2 điểm Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông, SA=AB=BC=a, SA vuông góc với mpABC, 1.. Chúng minh rằng hai mặt phẳng SAB và SBC vuông góc.. Dành cho thí sinh học theo chơng trì
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá đề thi học kì ii năm học 2009-2010
( Thời gian làm bài : 90 phút)
I: Phần Chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Tính các giới hạn sau
1 lim2 15
−
+
→ x
x
3
2 3
1 ( 3 2
−∞
→
x x x
Câu 2 ( 1 điểm)
Cho hàm số
=
≠
−
−
=
0
0 1
1 ) (
x khi m
x khi x
x x
Xác định m để hàm số đã cho liên tục tại x=0
Câu 3 (2 điểm)
Cho hàm số f(x) =
3
1
x3 – 2x2 + mx – 3
1 Tìm m để f’(x) >0 với mọi x
2 Với m = 1, viết phơng trình tiếp tuyến xủa đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành
độ x=0
Câu 4 (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông, SA=AB=BC=a, SA vuông góc với mp(ABC),
1 Chúng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc
2 Tính khoảng cách từ A đến mp(ABC)
II : Phần riêng ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ đợc chọn 1 trong 2 phần A hoặc B.
A Dành cho thí sinh học theo chơng trình chuẩn
Câu 5a (1 điểm) Cho hàm số y = cosx+xsinx Chúng minh rằng y+y’’-2cosx=0 Câu 6a (1 điểm) Chứng minh rằng ∀x≠ 1 ta có
1+2x+3x2+ +2009x2008 = 2
2009 2010
) 1 (
1 2010
2009
−
+
−
x
x x
Câu 7a (1 điểm) Tính góc giữa 2 cạnh đối diện của tứ diện đều có cạnh bằng a.
B Dành cho thí sinh học theo chơng trình nâng cao
Câu 5b (1 điểm)
Chứng minh rằngvới mọi giá trị của m, phơng trình sau có nghiệm
4sin3x+m(2cosx- 2)-1=0
Câu 6b (1 điểm)
Tìm số nguyên dơng n sao cho
2010 2
2 2
).
1 2 (
2 4 2
3 2
.
2 2 2 4
2 3 3
2 2 2
2
1
C C
C C
C
n n n
n
n n
n n
Câu 7b ( 1 điểm) Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của một tứ diện đều có
cạnh bằng a
******************************Hết*******************************
( giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên SBD Phòng
Trang 2Hớng dẫn chấm thi học kì 2- Môn toán- khối 11
− +
5 2
lim
1 x
x
vì lim(2 5) 3 0,lim( 1) 0
1 1
=
−
<
−
=
−
+
→
x x
x
0,5 0,5 2
(1đ) →−∞ + − = →−∞ + −3 )=−∞
2 1 3
1 ( )
3
2 3
1
lim
x x
3
1 3
2 1 3
1
3
lim
−∞
=
−∞
→
−∞
x
0,5 0,5
2 (1đ) Ta có f(0)=m
2
1 1
1
1 )
1 1 (
) 1 1 )(
1 1 ( 1
1 )
lim
0 0
0 0
=
− +
=
− +
− +
−
−
=
−
−
=
→
→
→
x x
x
x x
f
x x
x x
Để hàm số đã cho liên tục tại x=0 thì lim ( ) (0)
0
f x f x
=
0,5 0,5
3 1 f’(x) =x2-4x+m
f’(x) >0 ∀x⇔ ∆ ' = 4 −m< 0 ⇔m> 4
0,5 0,5 2
(1đ) m=0 ta có f(x) = 3
1
x3 -2x2+x- 3, f(0)=-3 f’(x)=x2-4x+1, f’(0) =1
Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (0;-3) là : y=f’(0)(x-0)-3 hay y= x-3
0,5
0,5
2
) (
) (
gt AB BC ma
BC SA ABC
mp SA
⊥
⊥
⇒
⊥
)
(SAB
mp
BC⊥
⇒
Do BC ⊂mp (SBC)nên mp(SBC) ⊥mp(SAB) (đpcm)
Kẻ AH vuông góc với SB tại H
Do mp(SBC) ⊥mp(SAB), mà mp(SAB) ∩mp(SAC) =SB
Nên AH ⊥mp (SBC) Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng AH
Do tam giác SAB vuông cân đỉnh A nên H là trung điểm SB,
2
2 2
SB
0,5 0,5
0,5 0,5
5 a y’=-sinx+sinx+xcosx=xcosx
y’’=cosx-xsinx y+y’’=cosx+xsinx+cosx-xsinx=2cosx⇒ y+y’’-2cosx=0 (đpcm) 0,50,5
6 a 1+2x+3x2+ +2009x2008=(1+x+x2+x3+ +x2009)’
=
' 2010 1
1
−
−
x
) 1 (
1 2010
2009
−
+
−
x
x x
(đpcm)
0,5 0,5
7 a Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh a
0 60 cos 60
cos ) (
.CD= AB AD−AC = AB AD 0 −AB AC 0 =
AB
Vậy nên AB⊥DC hay góc giữa chúng bằng 90 0 1,0
S
A
B
C
Trang 35 b Xét hàm số f(x)=4sin3x+m(2cosx- 2)-1 liên tục trên R nên f(x) cũng
liên tục trên đoạn −4 ;4
π π
4= − − <
4= − >
π
4
.
4 <
−
Theo hệ quả định lý giá trị trung gian suy ra phơng trình f(x) =0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng
−
4
; 4
π π
(đpcm)
0,5
0,5
n n
n n n
n
2 1 2 1 2 2 2
2 2
1 2
0
2 2
2 1 2 2
2 2
1
2 + 2 + + ( 2 − 1 ) − − + 2 n n−
n n
n n n
C
n n n
n
n n
2 1 2 1
2 2 2 2 2
2
1
2 − 2 2 + + ( 2 − 1 ) 2 − − − 2 2 − Theo bài ra ta có -2n=-2010 suy ra n = 1005
0,5
0,5
7 b Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB và CD
C/m đợc MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD
d(AB,CD) =MN =
2
2 2
1 2 2 2
2 2
2
a a AM
DN AD
AM
0,5
0,5
( Chú ý: mọi cách giải khác , nếu đúng, trình bày chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa ở từng câu, ý )