Kết luận: Áp suất thuỷ tĩnh tại một điểm có độ sâu h bất kỳ trong chất lỏng sẽ bằng áp suất tại mặt thoáng cộng với tích của trọng lượng đơn vị của chất lỏng đó với độ sâu h.. ¾ Nhận xé
Trang 1Bài giảng thủy lực 1 Trang 10
CHƯƠNG 2
THỦY TĨNH
***
I Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực
II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh
¾ Tính chất 1
¾ Tính chất 2
III Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng
IV Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực
1 Định luật bình thông nhau:
2 Định luật Pascal
3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không
V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh
1 Ý nghĩa hình học
2 Ý nghĩa năng lượng
VI Biểu đồ áp lực
VII Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ
1 Trị số của áp lực
2 Vị trí tâm áp lực
3 Phương chiều của lực 21
VIII Áp lưc chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang
1 Xác định trị số của P
2 Điểm đặt của áp lực
IX Áp lực của chất lỏng lên thàng cong
1 Xác định trị số
2 Điểm đặt của lực
3 Một số trường hợp cần lưu ý
BÀI TẬP THỦY TĨNH HỌC
Trang 2CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH
(HYDROSTATICS )
Thủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là không có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng → không có sự xuất hiện của ma sát nhớt Do đó những kết luận về chất lỏng lý tưởng cũng đúng cho chất lỏng thực
I.Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực
- Khối chất lỏng W đang cân bằng
- Giả sử cắt bỏ phần trên, ta phải tác dụng vào mặt cắt đó bằng một hệ lực tương đương thì phần dưới mới cân bằng như cũ
- Trên tiết diện cắt quanh điểm 0 ta lấy một diện tích ω, gọi P
là lực của phần trên tác dụng lên ω
¾ Ta có các khái niệm sau
- P : là áp lực thuỷ tĩnh (hoặc tổng áp lực) tác dụng lên diện tích ω (N, KN )
- Tỷ số : P/ω = ptb : là áp suất thủy tĩnh trung bình trên diện tích ω
- ω
→ ω
P lim
0 : áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (hay còn gọi là áp suất thủy tĩnh)
- Đơn vị của áp suất: N/m2; 2
.s m
kg , atmosphere + Trong kỹ thuật, áp suất còn đo bằng atmosphere:1at =9,81.104 N/m2=1KG/cm2
+ Trong thuỷ lực, áp suất còn đo bằng chiều cao cột chất lỏng:1at =10m H2O
II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh
¾ Tính chất 1 (phương và chiều):
Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy
P t
Chứng minh: Bằng phản chứng
Ta c: , nhưng có (do chất lỏng cân bằng) Nín: , hướng vào trong vì chất lỏng chỉ chịu được sức nén, không chịu kéo
p n p
p
W w
Trang 3Băi giảng thủy lực 1 Trang 12
¾ Tính chất 2 (trị số):
- Không phụ thuộc văo hướng đặt của diện tích chịu lực
- Âp suất thuỷ tĩnh chỉ phụ thuộc văo vị trí của điểm I nghĩa lă p = f (x, y, z)
Chứng minh:
- Lấy một phđn tố hình trụ , một đầu hình trụ có diện tích dw vă có tđm I; đây kia
của hình trụ có diện tích dw’ vă có tđm I’, đây năy có hướng bất kỳ xâc định bởi góc α
- Gọi p, p’ lă những âp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng
Theo định nghĩa: Mặt dw chịu lực lă dp = pdw
Mặt dw’ chịu lực lă dp’ = p’dw’ Chiếu lực mặt theo phương nằm ngang (bỏ qua lực khối-vi phđn bậc cao)
dP’cosα - dP=0 ⇔ p’ dw’cosα -pdw=0 ⇔ '
p = p
9 Ví dụ:
Xâc định phương, chiều của âp suất thủy tĩnh tại điểm A trong hình vẽ sau đđy:
+ Hướng của lực:
( ) ( ):Hướng vào mặt
p
vào Hướng :
mặt p
A A
2
1 2
1
⊥
⊥
+ Trị số: A A
p
p1 = 2
III Phương trình vi phđn cơ bản
của chất lỏng đứng cđn bằng
Xĩt một khối hình hộp chất
lỏng vô cùng bĩ đứng cđn bằng có
câc cạnh δx, δy, δz Tđm M(x, y, z)
chịu tâc động âp suất p(x, y, z) Hệ
tọa độ như hình vẽ
Điều kiện cđn bằng: Tổng hình
chiếu lín câc trục của lực mặt vă
lực thể tích tâc dụng lín khối phải
bằng không
Bằng khai triển Taylor, bỏ qua vi
phđn bậc cao, lấy số hạng thứ nhất:
Khi đó: Âp suất tại trọng tđm mặt trâi lă :
2
. x
x
p
∂
∂
−
Âp suất tại trọng tđm mặt phải lă:
2
. x
x
p
∂
∂
Lực thể tích tâc dụng lín một đơn vị khối lượng chất lỏng theo phương Ox lă Fx
Theo điều kiện cđn bằng ta có :
- Xĩt theo phương x :
y
2
x x
p
∂
∂ + 2
x x
p
∂
∂
−
x
z
δy
M z p
δz
dP'=p'.dw'
dw'
dP=p.dw
dw
‘I’ ‘I α
(1)
A
(2)
A (2)
pA (1)
Trang 40
1 :
0
0 2 2
0 ) 2 (
).
2 (
=
∂
∂
−
= +
∂
∂
−
⇒
= +
∂
∂
−
⇔
= +
∂
∂ +
−
∂
∂
−
x
p F
Hay
F x p
z y x F z y
x x p
z y x F z y
x x
p p z y
x x
p p
x x
x
x
ρ ρ
δ δ δ ρ δ δ δ
δ δ δ ρ δ δ
δ δ
δ δ
- Tương tự theo phương y và z ta có hệ sau:
0 1
: F − gradp=
Hay
ρ
r
Phương trình này biểu thị sự phụ thuộc của áp suất thủy tĩnh theo tọa độ: p= p(x,y,z)
9 Áp dụng đối với trường hợp →F= g→
Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì đối với lực thể tích F tác dụng lên một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực, ta có: Fx = 0; Fy = 0; Fz = - g
• Đối với Fx = 0
Từ 1 = 0
∂
∂
−
x
p
F x
1
∂
∂
−
x
p
∂
∂ x
p tức p không phụ thuộc vào x
• Đối với Fy = 0
Tương tự như Fx ta được: =0
∂
∂ y p
• Đối với Fz = -g
Từ 1 = 0
∂
∂
−
z
p
F z
ρ , mà Fz = -g => . 0
∂
∂
−
−
z
p g
ρ => ∂p =−ρ.g.∂z
Ö Cần xác định hằng số C
Tại mặt thoáng z = zo, thì p= po
Ö po = -ρ g.zo + C => C= po + ρ g.zo
Thay vào (2.2) ta được:
p = po + ρ.g (zo-z)
Ö p = po + γ (zo-z) (2.3)
Mà h = zo-z
Ö p = p o + γh (2.4):
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
0 1
0 1
0 1
z
p F
y
p F
x
p F
z y x
ρ ρ
ρ
Đây là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng hay hệ phương trình Euler
z
O z
z 0
p 0
h δz
x
Trang 5Bài giảng thủy lực 1 Trang 14
C
p o
p o
p o
(2.4) là phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh học
Kết luận: Áp suất thuỷ tĩnh tại một điểm có độ sâu h bất kỳ trong chất lỏng sẽ bằng áp
suất tại mặt thoáng cộng với tích của trọng lượng đơn vị của chất lỏng đó với độ sâu h
Từ (2.3) viết dạng khác: z + p γ = z 0 + p γ = const 0 (2.5)
(2.5) là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh dạng 2
Từ (2.4) ta thấy : Ứng với một giá trị h ta có một giá trị p, tức áp suất tại những điểm cùng nằm trên mặt phẳng vuông góc với z sẽ bằng nhau hay chúng đều nằm trên mặt
đẳng áp
¾Tính chất của mặt đẳng áp
- Mặt đẳng áp là mặt có áp suất bằng nhau
- Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song và thẳng góc với trục
oz Nói cách khác chúng là những mặt phẳng nằm ngang
¾ Nhận xét:
- Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một loại chất lỏng
- Những điểm ở sâu hơn thì áp suất thuỷ tĩnh sẽ lớn hơn và ngược lại
Ví dụ 1:
- Trong hình vẽ sau ba điểm A, B, C có cùng độ
sâu h cùng áp suất mặt thoáng như nhau thuộc ba hình
thì có áp suất bằng nhau (trong trường hợp lộ ra khí trời
áp suất mặt thoáng p0 bằng pa = 98100N/m2 - áp suất khí
trời)
9 Ví dụ 2:
Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4m Biết trọng lượng đơn vị của nước γ = 9810N/m3, áp suất tại mặt thoáng p0 = pa = 98100N/m2
Giải:
Áp suất tại điểm ở đáy bể có chiều sâu 4m là:
p = p0 + γh = 98100 + 9810x4 = 137340N/m2 = 14000KG/m2
IV Sự cân bằng chất lỏng trọng lực
1 Định luật bình thông nhau:
Nếu hai bình thông nhau đựng chất lỏng khác nhau
có áp suất mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng
mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt
thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng
tức:
1
2
2
1 γ
γ
= h
h
¾ Chứng minh:
Vì p1 = p2 (Tính chất mặt đẳng áp)
Suy ra: p0 + γ1.h1 = p0 + γ2.h2 => γ1.h1 = γ2.h2 =>
1
2
2
1 γ
γ
= h h
¾ Nhận xét: Nếu chất lỏng chứa ở bình thông nhau cùng một loại (γ1 = γ2) thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng trên một độ cao tức h1= h2
h 2
h1
p 0
p 1
p2
p 0
γ2
γ1
Trang 6p 0
P 0
p 0 + ∆p
h
2 Định luật Pascal:
Áp suất tại điểm A nào đó là: pI = p0 + γh
Nếu ta tăng áp suất tại mặt thoáng lên ∆p thì áp suất tại
điểm A đó sẽ là: pII = (p0 + ∆p) + γh
Vậy tại A áp suất tăng: pII - pI = ∆p, như vậy:
“Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn
của một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi
nguyên vẹn đến mọi điểm của thể tích chất lỏng đó”
Nhiều máy móc đã được chế tạo theo định luật
Pascal như: Máy ép thủy lực, máy kích, máy tích năng,
các bộ phận truyền động v.v
Xét một ứng dụng máy ép thủy lực:
Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau thông với nhau, chứa cùng một chất lỏng và có pittông di chuyển Pittông nhỏ gắn vào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy, thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ tăng lên và bằng P 1 và áp suất tại xylanh nhỏ bằng:
1
1
1 ω
P
p = , trong đó ω1 là diện tích xylanh nhỏ
Theo định luật Pascal, áp suất p 1 nầy sẽ truyền tới mọi điểm trong môi chất lỏng, do đó
sẽ truyền lên mặt piton lớnω2, như vậy, tổng áp lực P 2 tác dụng lên pittông ω2 :
2 1
1 2 1
ω
ω P
p
Trong đó: ω2 - diện tích mặt pittông lớn
Nếu coi ω1 , p 1 là không đổi, khi muốn tăng P 2 thì phải tăng ω2
3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không
3.1 Định nghĩa các loại áp suất
a Áp suất tuyệt đối p tuyệt :
Người ta gọi áp suất tuyệt đối hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công
thức cơ bản (2.4):
p = p0+ γh = ptuyệt
b Áp suất tương đối (áp suất dư): p dư
F
p1
ω1
ω2
P2
P1
Trang 7Bài giảng thủy lực 1 Trang 16
γ
− a
0 p p
γ0
p
h d
A ck h
z
h
A z
A z
h h
←
↑
→
Nếu từ áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu số đó gọi là áp suất
dư p dư hay áp suất tương đối:
Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển p a thì: p dư = γh
Như vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho ứng suất nén thực tế tại điểm đang xét, còn
áp suất dư là phần áp suất còn dư nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị số áp suất không khí Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm
p dư > 0 khi p tuyệt > p a
p dư < 0 khi p tuyệt < p a
c Áp suất chân không: p ck
Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không. p ck = p a - p tuyệt = - p dư (2-7)
Như vậy: p ck = - p dư
Phần áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất khí trời gọi là áp suất chân không
¾ Một số nhận xét:
- Nói đến áp suất chân không có nghĩa là áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất không khí, chứ không có nghĩa là không còn phần tử chất khí nào ở đó
- Khi po = pa thì pdư = γh
Trong kỹ thuật qui ước: pa = 98100N/m2 = 1 at
3.2 Biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng
- Áp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng (nước, thuỷ ngân, rượu ) kể từ điểm đang xét đến mặt thoáng chất lỏng đó
- Ta có thể biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng như sau:
Ptuyệt biểu thị bằng
γ
= tuyet tuyet
p h
pdư biểu thị bằng
γ
= dæ dæ
p h
pck biểu thị bằng
γ
= ck ck
p h
- Ống kín ← : hút hết không khí
ht: cột nước biểu thị áp suất tuyệt đối tại A
Trang 8- Ống hở ↑: hở ra khí trời
hd: cột nước biểu thị áp suất dư tại A
- Ống hở →: mức nước trong ống thấp hơn điểm A
hck: cột nước biểu thị áp suất chân không tại điểm A
9 Ví dụ: Xác định áp suất tại mặt thoáng p0, áp suất tuyệt đối và áp suất dư thuỷ tĩnh tại
A của bình đựng nước như hình vẽ
Giải: - Ống đo áp hở ra khí trời, đó là ống đo áp suất dư
- Chênh lệch 1m là do chênh lệch giữa áp suất mặt thoáng p0 với áp suất khí trời
- p0 = pa + γh = 98100 + 9810.1 = 109710 (N/m2)
- ptA = pa + γh = 98100 + 9810.3 = 127530 (N/m2)
- pdA = ptA - pa = 127530-98100 = 29430 (N/m2)
V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh
1 Ý nghĩa hình học: Ta có: z p = H = const
γ
+
- z là độ cao hình học của điểm đang xét với mặt chuẩn nằm ngang
- γ
p độ cao áp suất
- H gọi là cột nước thủy tĩnh, nó là độ cao đo áp tuyệt đối (nếu p là áp suất tuyệt) hoặc dư (nếu p là áp suất dư)
¾ Vậy: Phương trình cơ bản thủy tĩnh học nói rằng: Trong một môi trường chất lỏng
đứng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số
2 Ý nghĩa năng lượng (ý nghĩa vật lý):
z : Vị năng đơn vị, hoặc gọi tỷ vị năng
h = γ
p : Áp năng đơn vị, hoặc gọi tỷ áp năng
H = (z +
γ
p ) : Thế năng đơn vị, hoặc gọi tỷ thế năng
¾ Vậy: Thế năng đơn vị của chất lỏng đứng cân bằng là một hằng số đối với mọi điểm
trong chất lỏng
γ
B t p γ
A t p
B d h
A d
h
H T
E T
H d
E d
A •
• B
p 0
z B z A
A
P0
1m 2m
Trang 9Bài giảng thủy lực 1 Trang 18
VI Biểu đồ áp lực:
Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng
lực nhất định, trong điều kiện áp suất tại mặt tự do po cho trước, áp suất p là hàm số bậc
nhất của độ sâu h
Như vậy trong hệ tọa độ (p, h), phương trình (2.4) được biểu diễn bằng một
đường thẳng Để giản đơn việc trình bày ta giả thiết po = pa khi đó pdư = γh
Ta chọn hệ trục tọa độ có trục h thẳng đứng hướng xuống dưới và trục p đặt nằm
ngang Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số trong hệ tọa độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất
thủy tĩnh theo đường thẳng đứng tức là theo những điểm trên đường thẳng đứng đó
Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư pdư = γh theo đường thẳng đứng;
đường biểu diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được
Với h = 0 (ở mặt tự do), ta có: pdư = 0 nên O(0, 0)
Với h = h1 ta có: pdư =γh1 nên: A’(h1,γh1 )
Ta được hai điểm O và A’ , tam giác OAA’ chính là đồ phân bố áp suất dư
Dùng đồ phân bố áp suất dư, ta có thể xác định áp suất dư p tại một điểm có độ sâu h bất
kỳ
Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến đường OA’ theo phương
thẳng góc với Oh một đoạn po và được đường O’A’’ Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là
hình thang vuông góc OO’A’’A
9 Chú ý:
1 Ta có thể thay trục nằm ngang p bằng
trục , khi đó cả hai trục đều là đơn
vị độ dài, áp suất lúc đó có thể biểu thị độ dài
cột nước Trong thực tiễn, ta cũng thường vẽ
biểu đồ phân bố với tọa độ như vậy để tính áp
lực Đồ phân bố với tọa độ như thế gọi là biểu
đồ áp lực
2 Do tính chất áp suất tại một điểm phải
thẳng góc với mặt chịu áp lực tại điểm đó, nên đồ phân bố áp suất cũng như đồ áp lực đối
với một đường thẳng bao giờ cũng là một tam giác vuông hoặc hình thang vuông
Trong trường hợp vẽ biểu đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường thẳng gãy
p/γ=
γ
= 0
h
h
γ
= d
h γ
= p h
p0 = pa
h
Trang 10y
z
z
h C h
ω
dω
C
D
p o
dP
P
z D
z
z c
cũng không gì khó khăn vì trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông
3 Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số
áp suất tại từng điểm theo phương trình cơ bản rồi nối lại thành đường cong của đồ phân
bố
VII Áp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ
Trường hợp thành rắn là mặt phẳng, thì áp suất tác dụng lên thành rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một hợp lực hay còn gọi là áp lực tổng hợp P duy nhất Ta nghiên cứu trị số của P, điểm đặt và xác định phương chiều của lực
1 Trị số của áp lực
- Cần xác định áp lực P của chất
lỏng tác dụng lên diện tích ω
đặt nằm nghiêng góc α so với mặt
thoáng
- Áp lực tác dụng lên vi phân diện
tích dω là dP:
dP = p.dω (vì dω nhỏ nên p phân
bố đều trên dω) = (p0 + γ.h) dω
- Áp lực tác dụng lên toàn diện tíchω
∫
∫
ω ω
ω γ +
=
= p.dw p h d
- Trên thành phẳng chọn hệ tọa độ
Ozy như hình vẽ, ta có:
h = z.sinα
∫
∫
ω
ω
ω α γ + ω
=
ω α γ
+
=
d z sin p
d sin z p P 0 0
Theo cơ học lý thuyết có: ∫z.dω=S y
ω
là mô men tĩnh của diện tích ω đối với trục oy (mà
Soy = zc.ω)
α α γ ω
c c
c
h p
P thi
h
Vậy: P = (p 0 + γ.h c ) ω
- Nếu áp suất p0 = pa thì áp lực dư tác dụng lên thành phẳng sẽ là:
P = γ.hc.ω
Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí Trong trường hợp đó chỉ cần tính áp lực dư mà thôi vì áp suất không khí truyền từ mặt thoáng đến mặt phẳng đã cân bằng với áp suất không khí tác dụng vào phía khô của mặt phẳng Thực chất mặt phẳng bị nén đều bởi áp suất không khí hai bên mặt thành, và khả năng chịu lực của các vật liệu đã có cho thấy có thể bỏ qua lực nầy Vì vậy trong những trường hợp tương tự, chỉ cần tính áp lực dư
