giải toán hình không gian bằng vécto

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNGPHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG

PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ

Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ

Bước 2 Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các

hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.

Bước 3 Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không gian tương ứng

Một số dạng toán

Dạng 1 Phần quan hệ song song

Bài toán 1 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi AB kCD 

.

đó :AB//(P)  AB xa yb 

Bài toán 3 Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).

1 1

(ABC) / / MNP AB xMN yMP



 



Ví dụ 1

Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác

AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF

Lời giải:

Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở

 AA1 a AB b AC c,  ,  

     

Theo bài ra:

+M là trọng tâm của tam giác AA1B1:

1

3

(1) +N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

1( 1 1 1)

3

(2) +E là trọng tâm của tam giác ABC:

1( )

3

(3) +F là trọng tâm của tam giác BCC1:

1

3

(4) + MN/ /EF  MN k EF

B1

B

E

F M

N

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

Từ (1), (2): MN AN AM 13a c 

(5)

Từ (3), (4): EFAF AE 13a c 

(6)

Từ (5), (6): MN EF

 

(7)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian

Từ (7) : MN // EF

Ví dụ 2

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1)

L i gi i:ời giải: ải:

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở

DA a DC c DD ,  , 1b

     

+ M là trung điểm AA1:  1

1 2

(1) + N là trung điểm B1C1:  1 1

1 2

(2) +MN / / DA C  1 1  MNxDC1yDA1

(3)

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

2

12c a c b      

A1

D1

C B

N

M

Suy ra: 1 1

1 2

(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian

Từ (4) : MN // (DA1C1)

Ví dụ 3

Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, CC1 và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1

Chứng minh: (MGC1) // (AB1N)

L i gi i:ời giải: ải:

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở  AA1a AB b AC c,  ,  

     

+ M là trung điểm AA1: 1

1 2

(1) + N là trung điểm CC1:  1

1 2

(2) + G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:

1

3

(3)

1 1 1 1

(MGC ) / / AB N MG xAB y AN



 



G

A

B 1

B

C

N M

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

Ta có:

(5)

1

2

Từ (5) và (6) , do , ,a b c   không đồng phẳng nên ta có:

1

3

1

3

x y



 





















1

(7)

       

Ta có:

1 1  

(8)

1 (9) 2

 

Từ (8) và (9): MC 1 AN (10)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian

MG//mp(AB )

(11)

Từ (10) :MC1 AN  MC1/ /mp AB N( 1 )

 

(12)

Từ (11) và (12) :mp MGC( 1) / /mp AB N ( 1 )

Bài tập vận dung

G là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1.

Chứng minh:

1 (MGC 1 )//(BA 1 N)

2 (A 1 GN)//(B 1 CE).

Dạng 2 Phần góc và khoảng cách

Bài toán 4 Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:

os

AB CD

c

AB CD

 

 

 

cách từ M đến l.

Phương pháp giải:

 

, gọi N là hình chiếu của M lên l.

Bài toán 7 Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và góc giữa MA và (ABC).

Phương pháp giải:

 

   

, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).



xa yb m a

xa yb m b







   

   

Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng xa yb m  2 .Nếu

0

xa yb  thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m và xa yb , còn xa yb 0 thì AM

d 2 đi qua A 2 và có véc tơ chỉ phương a2

Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.

Phương pháp giải:

1 2

os

a a c

a a

 

 

 

+Đoạn vuông góc chung P 1 P 2 ( P 1 thuộc d 1 , P 2 thuộc d 2 ), khi đó: PP1 2 xa1m ya 2

Do

1 2 1

1 2 2

,

PP a

x y

PP a











 

 

1 2 ( 1 2)

Ví dụ 4

Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng 5

4

a

.Hãy tính đường cao của lăng trụ

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở

AA1m AB n AC,  , p

     

Giả sử hm



Ta có:

1 1 1 1

1

3

Suy ra:

2 2

1 1

2 2

2 2

1

3







 

Vì: AO c  os =5a

A1

A

B1

C1

B

C O1

O

nên

2 2 2 2

2 2

h



Ví dụ 5

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 Tính thể tích của hình chóp

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở SA a SB b SC c ,  ,  

     

Đặt  là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp

N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên

đường thẳng BD

) (1 )

Do ANDB

(17 1) 8( 1) os 0 (1)



S

A

B

C D

N

Mặt khác:AN  2 AN2  4 17x2 2x13 8( x1) cos2 0 (2)



Từ (1) và (2) ta được 7

9

64

c  

Ta tính độ dàiđường cao của hình chóp SO

Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên

2 2

4

9 2



Vậy:

2

3

S ABC

AB





Ví dụ 6

Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2 M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN

Lời giải:

Ta chọn hệ véc tơ cơ sở

CA a CB b CS c ,  ,  

     

+Ta tìm góc  giữa SM và CN?

Ta có:

1 ( 2 ) 2

1

2

Khi đó:

2

SM CN c

SM CN

 

 

A

S

B

C

M N

Q

P

+Tính khoảng cách giữa SM và CN?

Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN Khi đó:

1

2

Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:

2

3

x









  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Ví dụ 7

Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, SA  3 Mặt phẳng   song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng   song song với các đường thẳng SC và AB Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng   và   Lời giải:

Chon hệ véc tơ cơ sở

AS a AB b AC c               ,                ,  

Giả sử ,m n  là các véc tơ bất kì khác

0,

tương ứng vuông góc hai mặt phẳng

  và   ,

còn  góc hai mặt phẳng   và  

Thế thì: os .

m n c

m n

 

 

 

Đặt m xa yb zc  

A

S

B

C

b c xa yb zc

SB m m







 



23

1

2

y







Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m 



không được xác định duy nhất

Chọn z 1 x1,y4 nên m a  4b 2c

là một trong các véc tơ vuông góc với  

1

2

n ta ub vc







 

  Chọn :u 2 v4,t 1 n a  2b4c

Khi đó : os . 1

5

m n c

m n

 

Bài tập vân dụng.

Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin của góc giữa các cạnh đối diện.

góc:

1.Giữa AB 1 và BC 1

Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Bài 4 Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1 BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC) Tính SE.

Dạng 3 Phần quan hệ vuông góc

.

0

AB a

AB b



 





 

Ví dụ 8

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA1 và CB1

sao cho:

1 1

,

MA  NB  Chứng minh rằng: MN BA MN1, CB1.

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở  BA a BB , 1b BC c,  

     

Khi đó: a b c a a b c b a c;      0

Theo bài ra :

1 1

1 1

BM

MA

CN

NB

A1

B1

A

B

C D

M

N

Mặt khác:

 

1 2 3 1 3

Do đó:

1

3 1

3





Ví dụ 9

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A1 bằng nhau

Chứng minh rằng: A C1 (AB D1 1)

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở

 A A a A B1  , 1 1 b A D, 1 1 c

     

Theo giả thiết :   

1 1 1 1 1 1 1

Gọi m là độ dài cạch hình hộp

Ta có:

1 1

(1)

         



 

1 1

1 1

(2)

     



 

Từ (1) và (2) suy ra A C1 (AB D1 1)

O1 A1

B1

A

B

C D

Bài tập vân dụng.

Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’

90

hai điếm sao cho:

MB MS

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A