Phòng GD & ĐT quảng x ơng
Đề thi học giỏi môn toán lớp 9- Năm học 2009-2010
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1: ( 3 điểm)Tính giá trị của:
( x y)
y xy x
y y x x A
y
x
− +
−
+
=
+
−
−
=
− +
=
1 3
3 1
3 3
250 5
5 2 2 5
Bài 2: (3 điểm)Cho phơng trình x2 - 2(m - 1)x- m - 3 = 0
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 10
Bài 3: ( 4 điểm) Cho biểu thức
1 4 3
1 2
2
2
+
−
−
−
=
x x
x x P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh nếu x> 1 thì P(x).P(-x) < 0
Bài 4: ( 6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Ba đờng cao AD, BE,
CF gặp nhau ở H Kéo dài AO cắt (O) tại M, AD cắt (O) tại K Chứng minh:
a) MK // BC
b) DH = DK
c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh H, M , I thẳng hàng
HF
CF HE
BE
HD
AD
Bài 5: (4 điểm)
a) Cho các số thực dơng x, y thoả mãn 4+ 5 ≥23
y
x Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
y
y x x
B=8 + 6+18 + 7
b) Cho x , y thoả mãn (x+ x2 +2010)(y+ y2 +2010)=2010 Hãy tính x + y?
*** Hết***
Trang 2Hớng dẫn chấm môn toán lớp 9
Bài 1: ( 3 điểm)
7
) (
) )(
(
3 2
6 1
3
) 1 3 ( 3 ) 1 3 ( 3
10 10 5 5 2 10 5
=
⇒
−
=
− +
−
+
− +
=
=
=
−
−
− +
=
=
− +
=
A
y x y x y
xy x
y xy x y x A
y
1đ
1đ
Bài 2: ( 3 điểm)
a) 1,5 điểm
Xét
( )
0 4
15 2
1 4
3 1
2 2
2 '
>
+
−
=
+
−
=
+ +
−
=
∆
m
m m
m m
với mọi m
Từ đó suy ra pt luôn có nghiệm
b) 1,5 điểm
Theo định lý Viét
−
−
=
−
= +
3
) 1 ( 2
2 1
2 1
m x x
m x
x
Ta có x1 + x2 = 4 ( m-1)- 2(- m-3)
= 4m2 -8m + 4 +2m +6
= > 4m2 -6m +10 ≥10
<=>2m2 -6m≥0
<=> m≥3/2 hoặc m≤ 0
0,5đ
0,5đ
0,5 đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
Bài 3: ( 4 điểm)
Trang 3a) 2 điểm
ĐK; x≠1/3; x≠1
=
P
1 4
3
1 2
2− +
−
−
x
x
x
Nếu x≥0: P= (3x−x1−)(1x−1)=3x1−1
Nếu x <0: P=(3x−3x1)(−x1−1) = x1−1
b) 2 điểm
Nếu x>1
−
<
>
⇔
>
+
−
⇔
<
−
−
⋅
−
=
−
1
3
1
0 1 1
3
0 1
1 1 3
1 )
(
)
(
x
x
x x
x x
x
P
x
P
luôn đúng vì x >1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1 đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4: ( 5 điểm)
a) 1,5 điểm
b)1,5 điểm
Chứng minh BD là phân giác góc BKH
c) 1 điểm
BHCM là hình bình hành nên HM đi qua trung điểm I của BC suy ra
H, I, M thẳng hàng
d) 2 điểm
0,5đ 0,5đ 0,5đ
1đ ' 0,5đ
1đ
Trang 4§Æt dt HBC = S1; dtHAC = S2; dtHAB = S3
I H E
K
O
F
M D
9 2 2 2 3 ) (
) (
) (
3
) 1 1 1 )(
(
2
3 3
2 1
3 3
1 1
2
2
1
3 2 1 3 2
1
= + + +
≥ + + + + +
+
=
+ + +
+
=
+ +
= +
+
S
S S
S S
S S
S S
S
S
S
S S S S
S
S
dtHAB
dtABC dtHAC
dtABC dtHBC
dtABC HF
CF
HE
BE
HD
AD
0,5® 0,5® 0,5®
0,5®
Bµi 5: ( 4 ®iÓm)
1 (2 ®iÓm)
43
23 12 8
) 5 4 ( )
2 18 ( )
2 8 (
≥
⇒
+ +
≥
⇒
+ + + + +
=
B B
y x y
y x
x B
dÊu "=" x¶y ra
3
1 , 2
=
⇔x y
3
1
; 2
1
=
⇒B nn x y
2 ( 2 ®iÓm)
Ta cã
2010
2010 2010
2010
2010
2 2
−
+
−
= +
+
= +
y y x
x
T¬ng tù
2010
2010 2010
2010
2010
2
−
+
−
= +
+
= +
x x y
y
0,5® 0,5®
0,5®
0,5®
1®
0,5® 0,5®
Trang 5Cộng theo vế đợc: x+y = 0