CHƯƠNG 3 - HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG pot

 *3 Phương pháp các hình chiếu vuông góc: Trong phép chiếu song song nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng chiếu, ta gọi đó là phép chiếu vuông góc... Góc để chiếu vật thể lên các

CHƯƠNG 3:

HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU :

Sau khi học xong bài này, sinh viên có khả năng:

* Xây dựng được hình biểu diễn của điểm

* Tìm được hình chiếu thứ ba của một điểm khi biết hai hình chiếu thẳng góccủa điểm đó

* Xây dựng được hình biểu diễn của đường thẳng

* Xây dựng được hình biểu diễn của mặt phẳng

NỘI DUNG (6 tiết)

3.1 Hình chiếu của điểm

3.1.1 Đồ thức của một điểm

3.1.1.1 Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu3.1.1.2 Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu3.1.2 Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba

3.2 Hình chiếu của đường thẳng

3.2.1 Đồ thức của một đường thẳng

3.2.2 Các vị trí đặc biệt của đường thẳng

3.2.2.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu3.2.2.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu3.3 Hình chiếu của mặt phẳng

3.3.1 Đồ thức của mặt phẳng

3.3.2 Các mặt phẳng đặc biệt

3.3.2.1 Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu3.3.2.2 Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

CHƯƠNG 3:

HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các phương pháp biểu diễn khônggian lên mặt phẳng, nói khác đi nó nghiên cứu cách xây dựng các mô hình phẳng củakhông gian Một trong các công cụ để xây dựng mô hình nói trên là phép chiếu

Góp phần to lớn vào lý thuyết biểu diễn có :

- Leonardo da Vinci, nhà họa sĩ thiên tài Ý và nhà bác học của thời kỳ Phụchưng

- Girard Dezarg, nhà hình học và kiến trúc sư Pháp, người đã đặt những luận

cứ khoa học đầu tiên về phép chiếu phối cảnh

- René Décard, nhà toán học Pháp thế kỷ 17 đã đề xướng hệ toạ độ thẳng góc.Gaspard Monje, kỹ sư người Pháp, với công trình “ Hình học họa hình” được công bốvào năm 1798, công trình đó là cơ sở cho phương pháp vẽ chiếu được ứng dụng cho

đến nay

*Khái niệm về các phép chiếu:

Giả thiết trong không gian, ta lấy một mặt phẳng P và một điểm S ở ngoài mặtphẳng đó Từ một điểm A bất kì trong không gian dựng đường thẳng SA, đường nàycắt mặt phẳng P tại một điểm A'

Hình 3.1

và gọi mặt phẳng P là mặt phẳng hình chiếu, đường thẳng SA là tia chiếu và điểm A'

là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng P.

*1) Phép chiếu xuyên tâm:

Là phép chiếu mà các tia chiếu xuất phát từ một điểm (cố định)

Điểm O cố định: tâm chiếu

A', B', C': hình chiếu xuyên tâm của hình ABC trên mặt phẳng hình chiếu P

P

S A

A'

A' C' B'

A C B O

Ví dụ :

Trong thực tế ta thường thấy những hiện tượng giống như các phép chiếu Ánhsáng của một ngọn đèn chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu xuyên tâm vớimột ngọn đèn là tâm chiếu, mặt đất là mặt phẳng chiếu, bóng đồ vật trên mặt đất làhình chiếu xuyên tâm của đồ vật đó (Hình 3.2 a)

Ứng dụng: Phép chiếu xuyên tâm được dùng khi vẽ hình chiếu phối cảnh.

Phép chiếu xuyên tâm được dùng trong vẽ mỹ thuật, trong các bản vẽ xâydựng, kiến trúc Phép chiếu xuyên tâm cho ta những hình vẽ của vật thể giống nhưnhững hình ảnh khi ta nhìn vật thể đó

*2) Phép chiếu song song:

Là phép chiếu mà nếu tất cả các tia chiếu không đi qua một điểm cố định mà

song song với một đường thẳng cố định l (phương chiếu).

A'B'C'D': hình chiếu song song của hìnhABCD trên mặt phẳng hình chiếu P

l: phương chiếu

Dễ dàng thấy rằng phép chiếu song song làtrường hợp riêng của phép chiếu xuyên tâm vớitâm chiếu S ở xa vô tận Khi đó tâm chiếu S∞được xác định bởi phương chiếu l

Ví dụ : Ánh sáng của mặt trờichiếu đồ vật lên mặt đất giốngnhư phép chiếu song song Các

tia sáng mặt trời là những tia chiếu song song, mặt Hình 3.3

đất là mặt phẳng chiếu và bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu song song của đồ vật

đó (hình 3.3)

Ứng dụng: Trong vẽ kỹ thuật thường dùng phép chiếu song song vì phép chiếu

này cho ta tính trực quan và dễ vẽ so với phép chiếu xuyên tâm

 *3) Phương pháp các hình chiếu vuông góc:

Trong phép chiếu song song nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng

chiếu, ta gọi đó là phép chiếu vuông góc

Ứng dụng: Phép chiếu vuông góc thường được sử dụng rộng rãi trong các bản

vẽ kỹ thuật nói chung và các bản vẽ cơ khí nói riêng

Để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật thể, trên các bản

vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vuông góc

Góc để chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau, sau đógập các mặt phẳng hình chiếu cho trùng với mặt phẳng bản vẽ, sẽ được các hình chiếuvuông góc của một vật thể Đó chính là phương pháp các hình chiếu vuông góc

3.1 HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM

3.1.1 Đồ thức của một điểm

3.1.1.1 Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a Hệ thống chiếu

Phương pháp hai hình chiếu thẳng

góc được dùng rộng rãi trong kỹ thuật

nhất là trong các bản vẽ cơ khí và xây

dựng Phương pháp này do nhà toán học

người Pháp Gaspard Monje (1746-1818)

đề ra nên còn gọi là phương pháp Monje

Trong không gian lấy hai mặt

đó sẽ vẽ hình biểu diễn của không gian

Gọi G là mặt phẳng phân giác của

góc nhị diện hợp bởi P1 , P2 và s1 , s2 , s3 là

những hướng chiếu tương ứng vuông góc

với P1 , P2 và G (Hình 3.1)

Hình 3.1

Để biểu diễn một điểm A bất kỳ ta làm như sau (hình 3.1):

- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P1, được hình chiếu A1

- Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P2, được hình chiếu A’2

- Chiếu điểm A’2 lên mặt phẳng P1 theo hướng chiếu vuông góc với mặtphẳng phân giác G, được hình chiếu A2

Cặp điểm A1 , A2 gọi là hình biểu diễn của điểm A Dễ dàng thấy rằng hai điểm

A1 , A2 nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x vì mặt phẳng A A1A2 là mặt phẳngvuông góc với x

Mỗi điểm A trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A1 , A2 cùngnằm trên một đường thẳng thẳng góc với x Ngược lại mỗi cặp điểm A1 , A2 bất kỳcùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x đều là hình biểu diễn của một điểm Axác định trong không gian

A

P 1

P 2 X

A1 : hình chiếu đứng của điểm A

A2 : hình chiếu bằng của điểm AĐường thẳng nối A1 , A2 gọi là đường gióng củađiểm A Cặp điểm A1 , A2 gọi là hình biểu diễnhay là đồ thức của điểm A Vì mặt phẳng P1 đượcchọn làm mặt phẳng hình vẽ nên ta có hình biểudiễn của điểm A như trên hình 3.2

Hai mặt phẳng P 1 và P 2 chia không gian thành 4 góc nhị diện vuông :

Hình 3.3

Để vẽ hai hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P1 cốđịnh, cho P2 quay quanh x một góc 900 để P2 trùng với P1, khi đó A1 và A2 sẽ nằm trênđường thẳng vuông góc với trục x

Vậy một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A1, A2 nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục x Ngược lại một điểm trongkhông gian hoàn toàn được xác định khi biết hai hình chiếu của nó trên hai mặt phẳnghình chiếu Thực vậy, vì từ hai điểm A1, A2 (A1A2 vuông góc với trục x), bằng cáchthực hiện ngược lại các thao tác trên, sẽ xác định được một điểm A trong không gian

Cặp hình chiếu A1 , A2 nằm trên đường vuông góc với trục x gọi là hình biểudiễn hay đồ thức của điểm A (hình 3.4)

Đồ thức có các tính chất sau:

 Đường thẳng A1A2 vuông góc với trục x (A1A2x)

 Từ 2 hình chiếu vuông góc A1, A2 của điểm A trên đồ thức thì vị trí của điểm

A hoàn toàn được xác định trong không gian

b Độ cao của một điểm :

Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếubằng Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu đứng của điểm tới trụchình chiếu

xa c a m t đi m là kho ng cách t đi m đó đ n m t ph ng hình chi u đ ng.

Đ ểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ừ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ến mặt phẳng hình chiếu đứng ặt phẳng hình chiếu đứng ẳng hình chiếu đứng ến mặt phẳng hình chiếu đứng ứng.Trên hình bi u di n, đó là kho ng cách t hình chi u b ng c a đi m t i tr c hìnhểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm tới trục hình ảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ừ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ến mặt phẳng hình chiếu đứng ằng của điểm tới trục hình ểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng ới trục hình ục hìnhchi u.ến mặt phẳng hình chiếu đứng

Quy ước :

- Độ cao của một điểm là dương,

bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía

trên, thuộc hay ở phía dưới mặt phẳng P2

- Độ xa của một điểm là dương,

bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía

trước, thuộc hay ở phía sau mặt phẳng P1

P2

P3

A O x

y z

Hình 3.6

- Điểm D  mặt phẳng phân giác của các góc tư I (tức là mặt phẳng đi quatrục x và chia đôi góc tư đó) Độ cao và độ xa của D bằng nhau về trị tuyệtđối và cùng mang dấu dương nên hai hình chiếu của D đối xứng nhau quatrục x

- Điểm E  mặt phẳng phân giác của các góc tư II (tức là mặt phẳng đi quatrục x và chia đôi góc tư đó) Độ cao và độ xa của E bằng nhau về vị trítuyệt đối nhưng khác dấu, hai hình chiếu của E trùng nhau

3.1.1.2 Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

Trong không gian lấy 3 mặt phẳng P1, P2, P3 vuông góc với nhau từng đôi mộtlàm 3 mặt phẳng hình chiếu (hình 3.7)

Lấy 1 điểm A tuỳ ý trong không gian,

chiếu vuông góc điểm A lên 3 mặt phẳng hình

chiếu sẽ có A1 trên P1, A2 trên P2, A3 trên P3

(hình 3.8)

Hình 3.7

Hình 3.8

A1: gọi là hình chiếu đứng của điểm A

A2: gọi là hình chiếu bằng của điểm A

A3: gọi là hình chiếu cạnh của điểm A

- Để vẽ 3 hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P1 cốđịnh, cho P2 và P3 quay một góc 900 quanh hai trục Ox và Oy, để P2 và P3 trùng với P1

- Ba điểm A1, A2, A3 là 3 hình chiếu của một điểm A trên 3 mặt phẳng hìnhchiếu hay là đồ thức của điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu Đồ thức có các tính chấtsau:

 Đường thẳng A1A2  Ox

 A1A3  Oz

 Khoảng cách từ A2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ A3 đến trục Oz và bằngkhoảng cách từ điểm A đến P1 (A2AX = A3AZ)

3.1.2.1 Bài toán

Cho hai hình chiếu (A1 , A2) của điểm A

Vẽ hình chiếu cạnh của điểm đó ( Hình 3.9a)

Ap dụng tính chất của đồ thức của một điểm A trong hệ thống ba mặt phẳnghình chiếu thẳng góc, ta tìm hình chiếu thứ ba A3 của điểm như sau :

hình chiếu cạnh của điểm

thứ ba của điểm khi đã

biết được hai hình chiếu

của điểm đó

Hình 3.10a Hình 3.10b

Cách vẽ như sau :

- Vẽ đường gióng ngang qua A1

- Vẽ đường gióng ngang qua A2 , xác định giao điểm Ay  yz

- Quay cung tròn tâm O, bán kính OAy với chiều ngược chiều kim đồng hồ đểxác định điểm Ay  yx (hoặc vẽ đường nghiêng 45o so với trục yz)

- Vẽ qua điểm Ay  yx đường gióng đứng và tìm giao điểm A3 của nó vớiđưòng gióng ngang qua A1 Ta sẽ gọi bài toán trên là bài T [(1,2) → 3 ] (hình 3.10a)

Ví dụ 2 : Biết hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của điểm A Hãy vẽ hình chiếu

cạnh của điểm đó ( Hình 3.10b)

Cách vẽ như sau :

- Vẽ đường gióng đứng qua A1

- Vẽ đường gióng đứng qua A3 , xác định giao điểm Ay  yx

- Quay cung tròn tâm O, bán kính OAy theo chiều kim đồng hồ để xác địnhđiểm Ay  yz (hoặc vẽ đường nghiêng 45o so với trục yx)

- Vẽ qua điểm Ay  yz đường gióng ngang và tìm giao điểm A2 của nó vớiđưòng gióng đứng qua A1 Ta sẽ gọi bài toán trên là bài T [(1,3) → 2 ] (hình 3.10b)

3.1.2.2 Tọa độ của điểm

Một điểm A trong không gian bao giờ cũng được xác định bằng ba tọa độA(x,y,z), như vậy A1(x,z), A2(x,y), A3(y,z)

Ví dụ 3 : Cho A(5,3,7) Hãy vẽ ba hình chiếu của điểm A (hình 3.11)

Vậy A1(5,7), A2(5,3), A3(3,7)

Cách vẽ : Kẻ hai đường trục vuông góc nhau, lấy tỷ lệ xích trên các trục tọa độ

Từ trục Ox lấy điểm 5 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 7 gióng sang ta có điểm

A1 Tương tự như vậy ta tìm được điểm A2 và A3

Từ trục Ox lấy điểm 6 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 8 gióng sang ta có điểm

A1 Tương tự như vậy ta tìm được điểm A2 và A3

3.1 HÌNH CHIẾU CỦA ĐƯỜNG THẲNG

3.2.1 Đồ thức của một đường thẳng

Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm, do đó muốn biểu diễn mộtđường thẳng chỉ cần biểu diễn hai điểm bất kỳ của đường thẳng đó (hình 3.13)

3.2.1.1 Hình chiếu vuông góc của đường thẳng bất kỳ trên hai mặt phẳng hình chiếu

Đường thẳng bất kỳ là đường thẳng không song song và cũng không vuông gócvới mặt phẳng hình chiếu nào

AB là đường thẳng bất kỳ trong không gian Dùng phép chiếu vuông góc chiếuđiểm A,B lần lượt lên P1,P2 và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng bất kỳ ( Hình3.13)

Trên đồ thức:

- Đường thẳng A1 B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng AB

- Đường thẳng A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng AB

- Đường thẳng A3B3 gọi là hình chiếu cạnh của đường thẳng AB

Hình 3.14

3.2.2 Các vị trí đặc biệt của đường thẳng

3.2.2.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

3.3.1.1 Đường mặt

Đường mặt là đường thẳng song song với

mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ( Hình 3.15)

- Dấu hiệu đặc trưng của đường mặt là

hình chiếu bằng của nó song song với trục x (A2B2 // x)

- Hình chiếu đứng của đường mặt là

một đường thẳng nghiêng với trục x góc

đúng bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng

- Dấu hiệu đặc trưng của đường bằng là

hình chiếu đứng của nó song song với trục x (A1B1 // x)

- Hình chiếu bằng của đường bằng là

một đường thẳng nghiêng với trục x góc đúng

bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

- Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng thì

- Đường thẳng chiếu đứng vừa // P2 ; vừa //

P3 nên A2B2 = AB = A3B3

- Đường thẳng chiếu bằng vừa // P1 ; vừa //

Bảng 3-1 : Hình chiếu của đường thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu

B1

B3 A3 A

B3

B2 A2

B1 A1

A2

O

O A

B

A1 B1 A2 B2

B3

A3

O x

A1 B1

A2 B2

A3 B3

A3B3  Oz

A1B1  Ox

A1B1 = A3B3 =AB

A3B3 // Oz

A1B1//A2B2//Ox

A1B1 = A2B2 =AB

*SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

*1 Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng bất kỳ

Phép chiếu bảo tồn sự liên thuộc của điểm và đường thẳng nên ta có định lý sau:

A1 = B1 A B

A2 B2

A3 B3

x A1 = B1

A2 B2

A2 = B2 B1

x

O A2 = B2

A1 B1

B1 A1

A3 = B3

Hình 3.21

có phức tạp hơn Thực vậy, nếu AB làmột đường cạnh và C là một điểm của ABthì C1  A1B1 , C2  A2B2 Nhưng ngượclại không đúng

Phép chiếu thẳng góc bảo tồn tỷ sốđơn của 3 điểm thẳng hàng nên ta cóđịnh lý sau :

Định lý :

Điều kiện ắt có và đủ để một điểm I thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của 3điểm hình chiếu đứng của A, B, I bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu bằng củachúng

Trên hình 3.22 biểu diễn sựliên thuộc của điểm I và đườngcạnh AB, ở đó ta thấy rằng :

I1  A1B1 , I2  A2B2 , I3 

A3B3 Ngoài ra : (A1B1I1) = (A2B2I2) = (A3B-

3I3)

Hình 3.22

*VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

*1 Khái niệm

Bài toán 1 : Cho mặt phẳng chiếu bằng ABC và một đường thẳng d Xác định giao

điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC (Hình 3.23)

Nếu ABC là mặt phẳng chiếu

đứng, cách lập luận hoàn toàn tương tự

Trên hình 3.24 vẽ giao điểm K của đường

thẳng a với mặt phẳng chiếu đứng BCD

Ta có U2 = A2 B2  x.

Từ U2 suy ra U1  A1 B1

Điểm U(U1, U2) còn gọi là vết đứng của đường thẳng AB.

b) Mặt phẳng hình chiếu bằng P2 cũng là một mặt phẳng chiếu đứng Hìnhchiếu đứng của nó chính là trục x Gọi R là giao điểm của AB với P2

Ta có R1 = A1 B1  x

Từ R1 suy ra R2  A2 B2

Điểm R(R1, R2) còn gọi là vết bằng của đường thẳng AB.