DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT A.. Đặt vấn đề: Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác
Trang 1DỰNG TAM GIÁC ĐỀU TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH SỐ ĐO GÓC, SO SÁNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG( CHỨNG MINH CÁC TAM GIÁC ĐẶC
BIỆT)
A Đặt vấn đề:
Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về tam giác cân là các bài toán hay và khó; đặc biệt là các bài toán về tính số đo góc hoặc so sánh độ dài đoạn thẳng là những bài toán rất hay, đòi hỏi người học phải có tư duy sáng tạo nhanh nhẹn, óc quan sát thông minh, kỹ năng nhận dạng bài toán chính xác để từ đó tìm ra cách giải nhanh và gọn nhất
Bài 1:
Cho ABC cân tại A có B = 600 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC
Tính số đo của ACD, ADC
Giải
* Cách 1:
Dựng tam giác đều BEC sao cho E nằm trong ABC
Ta có: ABE = BAC = 200 và BE = CE = BC = AD
AEB = AEC (c-c-c) BAE = CAE AE là tia phân giác
của BAC BAE = CAE = 100
ABE = CAD (c-g-c) ACD = BAE = 100
ADC = 1500
* Cách 2:
Dựng tam giác đều AFD sao cho F nằm trên nửa mp bờ AB
không chứa điểm C ADC = FDC (c-c-c) CD là tia
phân giác của góc ACF ACD = 12 ACF (1) và CDF = 200
ACF = BAC (c-g-c) ACF = BAC = 200 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACD = 100 ADC = 1500
* Cách 3:
Dựng tam giác đều AKD sao cho K nằm trên nửa mp
bờ AC không chứa điểm D KAD = 800
AKD = CAB (c-g-c) AKD = 200
CKD = 400
AKD = CAB (c-g-c) CKD cân tại K và có
CKD = 400 nên CDK = 700 ACD = 100
ADC = 1500
C B
A
D
E
C B
A
D F
C B
A
Trang 2Bài 2 (Đảo lại của bài 1):
Cho Cho ABC cân tại A có A = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho ACD = 100
Tính độ dài AD biết BC = a
Hướng dẫn:
Dựng tam giác đều BEC (Như bài 1) ta chứng minh được ABE = CAD (c-g-c) suy ra AD = BE = BC = a
Các cách khác giải tương tự
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD cạnh a Ở miền trong hình vuông dựng AEB cân tại E sao cho AEB = 1500
Chứng minh rằng: CDE là tam giác đều
Giải
Dựng tam giác đều AFE sao cho E thuộc miền trong
của tam giác AED
AEB cân tại E và có AEB = 1500 nên suy ra
EAB = EBA = 150 DAE = 750 FAD = 150
EAB = FAD (c-g-c) FAD cân tại F
FDA = FAD = 150 và AFD = AEB = 1500
Ta có: DFE = 3600 - (FAE + AFD) = 1500
FED = FAD (c-g-c) FDE = FDA = 150
và ED = AD = CD CED cân tại D (1)
Mặt khác EDA = FDE + FDA = 300 EDC = 600 (2)
Từ (1) và (2) suy ra CDE là tam giác đều
Mở rộng bài toán:
có thể thêm yêu cầu: Tính số đo của góc AED
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A có A = 1000 Qua B dựng tia Bx sao cho CBx = 300
Tia phân giác của góc ACB cắt tia Bx tại D
a) So sánh CD với CA
b) Tính số đo của góc BDA
Giải
a) Dựng tam giác đều BEC sao cho E và A cùng
nằm trên nửa mp bờ BC
F
E
B A
x E
A
Trang 3ABC cân tại A có A = 1000 nên suy ra
ACB = ABC = 400
ECA = ACD = DCB = 200
suy ra DBC = AEC (g-c-g) CD = CA
b) Ta có BDA = 1800 - (ABD + BAD) (1)
Mà ABD = ABC - DBC = 100 (2)
BAD = BAC - DAC = BAC - 180 - ACD0 2
= 1000 - 180 - 2002 0
= 200 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra BDA = 1800 - (ABD + BAD) = 1800 - (100+ 200) = 1500
* Mở rộng bài toán: Có thể thay kết luận bằng yêu cầu: Tính số đo các góc ADC; BAD
Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A có A = 400 Trên tia phân giác AD của góc A lấy điểm
E sao cho ABE = 300; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho CBF = 300
a) Chứng minh : AE = AF
b) Tính số đo của BEF
Giải
a) Ta có : FBA = 400 = BAC BFA cân
tại F FA = FB F thuộc đường trung trực
của AB (1)
AH là phân giác của BAC nên BAE = 200
Dựng tam giác đều ABD sao cho D nằm trên
nửa mp bờ AC không chứa điểm B thì D
thuộc đường trung trực của AB (2)
và FAD = 200
Từ (1) và (2) suy ra DF là đường trung trực
của AB DF là tia phân giác của góc ADB ADF = BDF = 300
Suy ra FAD = EAB (g-c-g) AE = AF
b) Ta có DFA = DFB= 1300; EFA= 800 nên suy ra EFB = 200 , EBF = 100
Trong BFE thì BEF = 1800 - (EBF + EFB) = 1500
Bài 6:
Cho tam giác ABC cân tại B có B = 800 Điểm I nằm ở miền trong tam giác sao cho
IAC = 100; ICA = 300
//
//
H
F E
D C
B
A
Trang 4Tính số đo của BIA
Giải
* Cách 1:
Dựng tam giác đều AKC sao choK và B cùng
nằm trên nửa mp bờ AC thì:
BAK = BCK (c-c-c)
BAK = BCK = IAC = 100
và BKA = BKC = 300
BAK = IAC (g-c-g) AB = AI
BAI cân tại A có BAI = 400
AIB = ABI
= 700
* Cách 2:
Vẽ tia Ax hợp với AB sao cho BAx = 100 ,
Ax cắt tia phân giác BH tại K KAH = 600
Trong AHK có AHK = 900, KAH = 600 nên suy ra
AKH = 300 AK = 2 AH
AK = AC BAK = IAC (g-c-g) AB = AI
BAI cân tại A có BAI = 400
AIB = ABI = 700
(Đây chính là cách dựng nửa tam giác đều AHK)
* Mở rộng: Bài toán này có thể thay yêu cầu trên
bằng : Chứng minh tam giác AIB cân hoặc tính số
đo của góc BIC, góc IBC
Bài 7:
Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200
Trên AB lấy điểm E sao cho ECB = 500
Trên AC lấy điểm D sao cho DBC = 600
Tính số đo của BDE
Giải
Vẽ tamgiác đều ABF sao cho F nằm trên
nửa mp bờ AC không chứa điểm B
Gọi giao điểm của BF và AC là K
Ta có CBK = 200 ; DBK = 400
BKC = 1800 - ( CBK + BCK) = 800
K
I
C
B
A
x
I
H
B
C A
K
80 40
40 50
20
20
F E
D A
Trang 5Từ (1) và (2) suy ra BE = BK KBE cân tại B và EBK = 600 KBE là tam giác đều BK = EK (3)
Ta có BDC = 1800 - ( CBD + BCD) = 400
BKD có KBD = KDB = 400 nên BKD cân tại K BK = DK (4)
Từ (3) và (4) suy ra EK = DK EKD cân tại K và có
EKD = 1800 - ( BKC + BKE) = 400 nên KDE = 700 mà BDC = 400 nên BDE = 300
Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại C có C = 1000 Qua A và B lần lượt vẽ tia AL(L BC) và BK (K AC) sao cho LAB = 300 ; KBA = 200 Gọi M là giao điểm của AL và
BK Tính số đo của các góc ACM, BCM
Hướng dẫn: Dựng tam giác đều ADB sao cho D và C cùng thuộc nửa mp bờ AB
Chứng minh AMB = DCB để suy ra BMC cân tại B
Kết quả: ACM = 200; BCM = 800
Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có A = 800 Trên AC lấy điểm K sao cho CBK = 100
Trên BK lấy điểm M sao cho CAM = CBK Tính số đo của CMB ; CMA