại.. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
Trang 1I/ CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ:
Tính đơn diệu của hàm số:
1 Cho hàm số : 1 3 ( ) 2 ( )
3
y = − x + m − x + m + x − (1) m là tham số.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hồnh và hai đường thẳng x = − 1; x = 1
3/ Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng ( ) 0;3
2 Cho hàm số: y x ( a a ) x a x
+ +
−
4
3 cos
sin 2
1 3
tìm a để hàm số luơn đồng biến
3 Cho y = x3 + ( a − 1 ) x2 + ( a2 − 4 ) x + 9 tìm a để hàm số luơn đồng biến
3
5 Cho hàm số y = x3 + 3 x2 + ( a + 1 ) x + 4 aTìm a để hàm số nghịch biến trên (-1;1)
6 Cho hàm số
( x a )
x x y
+
−
=
8
8
2 Tìm a để hàm số đồng biến trên [1;+∞)
7 Cho hàm số
1 2
3
2 2
+
+
−
−
=
x
a x x
y Tìm a để hàm số nghịch biến trên (-1/2; +∞)
8 Cho hàm số
a x
a ax x
y
−
+ +
−
= 2 2 2 tìm a để hàm số đồng biến với mọi x > 1
3
1 2 3 1 3
10 Cho hàm số y = x3 + 3 x2 + mx + m tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn cĩ độ dài đúng bằng 1
11 Cho: y = x3 − 3 ax2 + 3 ( a2 − 1 ) x + a2 − a3.Tìm a để hàm số đồng biến với ∀ x ∈ [ − 3 ; − 1 ] [ ] ∪ 0 ; 2
Bài toán tiếp tuyến cơ bản:
1 Cho hàm số y = x3 − 3 x2 + 2 viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A(-1;-2)
2 Cho hàm số ( )
2
2 3
+
+
=
=
x
x x f
y Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp đi qua A(1;3)
3 Cho hàm số ( )
x
x x x f
y = = 2 − + 1 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(2;-1)
4 Cho hàm số ( ) 4 2
2
1 2
1
x x x f
y = = − Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua gốc O(0;0)
5 Cho hàm số y = x3 − 3 x (1)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m ( x + 1 ) + 2 luơn cắt đồ thị (1) tại điểm A cố định b) Tìm m để đường thẳng đĩ cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuơng gĩc vơi nhau
6 Cho hàm số
x
x x
2 − +
= tìm trên đường thẳng x =1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc
Cực trị :
1 Cho hàm số y = ( m + 2 ) x3 + 3 x2 + mx − 5 Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu
Trang 22 Cho hsố ( ) ( )
2
1 2 3 1 3
+
− +
−
−
y Tìm m để hsố đạt cực trị tại x1, x2 và x1 + 2x2 = 1
3 Cho hàm số
4
3
2
−
+ +
−
=
x
m x x
y Tìm m để yCD − yCT = 4
4 Cho hàm số y = f ( ) x = x3 − ( m − 3 ) x2 + mx + m + 5 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
5 Cho hàm số y = f ( ) x = mx3 + 3 mx2 − ( m − 1 ) x − 1 Tìm m để hàm số khơng cĩ cực trị
6 Cho hàm số y = f ( ) x = x4 + 4 mx3 + 3 ( m + 1 ) x2 + 1 Tìm m để hàm số chỉ cĩ cực tiểu khơng cĩ cực đại
7 Cho hàm số
1
8
2
−
+
− +
=
x
m mx x
y Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng
0
1
7
9 x − y − =
8 Cho hsố
1
2 1 2
− +
−
=
x
m x
y a.Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu b.Tìm quỹ tích các điểm cực đại
9 Cho hàm số:y = 4 x3 − mx2 − 3 x + m Cmr ∀m hàm số luơn cĩ cực đại, cực tiểu trái dấu
2 2
m
C m
x
m mx x y
−
− +
−
= Tìm m để (Cm) cĩ cực đại, cực tiểu Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhở nhất của hàm số:
1
1
2 +
+
=
x
x
y trên đoạn [-1;2]
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = x + 4 x − 2 b)y = xex−1 trên [-2;2] c) log ( 2 2 )
3
2
3 3 2
2 + − +
; 4
2 1
3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x3 + 3 x2 + 72 x + 90 trên [-5;5]
1 y = − sin 3 x − 3 sin3x 2
2
1 cos
y 3 y = 4 cos2 x + 3 3 sin x + 7 sin2 x
4 y = x + cos2 x trên 0 ; 4
π
5 y = 5 cos x − cos 5 x trên − 4 ; 4
π π
II/ NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
1 Tìm nguyên hàm của hàm số sau
1 ( )3
1
1
3
+
+
=
x
x
x x
y
−
= 31 3
x x
x y
−
−
2 3
3 3 3
3
2
+
−
+ +
=
x x
x x y
5 y = cos x cos 2 x 6 y = sin3 x 7 y = cot g3x 8 y = e3x sin 4 x
2 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) khi biết f(x) = cos 5 x cos 3 x và 1
4 =
π
G
3 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết ( )
4 cos 4
4 cos
15
8 sin
2 2
+
=
x
x
e
x e
x
8 =
π
G
4 Tính các tích phân:
Trang 31. c os4xdx
0
∫
π
2.∫2 +
0 2 cos 2 cos
π
dx x
x 3.
∫2
0
2
2 cos sin
π
x x
dx 4.∫2
4
4
sin
π
dx
5 ∫2 +
0
3
cos 1
sin 4
π
x xdx 6.∫ + −
1
0
2
x
e
dx e
7.∫π +
0
2
cos
2
sin
dx x
x
x
8.2∫π +
0
2 sin
1 x dx 9.∫2 +
0 sin cos
sin
π
dx x x
x 10.∫e + dx
x
x
1
ln 1
11.∫e ( ) x dx
1
ln sin
12 ∫e( x x ) dx
1
2
ln (PVBC:98) 13 ex ( ) π x dx
π
∫2
0
2
sin 14 ∫2
1
ln xdx
x 15 ∫3( + + )
7
0 3 3 2
1
dx x
dx
16.∫2 −
0
2
2 4 x dx
x 17.( )
∫
3
2
0
3
sin
π
dx
x (KT:01) 18.∫2 + +
01 cos
sin 1
π
dx e x
6
2
π
π
dx x g x
20 Tìm a, b để hàm số ( ) = 2 + + 2
x
b x
a x
2
1
' = −
f và ∫1 ( ) = −
2 1
2 ln 3 2
dx x f
III/ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY :
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 y = x ln2 x; trục Ox; x = 1; x = e 2 y = ex; y = e−x, x=1 3 y = x2 − 4 x + 3; y = 3
4 x − y3 + 1 = 0; x + y − 1 = 0; y = 0 5 ( ) ( ) ( )
8 :
; :
27
;
2 2
2 1
1
x y P x y P x y
6 ( ) P : y = x2 − 4 x + 5 và 2 tiếp tuyến của (P) tại 2 điểm A(1;2) và B(4;5)
2 Trên mặt phẳng toạ độ cho 2 đường Parabol: y = 8 − 3 x − 2 x2 và y = 2 + 9 x − 2 x2
1 Xác định a và b sao cho đường thẳng y = ax + b đồng thời là tiếp tuyến của 2 parabol Xác đinh toạ độ của các tiếp điểm
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol đã cho và tiếp tuyến vừa xác định ở trên
3 Tính thể tích các vật thể sinh ra giới hạn bởi các hình phẳng được giới hạn:
1.(C):y = xex; x = 1; y = 0 quay quanh Ox 2.(C):y x cos x
2 sin
= ;y = 0; x = 0;
2
π
=
x quay quanh Ox
3.( ) P : y = ( x − 2 ) ( )2; ∆ : y = 4 a Quay quanh Ox b Quay quanh Oy
IV/ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG – MẶT CẦU :
1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) cắt và vuơng gĩc với đường thẳng (Δ) cĩ phương
trình:
1
3 4
2
+
=
x
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-4;-5;3) và cắt hai đường thẳng
( )
1
2 2
3 3
1 :
−
=
−
+
=
x
5
1 3
1 2
2 :
−
=
+
=
x D
Trang 43 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vuông góc với (D): x − = y + 2 = z
3
1
và cắt đường
( )
=
+
= +
−
+
0 1
0 2 :
'
x
z y
x
4 Cho (P): 2 x + y + z − 1 = 0 và ( )
3
2 2
1 :
−
+
=
=
y
x d
Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của (d) và (P) vuông góc với (d) và nằm trong (P)
5 Viết phương trình đường thẳng qua M(-1;2;-3) và vuông góc với a ( 6 ; − 2 ; − 3 ) và cắt (D):
5
3 2
1
3
x
6 Cho A(2;-1;1), ( )
= +
−
−
=
− +
∆
0 2 2
0 4 :
z y x
z y
a Viết phương trình (P) qua A và vuông góc với (Δ)
b Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (Δ)
7 Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 1 và cắt hai đường thẳng:
= + +
−
= + +
−
=
−
+
=
−
0 1 2 2
0 4 2
:
; 1
1 2
1
1
z y x
z y x d z
y
x
d
8 Cho mặt phẳng (P) qua A(0;0;1), B(-1;-2;0), C(2;1;-1) a Viết phương trình mặt phẳng (P).
b Tìm những điểm các đều 3 điểm A, B, C
9 Cho ( )
= +
−
−
=
−
−
0 5
0 11 2
:
z y x
y x
3
6 1
2 2
5
a.CMR: (d) và (Δ) thuộc một mặt phẳng b Viết phương trình mặt phẳng đó
c Viết phương trình hình chiếu song song của (d) theo (Δ) lên mặt phẳng (P) 3 x − 2 y − 2 z − 1 = 0
10 Cho ( )
3
1 2
1 7
3 :
1
−
=
−
=
−
−
1
9 2
3 1
7 :
−
=
−
=
−
Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng (Δ3) đối xứng với (Δ2) qua (Δ1) (tức là điểm K’ bất kỳ thuộc (Δ3) luôn có điểm K thuộc (Δ2) đối xứng với K’ qua (Δ1) và ngược lại)
11 Cho A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng 3 x − 8 y + 7 z − 1 = 0
a Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P)
b Tìm toạ độ C ∈ ( ) P sao cho tam giác ABC đều
12 Cho (D1):
1
9 2
3 1
7
−
−
=
−
=
x
(D2):
= +
−
= +
− +
0 1
0 9 2 2
z y
z y x
a CMR: (D1) ┴ (D2)
b Viết phương trình đường vuông góc chung của (D1) và (D2)
13 Cho các điểm A(-2;1;0), B(-2;0;1), C(1;-2;-6), D(-1;2;2)
1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD
2 Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (ABD) Viết phương trình tham số của CD
3 Tính khoảng cách giữa AB và CD
4 Tìm trên CD một điểm I sao cho I cách đều (ABC) và (ABD)
5 Cho G là điểm thoả mãn GA→ + GB→ + GC→ + GD→ =→0 Xác định xem G nằm trong tứ diện ABCI
hay tứ diện ABDI
14.Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho hai đường thẳng:
Trang 51 Viết phương trình mặt phẳng chứa (Δ) và chứa đường vuông góc chung (Δ) và (d)
2 Lập phương trình đường thẳng qua M(1;-1;-2) vuông góc vơi (Δ) và cắt (d)
3 Viết phương trình song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (Δ) và (d)
15 Cho A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C Chứng minh rằng O cũng nằm trên mặt phẳng (P)
2 Chứng minh rằng tứ giác OABC là hình chữ nhật, tính diện tích hình chữ nhật
3 Tính thể tích hình chóp S.OABC biết S(9;0;0)
4 Viết phương trình phân giác trong góc B của Δ ABC
5 Cho ( )
+
=
−
−
=
+
=
t z
t y
t x
d
3 1
2 1 : (là tham số) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và AB
16 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(0;0;1), N(3;0;0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc
3
π
17 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;3;-1) và cắt ( )
=
− +
−
= + +
−
0 8 4
3
0 20 3 4 5 :
z y x
z y x
sao cho AB = 16
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ( )
=
− + +
=
−
− +
0 14 5
4
0 7 4
2 :
z y x
z y x
d và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình (P): x + 2y – 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + 2y -2z + 4 = 0
18 Cho mặt phẳng (P): 16x – 15y – 12z + 75 =0
a Lập phương trình mặt cầu (S) tâm là gốc toạ độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b Tìm toạ độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S)
c Tìm điểm đối xứng của gốc toạ độ O qua mặt phẳng (P)
19.(S): x2 + y2 + z2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0,(Δ):
= +
−
=
− +
−
0 3 2
0 8 2
3
y x
z y x
; (Q) :5 x + 2 y + 2 z − 7 = 0
a Lập phương trình mặt phẳng chứa (Δ) và tiếp xúc với (S)
b Lập phương trình hình chiếu vuông góc của (Δ) lên mặt phẳng (Q)
20 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:
(S) x2 + y2 + z2 + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 (d)
=
−
−
=
− +
−
0 2
0 30 8 11 8
z y x
z y x
21 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;1),
C(1;6;-1), D(-1;6;2)
a CMR: ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau
b Tính khoảng cách giữa AB và CD
c Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
22 Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương
trình ( )
=
=
=
4
2 :
1
z
t y
t x
=
− + +
=
− +
0 12 3 4 4
0 3 :
y x d
a CMR: (d1) và (d2) chéo nhau
b Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
c Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)
Trang 6V/ SOÁ PHệÙC:
1 Tìm môđun của số phức z = 4 – 3i + (1-i)3
2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết số phức z thoả mãn: (1 ) (2 + i 2 − i z ) = + + + 8 i (1 2 ) i z
3 Giải phơng trình trên tập số phức: 1 x2 − 4 x + 5= 0 2 2iz + 1 - i = 0 3 z4− 6 z2 + 25 0 =
4 3 x − + 2 (2 y + 1) i x = + − − 1 ( y 5) i
2
2
2 2 3
c x
+ + = + + =
− =
4 Trên mặt phẳng phức tìm các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i − = 2
5 Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn
điều kiện sau: a) z − + = 1 i 2; b) 2 z + = − i z
6 Tính 1
1
2 + 2 i 2 1 + + + + + i i 2 i 3 i 2009 3 (1 ) − i 100
7 Cho số phức 1 3
z = − + i Hãy chứng minh rằng: z 2 z 1 0; z z 2 1 ; z 3 1.
z
8 Tìm số phức z, nếu z2+ = z 0
10 Chứng minh rằng nếu một phơng trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức α ∉ Ă thì cũng nhận
α là nghiệm
11 Tìm m để phơng trình: x2+ mx + = 3 i 0 có tổng bình phơng 2 nghiệm bằng 8
12 Giải hệ phơng trình
5 2 (1)
+ = +
13 Viết các số phức sau dới dạng lợng giác:
)(1 3)(1 ) )
1
i
i
−
+
14 Tuỳ theo góc ϕ, hãy viết số phức sau dới dạng lợng giác: (1 cos − ϕ − i sin )(1 cos ϕ + ϕ + i sin ) ϕ