Viết chương trình vẽ hoàn thiện tuyến hình tàu thủy, chương 7 ppt

chương 7: So sánh thuật toán Spline với các công cụ AutoCAD Ta thực hiện phép so sánh các yếu tố hình học của các đường cong đặc trưng cho các dạng của đường hình lý thuyết tàu, đồng th

chương 7:

So sánh thuật toán Spline với các

công cụ AutoCAD

Ta thực hiện phép so sánh các yếu tố hình học của các đường cong đặc trưng cho các dạng của đường hình lý thuyết tàu, đồng thời tiến hành tính phương sai tại các điểm mà đường cong đi qua nhằm đánh giá một cách tổng quan kết quả xấp xỉ Spline Việc kiểm tra được thực hiện qua một đoạn chương trình nhỏ Các kết quả được trình bày dưới đây

 Dạng 1

Đường cong được cho đi qua các điểm với toạ độ như sau:

Hệ số góc tiếp tuyến được cho là k = tg(50) = 0,0874

Sau khi xấp xỉ Spline ta được các đường cong sau đây:

y i =a i + b i z+ c i z 2 + d i z 3

Khi đó các hệ số của các đường cong hàm hoá được tổng hợp ở bảng dưới đây:

a b c d

y1 0 0.000000223 0,0000763703 0,1236148311

-0,027440785

0,0004791850 -0,000000111

y3 -36,25334795 0,214248201 0,0001267220 0,000000055

-0,034993566

0,0003784810 -0,000000028

y5 -45,31668494 0,176484296 0,0002148370 0,000000014

y6 39,65209934 0,015987704 0,0003155410 -0,000000007

y7 -31,72167952 0,129279416 0,0002557480 0,0000000035

y8 23,79125979 0,000290365 0,0532795590 -0,000000001

-434,18069116

0,000210735 0,4250998772 0

Trên cơ sở các hàm bậc ba đã tìm được, ta tính toán các giá trị toạ

độ tại các tung độ ban đầu Phương sai tại các điểm nút được tính

theo công thức:

n y

y

n i i





 1 2

2

 100

10

100

10

2 9

2 9 2

8

2 8 2

1

2 1 2

0

2 0 9

0 2

2

y

y y

y y

y y

y y

y

i





















Kết quả được tổng hợp ở bảng sau:

yi

(mm)

yi =f(zi) (mm) yi(mm) yi(%) yi2(%)

B 50 50,00000000000

04

0,00000000000

04

7,95808.1

0-13

6,3331.10

-27

C 150 150,0000000000

04

0,00000000000

40

2,67164.1

0-12

7,13766.1

0-26

D 300 300,0000000000

13 0,0000000000130 4,33905.10-12 1,88273.10-25

E 500 499,9999999999

38 0,0000000000620 1,24032.10-11 1,5384.10

-24

F 750 749,9999999997

93 0,0000000002070 2,76032.10-11 7,61935.10-24

G 105

0

1050,000000000

25

0,00000000025

01

2,38201.1

0-11

5,67397.1

0-24

H 140

0

1400,000000000

04

0,00000000004

00

2,85841.1

0-12

8,17052.1

0-26

I 180

0

1799,999999995

42 0,0000000045800 2,54444.10-10 6,47416.10-22

J 225

0

2249,999999995

29 0,0000000047098 2,09325.10-10 4,38171.10-22 Sai số trung bình và phương

sai: 0,00000000098 66

5,3826.10

-11 1,10077.1

0 -22

A

C

A 1

B 1

B

C 1

DD1

E E1

FF1

G G1

H H1

I 1 I

Đường cong Spline

Đường cong Spline của AUTOCAD

Các dạng sai số chính đạt được tại nút:

Sai số trung bình tuyệt đối : yi = 9,866.10 -10 (mm)

Sai số trung bình tương đối : yi= 5,3826.10 -11 (%)

Phương sai : s = 1,10077.10 -22 (%)

Vậy tại nút, phương sai đạt được là 1,10077.10 -22 (%) Giải thích cho sai số trên là do độ chính xác của máy tính hiện thời, không thể thực hiện những phép tính hoàn toàn chính xác

Một câu hỏi đặt ra: “Liệu tại những điểm nằm trên đường cong mà không trùng với các nút có đạt được phương sai cho phép

?” Để trả lời câu hỏi trên, cần tính phương sai tại các điểm ngẫu

H ình II.9 Đường cong Spline và đường cong Spline được vẽ bằng AUTOCAD

nhiên nằm trên đường cong mà không trùng với nút Chọn các

điểm kiểm tra có toạ độ như sau:

Y 21,16 93,05 218,95 393,68 618,76 893,71 1218,83 1593,30 2020,72

Sai số và phương sai được tổng hợp ở bảng sau:

yi (mm) yi =f(zi) (mm) yi(mm) yi(%) yi2(%)

A1 21,16 21,16583425 0,005834250 0,027572070 0,00000760219

B1 93,05 93,05708288 0,007082880 0,007611908 0,00000057941

C1 218,95 218,9564586 0,006458600 0,002949806 0,00000008701

D1 393,68 393,6667707 0,013229300 0,003360420 0,00000011292

E1 618,76 618,7816146 0,021614600 0,003493212 0,00000012203

F1 893,71 893,7291927 0,019192700 0,002147531 0,00000004612

G1 1218,83 1218,825404 0,004596000 0,000377083 0,00000000142

H1 1593,32 1593,312298 0,007702000 0,000483393 0,00000000234

I1 2018,72 2018,727702 0,007702000 0,000381529 0,00000000146 Sai số và phương sai 0,010379148 0,005375217 0,00000095054

Các dạng sai số chính đạt được tại các điểm kiểm tra:

Sai số trung bình tuyệt đối : yi = 0,010379148 (mm)

Sai số trung bình tương đối : yi= 0,005375217 (%)

Phương sai : s = 0,00000095054 (%)

Vậy phương sai tại các điểm kiểm tra là: 0,00000095054 (%)

như thế kết quả kiểm tra coi như đảm bảo

Diện tích giới hạn bởi đường cong với trục oz được tính :

 

0

3 2 1

0

1 1

) (

) ( n

i

z z

i i

i i n

i

z

z i

i

i i

i

dz z d z c z b a dz

z y S

Cụ thể là:

 











 8

1

3 2

1

) (

i

z

z

i i

i i i

i

dz z d z c z b a S

Cũng vẽ đường cong Spline qua các toạ độ được cho ở trên bằng lệnh Spline của AutoCAD, sau khi tạo miền của đối tượng, tiến hành đo diện tích trên AutoCAD, kết quả được cho ở bảng sau:

Diện tích đo được bằng phương pháp

xấp xỉ Spline (mm2)

Diện tích đo được bằng AutoCAD (mm2)

Sai số diện tích

đo được của hai phương pháp (mm2)

y8 478746,4596 478660,5130 85,9466

ySpline 2126554,4714 2127092,6072 6,5927

Vậy sai số đạt được là : 100 0,00031

72 2127092,60

6,5927









S

S S

Dạng 2 :

Đường cong được cho đi qua các điểm với toạ độ như sau:

Y 200 300 500 800 1200 1650 2050 2400 2600 2700

Hệ số góc tiếp tuyến được cho là k = tg(70) = 0,1227

Sau khi xấp xỉ Spline ta được các đường cong sau đây:

y i =a i + b i z+ c i z 2 + d i z 3

Khi đó các hệ số của các đường cong hàm hoá được tổng hợp ở bảng dưới đây:

y

1

200 0,26022519 0,000087762 0,000000519

y 242,1013355 -0,090619272 0,001023348 -0,000000259

2 2

y

3

115,79732898 0,470731867

6

0,000204711 0,000000129

9 y

4

755,25333877 -1,483161495 0,002178340

8 -0,000000527

y

5

1044,7466612

3

-2,158645914

8 0,002701037 -0,000000662

y

6

-2976,653328 5,437331843

8

-0,002065066

7 0,000000331

y

7

-9,924534809

1

0,006042585

2

-0,000001091

4 y

8

-15525,99199 20,50571740

3

-0,007817985 0,000001008

7 y

9

4393,2988468

8

-1,708405824

8

0,000400764

7

-0,000000000

1

Trên cơ sở các hàm bậc ba đã tìm được, ta tính toán các giá trị toạ

độ tại các tung độ ban đầu Phương sai tại các điểm nút được tính

theo công thức:

n y

y

n i i





 1 2

2

 100

10

100

10

2 9

2 9 2

8

2 8 2

1

2 1 2

0

2 0 9

0 2

2

y

y y

y y

y y

y y

y

i







Kết quả được tổng hợp ở bảng sau:

yi (mm) yi =f(zi) (mm) yi(mm) yi(%) yi2(%)

A 200 200,000000000

000

0,0000000000 000

B 300 300,000000000

000

0,0000000000 000

C 500 500,000000000

034

0,0000000000 340

6,79847.1

0-12

4,62192.1

0-25

D 800 800,000000000

144

0,0000000001 440

1,80052.1

0-11

3,24186.1

0-24

E 1200 1200,00000000

014

0,0000000001

401 1,16718.10-11 1,36232.10-24

F 1650 1649,99999999

962

0,0000000003 799

2,30268.1

0-11

5,30231.1

0-24

G 2050 2049,99999998 0,0000000140 6,86336.1 4,71057.1

593 699 0-10 0-21

H 2400 2399,99999998

289

0,0000000171

099 7,12911.10-10 5,08242.10-21

I 2600 2599,99999997

834

0,0000000216

0-21

J 2700 2699,99999997

274

0,0000000272 598

1,00962.1

0-10

1,01934.1

0-20 Sai số trung bình và phương

sai: 0,0000000080 798

3,30145.1

0 -10

2,6937.10

-21

Các dạng sai số chính đạt được tại nút:

Sai số trung bình tuyệt đối : yi = 0,0000000080798 (mm)

Sai số trung bình tương đối : yi= 3,30145.10 -10 (%)

Phương sai : s = 2,6937.10 -21(%)

Taị các điểm không trùng với các điểm nút sai số đạt được như sau:

zi yi (mm) yi

=f(zi)(mm)

yi(mm) yi(%) yi2(%)

A

1 150 242,7338 242,7626 0,028800000 0,011864849 0,00000140775 B

1 450 384,821 384,8686 0,047600000 0,012369387 0,00000153002 C

1 750 638,8571 638,8156 0,041500000 0,006495975 0,00000042198

1 1050 988,4949 988,4046 0,090300000 0,009135100 0,00000083450 E

1 1350 1424,5175 1424,5476 0,030100000 0,002112996 0,00000004465 F

1 1650 1859,6784 1859,6011 0,077300000 0,004156633 0,00000017278 G

1 1950 2232,6028 2232,6994 0,096600000 0,004326788 0,00000018721 H

1 2250 2522,7058 2522,7127 0,006900000 0,000273516 0,00000000075

I1 2550 2652,29

34

2652,287 2

0,0062000 00

0,0002337 60

0,00000000 055

Sai số trung bình và phương sai 0,0472555

56

0,0056632 23

0,00000051

1

Các dạng sai số chính đạt được tại các điểm kiểm tra:

Sai số trung bình tuyệt đối : yi = 0,047255556 (mm)

Sai số trung bình tương đối : yi= 0,005663223 (%)

Phương sai : s = 5,1113.10 -07(%)

Vậy phương sai tại các điểm kiểm tra là: 5,1113.10-07 (%) như thế kết quả kiểm tra coi như đảm bảo

Sai số về diện tích được đánh giá qua bảng sau:

Diện tích đo được

bằng phương pháp

xấp xỉ Spline

(mm2)

Diện tích đo được bằng AutoCAD (mm2)

Sai số diện tích

đo được của hai phương pháp (mm2)

ySpline 3885172,8430 3886045,3630 872,5192

Vậy sai số đạt được là : 100 0,0224

3 3885172,84

827,5192 







S

S S

H ình II.10 Đường cong Spline và đường cong Spline được vẽ

bằng AUTOCAD

Dạng 3:

Đường cong được cho đi qua các điểm với toạ độ như sau:

Điể

m

0

150 0

180 0

210 0

240 0

270 0

0

160 0

198 0

223 0

242 0

255 0

264 0

270 0

273 0

275 0

A

Đường cong Spline Được vẽ bằng AUTOCAD

I 1

A 1

B

B 1

C

C 1

D D1

E

E 1

F

F 1

G

H H1 I

G 1

Đường cong Spline

J

Hệ số góc tiếp tuyến được cho là: k = tg(770) = 4,3314

Sau khi xấp xỉ Spline ta được các đường cong sau đây:

y i =a i + b i z+ c i z 2 + d i z 3

Khi đó các hệ số của các đường cong hàm hoá được tổng hợp ở bảng dưới đây:

y

1

800 3,880558533 -0,004902792 0,000002855

y

2

886,2513401 3,161797365 -0,002986096 0,000001257

7 y

3

1287,497319 1,378481901 -0,000385427 0,000000019

3 y

4

1315,6283504 1,292525973

7

-0,000000009

6 y

5

884,37164950 2,298791609

4

-0,001077261 6

0,00000019

y

6

1663,6748066 0,826774534

8

-0,000000002

4

7

1639,0601549

0

0,865845410

6

-0,000174263 8

0,000000001

2

y

8

-301,79511637 3,522968698

6

-0,001384547 0,000000184

6 y

9

4942,9153931

1

-1,801221987

3

0,000366439 6

0,000000000

0

Trên cơ sở các hàm bậc ba đã tìm được, ta tính toán các giá trị toạ

độ tại các tung độ ban đầu Phương sai tại các điểm nút được tính

theo công thức:

n y

y

n i i





 1 2

2

 100

10

100

10

2 9

2 9 2

8

2 8 2

1

2 1 2

0

2 0 9

0 2

2

y

y y

y y

y y

y y

y

i





















Kết quả được tổng hợp ở bảng sau:

yi

(mm)

yi =f(zi) (mm) yi(mm) yi(%) yi2(%)

A

800

800,000000000

00

0,00000000000

00

B 160

0

1600,00000000

000

0,00000000000

00

C 198

0

1979,99999999

998

0,00000000002

00

1,01055.1

0-12

1,02121.1

0-26

D 223

0

2229,99999999

972

0,00000000028

01

1,25616.1

0-11

1,57795.1

0-24

E 242

0

2420,00000000

074

0,00000000073

99

3,05733.1

0-11

9,34727.1

0-24

F 255

0

2550,00000000

149

0,00000000149

02 5,84395.10-11 3,41517.10-23

G 264

0

2640,00000000

480

0,00000000479

99 1,81813.10-11 3,30559.10-22

H 270

0

2699,99999998

120

0,00000001880

02

6,96302.1

0-10

4,84837.1

0-21

I 273

0

2729,99999998

220

0,00000001780

02

6,52021.1

0-10

4,25131.1

0-21

yi

(mm)

yi =f(zi) (mm) yi(mm) yi(%) yi2(%)

J 275

0

2749,99999998

323

0,00000001677

02 6,09824.10-10 3,71886.10-21 Sai số trung bình và phương

sai: 0,00000000607 01 2,24255.1 0 -10

1,31942.1

0 -21

Các dạng sai số chính đạt được tại nút:

Sai số trung bình tuyệt đối : yi = 0,0000000060701 (mm)

Sai số trung bình tương đối : yi= 2,24255.10 -10 (%)

Phương sai : s = 1,31942.10 -21 (%)

Vậy tại nút, phương sai đạt được là 1,31942.10-17 (%)

Taị các điểm không trùng với các điểm nút sai số đạt được như

sau:

zi yi (mm) yi=f(zi)

(mm)

yi(mm) yi(%) yi2(%)

A1 150 1281,4054 1281,4064 0,00100000000007,80393.1005 -6,09013.1011

-B1 450 1818,9847 1818,9842 0,00049999999992,74879.1005 -7,55583.1012

-C1 750 2112,6949 2112,6953 0,00039999999991,89332.1005 -3,58465.1012

-D1 1050 2332,4030 2332,4023 0,0006999999996 3,0012.1005 -9,00718.1012

-E1 1350 2491,9242 2491,9238 0,00039999999991,60519.1005 -2,57662.1012

-F1 1650 2598,7253 2598,7255 0,00019999999997,69608.1006 -5,92297.1013

-G1 1950 2673,7625 2673,7622 0,00029999999971,12201.1005 -1,25892.1012

-H1 2250 2718,1190 2718,1188 0,00019999999997,35803.1006 -5,41406.1013

-I1 2550 2739,3812 2739,3811 0,00009999999973,65046.1006 -1,33259.1013

-Sai số và phương sai 0,0004222222221 2,22721.10

-05 9,57239.10

-12

Các dạng sai số chính đạt được tại các điểm kiểm tra:

Sai số trung bình tuyệt đối : yi = 0,0004222222221

(mm)

Sai số trung bình tương đối : yi= 2,22721.10 -05(%)

Phương sai : s = 9,57239.10 -12(%)

Vậy phương sai tại các điểm kiểm tra là: 9,57239.10 -12(%) như thế kết quả kiểm tra coi như đảm bảo

Sai số về diện tích được đánh giá qua bảng sau:

Diện tích đo được bằng phương pháp

xấp xỉ Spline (mm2)

Diện tích đo được bằng AutoCAD (mm2)

Sai số diện tích

đo được của hai phương pháp (mm2)

ySpline 6216177,626 6215182,78 994,8461

Vậy sai số đạt được là : 100 0,016

6 6216177,62

994,8461









S

S S

H ình II.11 Đường cong Spline và đường cong Spline được vẽ

bằng AUTOCAD

Như thế qua các bước kiểm tra và đánh giá sai số của phương pháp xấp xỉ Spline với các công cụ AutoCAD, ta có cơ sở để khẳng định rằng phương pháp xấp Spline đem lại kết quả chính xác hơn gấp nhiều lần so với các phương pháp tính gần đúng truyền thống đã được đề cập Bây giờ thử đặt vấn đề kiểm tra độ chính xác của phương pháp xấp xỉ Spline so với một vài dạng đường cong mà biểu thức hàm số xác định đồ thị đó đã được cho trước, tức là các đường cong toán học tường minh, có như thế mới chứng minh được sức mạnh của phương pháp xấp xỉ Spline

A

Đường cong Spline

A 1

B

B 1

CC1 D

D 1

E F

G 1

H

F 1

H 1

G

E 1

I 1

I

Đường cong Spline

vẽ theo AUTOCAD

J