Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4 9 y = x.. Câu IV : 3 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a
Trang 1Kiểm tra học kỳ II
Môn: Toán 11 Nâng cao- 2009-2010 Thời gian : 90 phút
*****
Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau :
1 (1đ) lim 21
x
x A
→+∞
+
=
1 cos cos3 lim
x
B
x
→
−
=
Câu II : (2 điểm)
1 (1đ) Cho hàm số :
2
4 2
1 1 khi 0 ( )
1 khi 0
x
x
(m là tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục tại x = 0
2 (1đ) Cho phương trình : ( m4 + + m 1 ) x2010 + x5 − 32 0 = (m là tham số)
Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của
tham số m.
Câu III : (3 điểm)Tìm và xét dấu đạo hàm
a (1đ)
2 2 3 ( )
1
f x
x
=
− (1đ) b ( ) f x = 4 + − x 6 − x
2 (1đ) Cho hàm số
2
x y x
= + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4
9
y = x
Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a
và góc Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2 a.
1 (1đ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
2 (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.
3 (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC Xác
định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) Tính diện tích của
thiết diện này theo a.
Trang 2
-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
1
A
1
lim
2
1 1 3
x
x x
→+∞
+
0,25 0,25 0,25 0,25 2
1
2
2
L
0,25
2 0
1 cos
lim
x
x x
→
−
=
2 2 0
sin 2 lim 2 2
x
x x
÷
=1
2và
2
3 sin
4
9 2
x x
0,25
1
2
f x
+ −
Hàm số f liên tục tại x = 0
0
lim ( ) (0)
x f x f
→
1 3
1
2 Hàm số f x ( ) = ( m4+ + m 1 ) x2010 + x5 − 32 là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ , do đó nó
liên tục trên đoạn [ 0 ; 2 ]
0,25
= + + = − ÷ + + ÷ + > ∀ ∈
0,50
Suy ra f (0) (2) 0, f < ∀ ∈ m ¡ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (0 ;
2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. 0,25
( )
1
f x
x
=
2
2
'( )
( 1)
f x
x
=
'( ) 0, 1
2
f x
−
'( ) 0, ( 4,6)
Trang 33 Gọi M x y ( 0; 0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng ( ) : d y y − 0 = f x '( )(0 x x − 0)
với ( )
2
2 2 '
2 1
o o
o
f x
x
+
=
'
y
0,25
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3 x khi và chỉ khi : ( )0
4 '
9
f x =
2 2
9
o
x
+
0
9.(2 xo + 2 ) 4 2 xo = x + 1 ⇔ 2 xo + 2 xo − = 4 0⇔xo=1, xo=−2
0,25
với x0 = 1 thì 0 1
3
y = nên ta có phương trình tiếp tuyến là 1 4 1
( ) :
với x0 = − 2 thì 0 4
3
y = − nên ta có phương trình tiếp tuyến là 2 4 4
( ) :
1 Vì SA (ABCD) ⊥ nên AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD), do đó góc giữa đường thẳng
SC và mp(ABCD) bằng góc giữa đường thẳng SC và AC và bằng góc ·SCA
0,25
ABCD là hình vuông ⇒ tan·SCA=1 ⇒ ·SCA= 45o 0,5
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc ·SCA và bằng 45o 0,25
2 ABCD là hình vuông nên suy ra BC⊥AB (1) 0,25
SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BC(2) Từ (1), (2) suy ra BC ⊥(SAB) 0,5
Mà BC⊂(SBC) nên suy ra (SBC) ⊥(SAB) 0,25
3 Gọi K là hình chiếu của A lên SC, suy ra AH SC ⊥ (3)
Gọi I là giao điểm của SO và AH Qua I, vẽ MN // BD
Vì BD (SAC) ⊥ nên MN (SAC) ⊥ , do đó MN SC ⊥ (4)
Từ (3), (4) suy ra (AMHN) ⊥ SC nên mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (AMHN)
0,25
Suy ra thiết diện là tứ giác AMHN
MN (SAC)
⊂ Vậy tứ giác AMHN có hai đường chéo vuông góc.
0,25
AH là đường cao của tam giác vuông cân SAC nên AH = a
MN // BD⇒ MN SI 2
BD = SO = 3 (vì I là trọng tâm của ∆SAC), suy ra 2
3
=
Mà BD = a 2 nên MN = 2 2
3
a
0,25
AMHN
1
2
a
HẾT