Hình học phẳng : nhận biết , chứng minh các loạị tứ giác , Các bài toán về định lý Ta lét , tam giác đồng dạng.... Trong quá trình tự học, tự bồi dỡng hay trong quá trình dạy học , tôi l
Trang 1Lời nói đầu
Phát triển t duy cho học sinh trong việc học hình là công việc cần thiết của các thày cô giáo Nhng con đờng đi đến đích thì lại thật là gian nan , khó nhọc
Đối với học sinh lớp 8 , một khối lợng kiến thức hình thật là nặng với các em Hình học phẳng : nhận biết , chứng minh các loạị tứ giác , Các bài toán về định
lý Ta lét , tam giác đồng dạng Hình học không gian dù mới làm quen song khá phức tạp Vậy con đờng hình thành t duy thế nào đây ?
Trong quá trình tự học, tự bồi dỡng hay trong quá trình dạy học , tôi luôn luôn định hớng cho các em cách t duy thông qua phân tích một bài toán rồi
từ đó tìm ra phơng pháp giải quyết nó trong các trờng hợp cụ thể , trong một hình vẽ cụ thể Rồi từ đó hớng dẫn cách tổng quát hoá các bài bằng cách làm
“lỏng” một vài giả thiết rồi xem kết quả ra sao ? Các bài toán mới chắc chắn làm cho các em thích thú khi có lời giải trong tay
Con đờng hình thành bài toán tổng quát là nh thế đấy ! Sau đây là nội dung chuyên đề : hớng phát trển một bài toán hình học lớp 8 , hy vọng sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp các em học sinh có cách nhìn “thoáng” hơn với
bộ môn hình học
Hớng phát triển của một bài toán hình học
Con đờng đi đến bài toán tổng quát đối với môn hình học rất gian nan bởi
tính chặt chẽ của nó Chỉ cần thay đổi ‘nhỏ” thôi trong giả thiết chắc chắn lời giải
sẽ khác Thậm chí đi đến “bế tắc” Thế nhng , muốn vợt qua chớng ngaị vật lớn cần phải có những bớc nhảy vọt qua những vật cản nhỏ Sự tự tin , sáng tạo sẽ
Trang 2giúp bạn vợt qua đấy ! Khi bạn cha bằng lòng với một kết quả của một bài toán hình thì bạn thử nghĩ xem : Nếu mình làm “lỏng” một chi tiết thì kết quả của nó
có gì sáo trộn không? Hãy dũng cảm tấn công vào một hệ thức hình học hay một phơng pháp chứng minh nó , chắc chắn bạn sẽ gặt hái đợc những kết quả khá thú
vị Bài toán 51 trang 130 sách bài tập toán 8 là một ví dụ nh vậy
Bài toán 1 : (bài 51 trang 130 sách bài tập toán 8 )
Cho ABC nhọn với ba đờng cao AA1 , BB1 ,CC1 Gọi H là trực tâm của tam giác đó
CMR : 1 ( 1 )
1
1 1
1 1
CC
HC BB
HB AA HA
Giải : gọi SHBC = a , SHAC = b , SHAB = c và SABC = x
Vì ABC nhọn nên trực tâm H nằm ở miền trong tam giác
Bởi thế ta có : SHBC + SHAC + SHAB = SABC
hay a +b+c=x Dễ thấy :
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
x
c b a CC
HC BB
HB AA
HA CC
HC x
c CC
HC
S
S
BB
HB x
b BB
HB S
S AA
HA x
a AA
HA
S
S
ABC
HAB
ABC
HAC ABC
HBC
*) H ớng phát triển :
Với H là trực tâm ABC thì ta có hệ thức (1) Nếu thay đổi giả thiết : trực tâm H bằng trọng tâm G thì hệ thức (1) còn đúng không ? Ta đi tới bài toán 2
Bài toán 2 :
Cho ABC với ba đờng trung tuyến AA1 , BB1 ,CC1 Gọi G là trọng tâm của tam giác đó
CMR : 1 1 1 1
GB GC GA
A
B 1
B
C 1
H
Trang 3Do G là trọng tâm của ABC nên : 31
1
1 1
1 1
1
CC
GC BB
GB AA
GA
1
1 1
1 1
1
CC
GC BB
GB AA GA
Cách 2 : Gọi AN là đờng cao của ABC GM là đờng cao của GBC.
Khi đó :
x
a AN
GM
( cùng đáy BC ) Vì GM//AN ( cùng vuông góc với BC )
nên GM A N GA AA GA AA a x
1
1 1
1
Tơng tự ta cũng có : GB BB b x GC CC c x
1
1 1
1 ,
1
1 1
1 1
1
x
c b a x
c x
b x
a CC
GC BB
GB AA GA
*) H ớng phát triển : Trong cách chứng minh thứ 2 , ta không hề nhắc đến dữ
kiện của giả thiết đó là : Trọng tâm G Phải chăng đây là “lỗ hổng" của bài toán
và để ý trong cách chứng minh hệ thức (1) ta đi đến bài toán tổng quát
Bài toán 3: Gọi M là điểm nằm trong ABC Các tia AM , BM , CM cắt các
cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A1 , B1 , C1 CMR : 1 ( 1 )
1
1 1
1 1
CC
MC BB
MB AA
MA
*/ H ớng dẫn : chứng minh tơng tự nh bài toán 2 ( cách 2 )
*) H ớng phát triển : Quan sát kỹ phơng pháp chứng minh công thức (1) ở bài
toán 2 ta thấy : tỉ số khoảng cách từ M đến BC và từ A đến BC phụ thuộc vào các diện tích tam giác nhận các khoảng cách các khoảng cách đó làm đờng cao Bởi thế dễ dàng tấn công vào công thức (1) để có hệ thức mới
Bài toán 4: Gọi M là điểm nằm trong ABC Các tia AM , BM , CM cắt các
cạnh BC,AC, AB lần lợt tại A1 , B1 , C1 CMR :
A
B
1
C
1
A1 G
N M
Trang 4
) 6 ( 2
9 )
5
) 5 ( 9 )
4 )
4 ( 2
3 )
3
) 3 ( 6 )
2 )
2 ( 2 )
1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
MC
CC MB
BB MA AA
MC
CC MB
BB MA
AA MC
MC MB
MB MA MA
MC
MC MB
MB MA
MA CC
MC BB
MB AA MA
H
ớng dẫn giả i :
1) Ta có MA AA a x AA AA MA xx a AA MA bx c
1 1
1 1 1
1
b a CC
MC x
c a BB
1 1
;
1 1 1
x
c b a x
c b x
c a x
c b CC
MC BB
MB AA
MA
2) Từ MA AA a x
1
1
và AA MA bx c MA MA b ac
1
1 Tơng tự : MB MB a bc MC MC a cb
1 1
,
Nhờ bất đẳng thức Côsi ta có :
1 1 1
c
b b
c c
a a
c b
a a
b c
b a b
c a a
c b MC
MC MB
MB MA
MA
3) Từ phơng pháp chứng minh câu 2 , ta đợc :
c b
c MC
MC c
a
b MB
MB c
b
a
MA
MA
Nhờ bất đẳng thức Nasơnít , ta có :
2
3
1 1
a c
c a c
b c b
a MC
MC MB
MB MA MA
*/ Các bất đẳng thức (4) ,(5) chứng minh tơng tự nhờ các bất đẳng thức (2), (3)
*/ Với các bất đẳng thức trên dấu = xẩy ra M là trọng tâm của ABC
*/ H ớng phát triển :
A
C1
B
1
M
C
1
Trang 5Bài toán 5 : Tìm tập tập điểm M nằm trong ABC sao cho : SMAB + SMAC = SMBC
(Bài 23 trang 123 SGK Toán 8 - Tập 1)
Giải :
Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho SMAB +SMAC = SMBC
1
1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
CC
MC BB
MB AA
MA
Do
CC
MC BB
MB AA
MA S
S S
S
S
S
ABC
MAC ABC
MAB
ABC
MBC
Bởi thế
2
1
1
1
AA
MA
sử dụng kết quả bài toán 2, ta có : khoảng cách từ M đến cạnh
BC bằng khoảng cách từ A đến BC Vậy M thuộc đoạn thẳng song song với BC cách BC một khoảng bằng1/2 đờng cao hạ từ A xuống BC Hay M thuộc đờng trung bình EF của ABC
*/ H ớng phát triển : Cách chứng minh bài 5 là sự kết hợp giữa hệ thức (1) với
mối quan hệ diện tích của một tam giác bằng tổng hai tam giác còn lại Nh vậy nếu điểm M trong tam giác chia thành ba tam giác sao cho một tam giác có diện tích bằng k lần tổng diện tích hai tam giác còn lại Khi đó ph ơng pháp chứng minh có gì thay đổi không ? Ta đi tới bài toán 6
Bài toán 6 : Cho ABC , hãy chỉ ra tập hợp của điểm M nằm trong tam giác đó
sao cho :
SMBC = k (SMAB +SMAC )
Giải : Giả sử M là điểm nằm trong ABC sao cho SMBC = k (SMAB +SMAC )
Khi đó ta có :
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
k
k AA
MA AA
MA k
AA
MA CC
MC BB
MB AA
MA
Do
CC
MC BB
MB k AA
MA S
S k S
S
k
S
S
ABC
MAC ABC
MAB
ABC
MBC
A
C
A
1
M
A
C
1
A
1
M
Trang 6Vậy M thuộc đờng thẳng (d) song song với BC cách BC một khoảng bằng
1
k k
đờng cao hạ từ A xuống BC Giới hạn : đoạn thẳng EF ( E , F là giao của đờng thẳng d với cạnh AB,AC )
*/ H ớng phát triển : Dễ thấy từ phơng pháp chứng minh ở bài toán 2 ta thấy rõ
: Nếu SMAB = SMAC = SMBC thì 31
1
1
1
1
1
1
CC
GC BB
GB AA
GA
và M phải là trọng tâm của tam giác
Và ta có bài toán 7 :
Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = SMAC = SMBC
Tiếp tục tấn công vào hệ thức ta có bài toán tổng quát hơn
Bài toán 8 :
Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = 2 SMAC = 3 SMBC
Giải :
Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = 2 SMAC = 3 SMBC
11 6 6
2 3 6 1 3
1 2
1 1
1 1
3
1 2
1
1
1 3
1 2
1 1
3 2
3 2
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
AA
MA AA
MA
AA
MA AA
MA AA
MA CC
MC BB
MB AA
MA
Do
CC
MC BB
MB AA
MA S
S S
S
S
S
ABC
MAC ABC
MAB
ABC
MBC
Vậy M thuộc đờng thẳng (d1) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng
bằng
11
6
đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC
Tơng tự ,ta cũng có 1 113
BB
MB
Vậy M thuộc đờng thăng (d2) song song với cạnh
A
C
1
A
1
M
d
2
d
1
Trang 7Nhận xét : Thuật toán không thay đổi khi ta thay đổi tỉ số giữa các tam giác
Bởi thế ta đi tới bài toán tổng quát
Bài toán 9 :
Xác định vị trí của điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = k SMAC = m SMBC
( với k , m R+ )
Giải :
Giả sử điểm M nằm trong ABC sao cho SMAB = k SMAC = m SMBC
m k km km km
m k km m k AA
MA m
k
AA
MA
AA
MA m AA
MA k AA
MA CC
MC BB
MB AA
MA
Do
CC
MC m BB
MB k AA
MA S
S m S
S
k
S
S
ABC
MAC ABC
MAB
ABC
MBC
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
Vậy M thuộc đờng thẳng (d1) song song với cạnh BC và cách BC một khoảng bằng
m k
km
km
đờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC
Tơng tự ,ta cũng có MB BB km m k m
1
1
Vậy M thuộc đờng thẳng (d2) song song với
cạnh AC cách AC một khoảng bằng
m k km
m
đờng cao hạ từ B xuống AC
Vậy điểm M chính là giao của (d1) và (d2)
H
ớng phát triển : Trong việc chứng minh hệ thức (1) có một giả thiết rất quan
trọng đó là : điểm M nằm trong tam giác ABC Bây giờ ta làm "lỏng" giả thiết này nhé ! Khi M nằm ngoài tam giác thì hệ thức (1) còn đúng không ? Chắc chắn bạn thấy ngay không có hệ thức (1) nhờ phơng pháp chứng minh nó Thế nhng sẽ có hệ thức khác mà cách chứng minh nó có nét tơng tự nh nh cách chứng minh hệ thức (1) Ta đi tới bài toán 10 :
Bài toán 10 : Cho điểm M nằm ngoài ABC, giả sử M thuộc phần mặt phẳng
giới hạn bởi các cạnh CB , cạnh AB và AC kéo dài Gọi các giao điểm của AM ,
BM , CM với các cạnh CB , AC , AB lần lợt là A , B , C
A
C
1
A
1
M
d2
d
1
Trang 8Chứng minh rằng : 1
AA
MA CC
MC BB
MB
1 1
1 1
1
1
Gợi ý : hình vẽ trong bài này có 4 trờng hợp xẩy ra nhng cách chứng minh lại
cho ta một kết quả Mời các bạn giải quyết nhé !
Sau đây là 4 hình vẽ cho 4 trờng hợp , ở đó: d1 // AB; d2 // AC
( gianh giới chia ra 4 miền )
(1) (2)
Chú ý : Loại trừ các điểm M nằm trên đờng thẳng d1 , d2
Tiểu kết
Vì thời gian viết chuyên đề này không nhiều bởi vậy tôi xác định viết nó trong 2 năm Hy vọng năm học tới sẽ giải quyết bài toán 10 và phát trển nó Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp
Xin trân trọng cám ơn !
A
1
M
C
1
B
1
d
2
B
1
A
C
1
M
d
2
d
1
A
1
A
C
1
A
1
M
d
1
d
1
C
1
C B
A
B
1
M
d
1
d
2
A
1