THUẬT TOÁN HOÁN CHUYỂN NGUỒN ĐÍCH CÓ TRỌNG SỐ TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI WEIGHTED SOURCE-SINK ALTERNATIVE ALGORITHM TO FIND MAXIMAL FLOW TRẦN QUỐC CHIẾN Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Trang 1THUẬT TOÁN HOÁN CHUYỂN NGUỒN ĐÍCH
CÓ TRỌNG SỐ TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI
WEIGHTED SOURCE-SINK ALTERNATIVE ALGORITHM
TO FIND MAXIMAL FLOW
TRẦN QUỐC CHIẾN
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Công trình tiếp tục nghiên cứu thuật toán hoán chuyển nguồn đích giải bài toán tìm luồng cực đại trên mạng Kết quả chính của báo cáo là đề xuất Thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại Ý tưởng thuật toán là tìm đường đi tăng luồng đồng thời từ đỉnh nguồn và đỉnh đích với trọng số là lực lượng các đỉnh gán nhãn tiến và nhãn lùi Kết quả tính toán qua các ví dụ cho thấy thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số là thuật toán tổng quát có thể
áp dụng hiệu quả cho mạng bất kỳ
ABSTRACT
This paper deals with the maximal flow problem The basic results are systematically presented and proved The known Ford-Fulkerson is thoroughly introduced and illustrated The main result of this work is the weighted source-sink alternative algorithm The idea of the algorithm is to find augmented paths simultaneously from the source and the sink vertex with the weights as the cardinalities of the forward labeled vertices and the backward labeled vertices (the Ford-Fulkerson algorithm finds augmented paths only from the source vertex) Calculus examples show that the proposed algorithm considerably decreases the computational complexity in comparison with the Ford-Fulkerson algorithm
Key word: graph, network, flow
Ý tưởng của phương pháp này là gán nhãn các đỉnh đồng thời từ đỉnh nguồn và đỉnh đích, xem [16] Sự khác biệt cơ bản của thuật toán này so với thuật toán hoán chuyển nguồn đích trong [16] như sau: Tại mỗi bước lặp, để xác định hướng gán nhãn, ta xác định lực lượng của tập đỉnh đã có nhãn tiến, nhưng chưa được dùng để sinh nhãn tiến, kí hiệu S, và lực lượng của tập đỉnh đã có nhãn lùi, nhưng chưa được dùng để sinh nhãn lùi, kí hiệu T S và T có thể coi là trọng số
của hướng gán nhãn Nếu S T , thì sinh nhãn tiến, ngược lại sinh nhãn lùi
Thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại
+ Đầu vào Mạng G = (V, E) với nguồn a, đích z, khả năng thông qua C =
(cij), (i,j)G
Các đỉnh trong G được sắp xếp theo thứ tự nào đó
+ Đầu ra Luồng cực đại F = (fij), (i,j)G
+ Các bước:
Trang 21 Khởi tạo
Luồng xuất phát: fij := 0 (i,j)G
Đặt nhãn tiến () cho đỉnh nguồn và nhãn lùi () cho đỉnh đích
a(, , ) & z(, , ) Tạo lập tập S gồm các đỉnh đã có nhãn tiến nhưng chưa được dùng để sinh nhãn tiến:
S : = { a } Tạo lập tập T gồm các đỉnh đã có nhãn lùi nhưng chưa được dùng để sinh nhãn lùi:
T : = { z }
2 Chọn chiều sinh nhãn
Nếu S T , thì sang bước 3 (sinh nhãn tiến), ngược lại sang bước 4 (sinh nhãn lùi)
3 Sinh nhãn tiến
3.1 Chọn đỉnh sinh nhãn tiến
Trường hợp S : Chọn đỉnh u S nhỏ nhất (theo thứ tự) Loại u khỏi
S, S := S \ { u } Ký hiệu nhãn tiến của u là (, p, ) và A là tập các đỉnh chưa có nhãn tiến và kề đỉnh sinh nhãn tiến u
Sang bước 3.2
Trường hợp S = , thì kết thúc, luồng F là cực đại
3.2 Gán nhãn tiến cho đỉnh chưa có nhãn tiến và kề đỉnh sinh nhãn tiến u
Trường hợp A = : Quay lại bước 2
Trường hợp A : Chọn t A nhỏ nhất (theo thứ tự) Loại t khỏi A, A:=
A \ { t } Gán nhãn tiến cho t như sau:
Nếu (u,t) E và fu,t < cu,t, đặt nhãn tiến đỉnh t là (, u, min{, cu,t fu,t}) Nếu (t, u) E và ft,u > 0, đặt nhãn tiến đỉnh t là (, u, min{, ft,u})
Nếu t không được gán nhãn tiến, thì quay lại bước 3.2
Nếu t được gán nhãn tiến và t có nhãn lùi, thì sang bước hiệu chỉnh tăng luồng 5
Nếu t được gán nhãn tiến và t không có nhãn lùi, thì bổ sung t vào S, S:=
S { t }, và quay lại bước 3.2
4 Sinh nhãn lùi
4.1 Chọn đỉnh sinh nhãn lùi
Trường hợp T : Chọn đỉnh v T nhỏ nhất (theo thứ tự) Loại v khỏi
T, T := T \ { v } Ký hiệu nhãn lùi của v là (, q, ) và B là tập các đỉnh chưa có nhãn lùi và kề đỉnh sinh nhãn lùi v
Sang bước 4.2
Trường hợp T = , thì kết thúc, luồng F là cực đại
Trang 34.2 Gán nhãn lùi cho đỉnh chưa có nhãn lùi và kề đỉnh sinh nhãn lùi v
Trường hợp B = : Quay lại bước 2
Trường hợp B : Chọn t B nhỏ nhất (theo thứ tự) Loại t khỏi B, B:=B \ { t } Gán nhãn lùi cho t như sau:
Nếu (t, v)E và ft,v < ct,v, đặt nhãn lùi đỉnh t là (, v, min{, ct,v ft,v}) Nếu (v, t)E và fv,t > 0, đặt nhãn lùi đỉnh t là (, v, min{, fv,t})
Nếu t không được gán nhãn lùi, thì quay lại bước 4.2
Nếu t được gán nhãn lùi và t có nhãn tiến, thì sang bước hiệu chỉnh tăng luồng 5
Nếu t được gán nhãn lùi và t không có nhãn tiến, thì bổ sung t vào T, T:=
T { t }, và quay lại bước 4.2
5 Hiệu chỉnh tăng luồng
Ký hiệu t là đỉnh được gán nhãn tiến ở bước 3.2 hoặc nhãn lùi ở bước 4.2
để thuật toán dẫn đến bước 5 Giả sử t có nhãn tiến (, p, ) và nhãn lùi (, q, ) Đặt = min{, }
Ta hiệu chỉnh luồng f như sau:
5.1 Hiệu chỉnh ngược từ t về a theo nhãn tiến
5.1.1 Khởi tạo
j := t, i := p
5.1.2 Hiệu chỉnh
Nếu cung (i, j) G, thì hiệu chỉnh fij = fij +
Nếu cung (j, i) G, thì hiệu chỉnh fji = fji
5.1.3 Tịnh tiến
Nếu i = a, thì sang bước 5.2
Nếu i a, thì đặt j := i và i := h, với h là thành phần thứ hai của nhãn tiển đỉnh j Sau đó quay lại bước 5.1.2
5.2 Hiệu chỉnh từ t đến z theo nhãn lùi
5.2.1 Khởi tạo
i := t, j := q
5.2.2 Hiệu chỉnh
Nếu cung (i, j) G, thì hiệu chỉnh fij = fij +
Nếu cung (j, i) G, thì hiệu chỉnh fji = fji
5.2.3 Tịnh tiến
Nếu i = z, thì sang bước 5.3
Trang 4Nếu i z, thì đặt i := j và j := k, với k là thành phần thứ hai của nhãn lùi đỉnh i Sau đó quay lại bước 5.2.2
5.3 Xoá tất cả nhãn của các đỉnh trên mạng, trừ đỉnh nguồn a và đỉnh đích z,
và quay lại bước 2
Định lý 1 Nếu các giá trị thông qua cij là số nguyên, thì sau hữu hạn bước quá
trình giải kết thúc
Chứng minh (tương tự như thuật toán Ford-Fulkerson)
Hệ quả Nếu giá trị thông qua cij là số hữu tỉ với mọi (i,j) E, thì sau hữu hạn bước quá trình giải kết thúc
Chứng minh (tương tự như thuật toán Ford-Fulkerson)
Định lý 2
Cho mạng G=(V,E,c) với nguồn a và đích z, f = {fij (i,j)G} là luồng nhận được khi kết thúc thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại Khi đó, f là luồng cực đại
Chứng minh
Ta xét hai trường hợp kết thúc thuật toán
(i) Thuật toán kết thúc ở bước 3.1: Ký hiệu S là tập các đỉnh mang nhãn tiến Khi đó lát cắt (S, V \ S) là lát cắt cực tiểu (xem chứng minh thuật toán Ford-Fulkerson), kéo theo f là luồng cực đại
(ii) Thuật toán kết thúc ở bước 4.1: Ký hiệu T là tập các đỉnh mang nhãn lùi Khi đó lát cắt (V \ T, T) là lát cắt cực tiểu (tương tự chứng minh thuật toán Ford-Fulkerson), kéo theo f là luồng cực đại
+ Ví dụ 1 Xét mạng G
trong đó số đỉnh là (2.n +1)2
+1 và các cung cho như hình vẽ với trọng số đều là 1
z
a
1 2 n
Trang 5Áp dụng thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại của G ta thấy:
Ở bước 2, T luôn bằng 1 và nhỏ hơn S , vì vậy từ vòng lặp thứ 2, chỉ
có bước 4 (sinh nhãn lùi) được thực hiện Do đó kết quả tính toán giống như thuật toán đích hướng nguồn [17]
Cuối cùng ta nhận được luồng cực đại là luồng trên đường đi
(a12 nz) với giá trị luồng bằng 1
Ta chỉ phải duyệt qua 3n đỉnh để xét gán nhãn lùi
Như vậy khối lượng tính toán chỉ bằng khoảng 1/n khối lượng tính toán theo thuật toán Ford-Fulkerson (phải duyệt qua (2.n+1)2
đỉnh)
+ Ví dụ 2 Cho k nguyên dương Xét mạng G = (V,E,c) cho trên mặt phẳng toạ
độ (xem hình sau)
(i) Tập các đỉnh V là
V = { (i, j) N N 2k i 2k, 3k j 3k }
Số đỉnh của đồ thị là (4k + 1).(6k + 1)
(ii) Tập các cung bao gồm các cung ngang và cung dọc nối các đỉnh mạng (a) Cung dọc [(i,j), (i,j+1)], 2k i 2k, 3k j 3k1
)
,
(
) 1
,
(
j
i
j
i
, 2k i 2k và (3k j k1 hoặc k j 3k1)
)
,
(
) 1
,
(
j
i
j
i
, 2k i 2k và k j k1
(b) Cung ngang [(i,j), (i+1,j)], 2k i 2k1, 3k j 3k
(i,j)(i+1,j) (0 i 2k1, 0 j 3k)
hoặc (2k i 1, 3k j 1) (i,j)(i+1,j) 0 i 2k1, 3k j 1
hoặc 2k i 1, 0 j 3k (iii) Khả năng thông qua của tất cả các cung là 1
Áp dụng thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại của G ta thấy: lực lượng của S và T tương đương nhau, vì vậy số lần gán nhãn tiến
và nhãn lùi xấp xỉ như nhau Ở mỗi vòng lặp tìm đường đi tăng luồng, số đỉnh xét xấp xỉ (2k)2
= 4.k2, và nhãn tiến và nhãn lùi sẽ gặp nhau ở các đỉnh (i,j) có tọa độ
i, 1 i 1
Trang 6Ta cũng dễ dàng thấy rằng sau 3 vòng lặp sẽ được luồng cực đại với giá trị luồng là 3
Nếu áp dụng thuật toán FordFulkerson hay thuật toán đích hướng nguồn, thì số đỉnh xét ở mỗi vòng lặp tìm đường đi tăng luồng là (4k)2
/2 = 8.k2 Như vậy độ phức tạp tính toán của thuật toán đề xuất giảm được một nửa
so với thuật toán truyền thống
Kết luận
Công trình đề xuất thuật toán hoán chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại trên mạng Đây là thuật toán tổng quát, có thể áp dụng một cách hiệu
quả cho tất cả các loại mạng Khối lượng tính toán có thể giảm tới 2 lần so với
thuật toán FordFulkerson truyền thống hoặc thuật toán đích hướng nguồn [18]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Richard Johnsonbauch: Discrete Mathematics Macmillan Publishing
Company New York 1992
[2] Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa: Giáo trình Toán rời rạc Trường Đại
học bách khoa Hà nội Hà nội 1994
[3] Nguyễn Xuân Quỳnh: Cơ sở Toán rời rạc và ứng dụng NXB Giáo dục Hà
nội 1995
[4] Oystein Ore: Theory of Graphs American Mathematical Society 1967 [5] Christofides Nicos : Graph Theory Academic Press New York London San
Francisco, 1975
[6] R.G Busacker & T.L Saaty: Finite Graph and Networks Mc Graw-Hill
Book Company New York - St Louis - San Francisco - Toronto - London - Sydney, 1974
z
a
k
-1
-2k
1
3
k
-3k
-1
k
-k
Trang 7[7] Kenneth H Rosen: Discrete Mathematics and Its Applications McGraw Hill
Book Company New York 1994
[8] Nguyễn Cam, Chu Đức Khánh: Lý thuyết đồ thị NXB TP.HCM, 1999
[9] V.K Balakrishnan: Theory and Problems of Graph Theory McGRAW-HILL
1997
[10] Trần Quốc Chiến, Giáo trình lý thuyết đồ thị, Đại học Đà Nẵng 2002
[11] Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest, Introduction To
Algorithms, the MIT Press 1999
[12] A.V.Goldberg, R.E.Tarjan, Expected performance of Dijkstra’s shortest path
algorithm, Technical Report 96-070, NEC Research Institute Inc, 1996
[13] Trần Quốc Chiến – Nguyễn Thanh Tuấn, Giải thuật tìm đường đi ngắn nhất
giữa hai tập đỉnh, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 3(7)/
2004
[14] Trần Quốc Chiến – Nguyễn Thanh Tuấn, Đường kính hai tập đỉnh đồ thị
Khái niệm, Giải thuật và Chương trình, Hội nghị khoa học lần thứ 3 – Đại
học Đà Nẵng 11/2004
[15] Trần Quốc Chiến, Thuật toán hoán chuyển nguồn đích tìm luồng cực đại (1),
Tạp chí khoa học công nghệ - Đại học Đà Nẵng (submitted)
[16] Trần Quốc Chiến, Thuật toán hoán chuyển nguồn đích tìm luồng cực đại (2),
Tạp chí khoa học công nghệ - Đại học Đà Nẵng (submitted)
[17] Trần Quốc Chiến Nguyễn Thanh Tuấn, Một số giải thuật tìm đường đi ngắn
nhất giữa hai tập đỉnh Kỷ yếu Hội thảo quốc gia: Một số vấn đề chọn lọc của
CNTT, Đà Nẵng 18-20 tháng 8 năm 2004, trang 53-59 NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà-Nội 2005
[18] Trần Quốc Chiến, Thuật toán đích hướng nguồn tìm luồng cực đại,
(submitted)