dTính thể tích của tứ diện ABCD và tính đường cao AH của tứ diện ABCD.. Tính độ dài các đườngchéo và diện tích của hình bình hành đĩ.. e Tính độ dài đường phân giác trong của gĩc B.. a ∃
Trang 1§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I> Lý thuyết
1) Hệ trục tọa độ trong khơng gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc được gọi là hệ trục tọa độ vuơng gĩc trong khơng gian.
2) Tọa độ của véc tơ: u=(x,y,z)⇔u(x,y,z)⇔u= x i+y j+zk
Tính chất: Cho các véc tơ u1=(x1 ,y1 ,z1),u2 =(x2 ,y2 ,z2) và số k tùy ý, ta cĩ:
);
zz ;yy ; x(xuu)2
;zz ,yy , x xuu
)
2 1 2 1 2 1 2 1
;zyxu )5
;zzyyx xuu)4 );
kz ;ky ;(kxu
2 1 1
0 2 1 2 1 2 1 2 1
0 1 1 1 1
zyx.zyx
zzyyxxu
,ucos
)
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 2
1
+++
+
++
=
3) Tọa độ của điểm: M=(x,y,z)⇔OM=(x,y,z)
4) Liên hệ giữa tọa độ của véc tơ và tọa độ của hai điẻm mút:
A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) thì 1 ) AB (x - x , y - y , z - z ); 2 ) AB (x - x ) (y - y ) ( z - z ) 2
A B 2 A B 2 A B 0
A B A B A B
b a ;a' c'
a c ;c' b'
c bv
)
6
1 V ) 6
; AC , AB 2
1 S ) 5 0;
w v ,
ABC
6) Phương trình mặt cầu tâm I(x 0 ; y 0 ; z 0 ) bán kính R là: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
Ngược lại, pt x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là pt của mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính
d -cb
a
R= 2+ 2 + 2 nếu a2+b2 +c2 -d > 0
II> Bài tập áp dụng.
VD1: Trong kg với hệ tọa độ oxyz cho tgABC với A(1;0;1) ,B(-1;1;2) , C(-1;1;0)
a) Tính độ dài AB và AC
b) Xác định góc BAC và góc giữa hai đ/t AB và AC
Giải: Ta có AB = (-2;1;1) , AC = (-2;1;-1)
a) AB = 6 AC = 6
b)Gọi Ψlà góc giữa hai véc tơ AB & AC Ta có cosA = cosΨ= 2/3
⇒ Ψ nhọn , vậy Ψlà góc giữa hai đ/t AB và AC
Ví dụ 2 :Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,0,1) , B(-1,1,2) , C(-1,1,0) vàD(2,-1,-2)
a)Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh một tứ diện
b) Tính đường cao DK của tam giác BCD
c)Tính góc CBD và góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD
d)Tính thể tích của tứ diện ABCD và tính đường cao AH của tứ diện ABCD
Hướng dẫn giải :
a/Chứng minh các véctơ AB, AC, AD không đồng phẳng
Trang 2c/Góc BCD = (CB,CD) =
29
4 Góc giữa AB và CD là ϕ thì cosϕ= |cos(AB,CD)|=
10210
d) Ta có thể tích tứ diện ABCD = 1/6 thể tích hh có ba cạnh xuất phát từ A là AB,AC,AD
2b -axd)
;c3 -b3
1 -a5xc)
;c3
2 -ba2
1 -x b)
;c2 -bax
)
.0c3
2 -bx3
1 -a3h)
;0c2b -x3
1 a2
1 g)
;0c3bx a2 - f)
;0c2 -b -x
4 Cho điểm M(x; y; z) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua:
a) Gốc tọa độ; b) mp(Oxy; c) Trục Oy
5 a) 3 điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7) Tìm M ∈ mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất
c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11) Tìm M ∈ mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất
6 a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5) Tìm tọa độcủa các đỉnh cịn lại
b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x1, y1, z1), C(x3, y3, z3), B’(x’2, y’2, z’2), D’(x’4, y’4,z’4) Tìm tọa độ của các đỉnh cịn lại
7 CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật Tính độ dài cácđường chéo, tọa độ tâm và gĩc giữa hai véc tơ AC vàBD.
8 CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành Tính độ dài các đườngchéo và diện tích của hình bình hành đĩ
9 Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M Điểm M chia đoạn AB theo tỷ
số nào? Tìm tọa độ của điểm M
- (1;
b1),
- 3;
- (4;
a )c 3);
- 0;
(6;
b4),5;
(2;
a )b 3);
2;
(-1;
b1),3;
12 a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm A = (3; 1; 0) và B(-2; 4; 1)
b) Trên mp(Oxz), tìm điểm cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
13 Tính tích cĩ hướng [ ]u ,v Biết rằng: a) u=(1;1;- 1) ,v=(3;- 1;- 3);
(0;-1;- 1) ,v (-3;0;3); c) u (0;1;1) ,v (4;1;2); d) u (1;- 1;1) ,v (4;4;0).u
)
Trang 314 Tính [ ]u ,v w Biết rằng:a) u=(1;-1;- 1) ,v=(4;1;3), w=(0;3;1);
(0;- 1;- 2) ,v (3;1;- 3) ,w (-2;1;- 1); c) u (-2;1;- 1) ,v (-4;0;4) ,w (-4;- 1;3).u
)
15 Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ a ,b vàc trong mỗi trường hợp sau:
(1;- 1;1) ,b (0;1;2) ,c (4;2;3); b) a (4;3;4) ,b (2;- 1;2) ,c (1;2;1);a
)
(4;2;5) ,b (3;1;3) ,c (2;0;1); d) a (-3;1;- 2) ,b (1;1;1) ,c (-2;2;1);a
)
16 Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1)
a) CMR: ∃ ∆ABC; b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC;
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành;
d) Tính độ dài đường cao AH và các gĩc của ∆ABC
e) Tính độ dài đường phân giác trong của gĩc B
17 Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1)
a) ∃ tứ diện ABCD; b) Tính các gĩc tạo bởi các cặp cạnh đối;
c) Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A
18 Hãy chứng minh các tính chất sau đây của tích cĩ hướng của hai véc tơ:
20 Cho 4 điểm A(2; -1; 6), B(-3; -1; -4), C(5; -1; 0), D(1; 2; 1)
a) CMR: ∆ABC vuơng và tính bán kính đường trịn nội tiếp của tam giác
b) CMR: ∃ tứ diện ABCD và tính thể tích của tứ diện
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
21 Cho hình lậpphương ABCD cạnh a M, N là trung điểm của AD, BB’
a) CMR: A’C ⊥ (AB’D’) và A’C ⊥ MN
1 Phương trình mặt cầu
* Giả Sử mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R>0
Điểm M(x;y;z) ∈ (S) ⇔ IM2 = R2 ⇔ (x – a)2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 (1)
Phương trình (1) gọi là phương trình mặt cầu
Đặc biệt khi I ≡ O (góc tọa độ)
Phương trình (1) trở thành :
Trang 4với A2+B2+C-D>0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) và bán kính R= A2+B2+C2−D
2 GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mp (α) và mặt cầu (s) có phương trình :
(α) : Ax+By+Cz+D=0 (S) : (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2= R2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I (a,b,c) của (S) trên mp α ⇒ IH = d(I,(α))
Ta xét các trường hợp :
a) Nếu IH<R : thì giao của (α)∩(S) là một đưong tròn tâm H và có bk r = R2 −IH2 ; xác định bởihệ pt :
−+
−
0
=+++
2 2 2
2 (y b) (z c) R)
a
x
(
DCzByAx
với đk : d(I, (α)) <R
b) Nếu IH = R thì (α)∩(S)=φ
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính r= R2−d2(I,α)
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp(α))
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp(α) : ta có a d =nα
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
tayy
taxx
d
3 o
2 o
1 o: (1) và (S): (x a) ( ) ( )2 y b2 z c2 R2
=
−+
−+
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª S(I, R) : (x − a) (2 + y − b) (2 + z − c)2 = R 2(1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
Tâm I là trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp( α )
2 2 2
.
)
(
C B A
D I z C I y B S
+ +
+ +
mặt
Pt
α
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) S(I, R) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 A,B,C,D ∈ mc(S) ⇒hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
S(I, R) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Trang 5Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện (α) của mc(S) tại A : (α) qua A,vtptn=→IA
3 Bài t ập áp dụng.
Ví dụ1 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) và tiếp xúc với mp (α) có phương trình : x+2y-2z+5=0
Giải :Bán kính R của mặt cầu : R = =1
2
−+2+1
5+12
−12+2
−
2 2
)()()(
Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 1
Trong kg (Oxyz) cho mặt cầu (S) & mp (α) có pt
Ví dụ2 : (S) : x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 (α) : 2x+y-2z-8=0
a Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S)
b Viết pt tiếp diện mặt cầu (S) tại M(4;3;0)
c C/m (α) cắt (S) Viết phương trình đường tròn giao tuyến Tìm tâm & bán kính đường tròn giaotuyến
Giải :
a Đưa về phương trình : (x-3)2+(y-1)2+(z+2)2=9 ⇒ Tâm I (3;1;-2) ; bk R=3
b M0∈ (S) ; IM = (1;2;2) Phương trình tiếp diện : x+2y+2z-10=00
c/ d(I;(α) =1<R=3 ⇒ (α) cắt (S) phương trình đường tròn giao tuyến
−+
3
−
0
=8
; (t ∈ R tham là số) tham số giao điểm ∆ và (α) : t= −13
toạ độ tâm đường tròn ; H
23
7; ;
.BK: r = R2 −IH2 = 2 2
Ví d
ụ 3: Lập pt mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt đt (d)là giao tuyến của hai mp : 5x–4y+3z+20=0 và 3x –
4y + z –8 = 0 tại hai điểm A và B sao cho AB=16
Giải: Gọi H làhình chiếu vuông góc của I/AB → H là trung điểm AB
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu:
1.Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4 2.Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1)
3.Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Trang 64.Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
5.Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tõm I thuộc 0x
Bài 3.
1.Viết phương trỡnh mặt cầu (S) tõm I bỏn kớnh R cho trong cỏc trường hợp sau:
a) I(1; 0; -1), 2R = 8; b) 2R = AB với A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3);
c) I ≡ O và tiếp xỳc với S1(I1, r) Với I1(3; -2; 4), r = 1;
d) I(3; -2; 4) và đi qua A(7; 2; 1); e) I(2; -1; 3) và tiếp xỳc mp(Oxy);
f) I(2; -1; 3) và tiếp xỳc mp(Oxz); g) I(2; -1; 3) và tiếp xỳc mp(Oyz)
2 Phương trỡnh nào sau đõy là phương trỡnh của mặt cầu mà ta phải tỡm I và R
a) x2 + y2 + z2 - 2x - 6y - 8z + 1 = 0; b) x2 + y2 + z2 + 10x + 4y + 2z + 30 = 0;
c) x2 + y2 + z2 - y = 0; d) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2x - 3y + 5z - 2 = 0;
e) x2 + y2 + z2 - 3x + 4y - 8z + 25 = 0; f) 2x2 + 2y2 + 2z2 - 3x + 4y - 2z - 4 = 0;
3 Viết phương trỡnh mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và cú tõm thuộc mp(Oxy);
b) Đi qua A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và cú tõm thuộc trục Oz;
c) Đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1)
4 Cho 6 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A’(a’; 0; 0), B’(0; b’; 0),
C’(0; 0; c’) với aa’ = bb’ = cc’ ≠ 0; a ≠ a’, b ≠ b’, c ≠ c’
a) CMR: cú một mặt cầu đi qua 6 điểm núi trờn;
b) CMR: đ.thẳng đi qua gốc O và trọng tõm ABC vuụng gúc với mp(A’B’C’)
5 a) Tỡm tập hợp tõm cỏc mặt cầu đi qua điểm A(a; b; c) cho trước và cú bỏn kớnh R khụng đổi
b) Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6) Tỡm tập hợp cỏc điểm M trong khụnggian sao cho MA+MB+MC+MD=4
c) Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Tỡm tập hợp cỏc điểm M trong khụng gian sao cho
MA2 + MB2 + MC2 = MO2 (O là gốc tọa độ)
Bài 4 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: ( )S m :x2+y2 +z2−4mx−2my−6z+m2 +4m=0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu
b) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định
Bài 5 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: ( )S m :x2+y2 +z2−4mx−2m2y+8m2 −5=0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu
b) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi
c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) luôn đi qua
Bài 6 : Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: ( )S m :x2+y2 +z2 −2xsinm−2ycosm−3=0
a) Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu
b) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m≠0) ,cắt (C) tại T, S , đờngthẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi
Bài 7 : Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1)
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x
d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 8 Tỡm tõm và bỏn kớnh của cỏc đường trũn sau:
.0
1z2y 2x
0246z -4y 12x -zyx a)
;0
12z -2y
x
0102z -2y 6x -zyx a)
2 2 2 2
2 2
=+++
=++
++
=++
=++
++
Bài 9 Lập phương trỡnh tiếp diện (α) của mặt cầu (S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 biết (α) song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0
Trang 7Bµi 10 b) Viết p.trình mặt cầu tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mp x + 2y – 2z + 5 = 0.
c) Cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A,tiếp xúc với mp(BCD)
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và cĩ tâm I nằm trênmp(α): x + y + z – 3 = 0
Cặp véctơ chỉ phương của mpα : a b
là cặp vtcp của α ⇔ a ,b
cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a, b: n = [a,b]
4 Pt mpα qua M(x o ; y o ; z o ) có vtpt n = (A;B;C)
A(x – x o ) + B(y – y o ) + C(z – z o ) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : xa+yb+cz = 1
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7 Vị trí tương đối của hai mp (α1) và (α2) :
° αcắtβ⇔A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 °
2
1 2
1 2
1 2
1//
D
D C
C B
B A
°
2
1 2
1 2
1 2
1
D
D C
C B
B A
D Cz By Ax
+ +
+ + +
=
) d(M, α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng:
2 1
2 1
.
.
n n
n n
HĐ 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
°
]
) (
→
→
= [ AB , AC n
vtpt
qua
C hay B hay A
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
=AB vtpt
AB điểm trung M qua
M qua
α
α
//
Trang 8Dạng 4: Mp α qua M và // (β ): Ax + By + Cz + D = 0
°
β α β
α
α quaVì M// nênvtpt n n
=
Dạng 5: Mp(α ) chứa (d) và song song (d / )
Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
β
α
n n
vtpt
N) (hay M
n vtpt
A qua
Viết PT mp(α)đi qua điểm P(1,-2,3)và song song với mặt phẳng( )β có PT :2x + y–z +1= 0 ø
Giải : Vì mp(β) có PT 2x + y – z +1 = 0 nên nó có VTPT là n1(2,1,-1)
Do mp(α) song song với ømp(β) nên mp(α)cũng nhận n1(2,1,-1) làm VTPT.Do đó mp(α) có PTlà:2(x-1) + y+2 –(z-3) = 0 hay 2x+y-z+3= 0
Ví d ụ 2.Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1,3,-2) và B(1,2,1)
Giải : HD: Mp trung trực của AB qua trung điểm của AB và nhận AB làm véc tơ pháp tuyến
Ví d ụ 3.Viết PT mp(α) đi qua các hình chiếu của điểmM(2,-2,1) lên các trục tọa độ
Giải:Hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M1(2,0,0) ,M2(0,-2,0), M3(0,0,1) Vậy PT mp cần tìm là : 1
12
−
x
Ví d ụ 4 : Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau :
a Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với Oy
b Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với đường thẳng MN với M=(0,2,-3) ; N=(1,-4,1)
c Đi qua điểm M=(1,3,-2) và song song với mặt phẳng 2x –y +3z +4=0
Giải :
a Mặt phẳng đi qua điểm M0=(1,3,-2) và vuông góc với Oy là mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3,-2) và nhận →n =(0,1,0) làm VTPT nên có phương trình là : y=3
Trang 9b Mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3-2) và vuông góc với đường thẳng MN là mặt phẳng đi qua điểm M=(1,3-2) và nhận MN→
=(1,-6,4) VTPT nên có phương trình là : x-6y+4z +25=0
c Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 2x-y+3z+7 =0
Ví dụ 5: Cho hai điểm M=(2,3,-4) , N=(4,-1,0) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn
thẳng MN
Giải :Mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm I=(3,1,-2) của MN và nhận MN→
làm VTPT Do đó phương trình mặt phẳng là x-2y+2z + 3=0
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC với A=(-1,2,3) ; B=(2,-4,3) ; C=(4,5,6) Hãy viết phương trình mặt phẳng
(ABC)
Giải :Ta có mặt phẳng qua A,B,C đi qua A và nhận →n =[ AB→ AC→
] =(-18,-9,-39) làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình mp là : 6x +3y +13z –39 = 0
Ví dụ7 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm P=(3,1,-1) , Q=(2,-1,4) và vuông góc với mặt
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ (2;1;2); (3;2; 1) ar br −
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ:
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ:
c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z
Bµi 7: Cho tứ diện ABCD cĩ A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)
b Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vĩi CD
C.ViẾT PTTQ của MP trung trực cạnh AB
Bµi 8: Cho hai đt d và d’ lần lượt cĩ PTTS là
Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
Trang 10a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận n(2,3,4); làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0
Bài 10: Lập PTTQ của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài11: (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0.
Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q)
Bài 12 Viết phương trỡnh cỏc mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua M(-1; 3; 2) và (α) ⊥ Oy; b) Đi qua M(1; 3; 2) và (α) // mp(Oxz);
c) Đi qua M(1; -2; -3) và vuụng gúc với đường thẳng AB với A(5; -4; 1), B(2; 0; 3)
d) Đi qua M(0; 4; -1) và vuụng gúc với mp(β): 2x – y + 3z + 5 = 0
Bài 13 Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2) Viết phương trỡnh mp(ABC).
Bài 14 Viết phương trỡnh mặt phẳng (α) đi qua hai điểm P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuụng gúc với mp(β):2x – y + 3z – 1 = 0
Bài15 Cho điểm A(2; 3; -4) Hóy viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua cỏc hỡnh chiếu của điểm A trờn cỏc
Bài 18 Xột vị trớ tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau:
Bài 22.Cho hai đt d và d’ lần lượt cú PTTS là
Bài 23.Cho mặt cầu (S) cú đường kớnh là AB biết A(6;2;-5) và B(-4;0;7).Viết PTMP tiết xỳc với mặt cầu
Trang 11b) Viêt phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; 0; 0), B(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
Bµi 26 a) Tìm trên Oy điểm cách đều hai mặt phẳng: (α): x + y - z + 1 = 0 và (β): x – y + z – 5 = 0
b) Cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là những số thực dương thay đổi thỏa a2+ b2 + c2 = 3 Tìm a, b, c để d(O, (ABC)) lớn nhất
Bµi 27Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao AA’ = b, M là
trung điểm của CC’ Bằng phương pháp tọa độ, hãy:
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M; b) Tìm tỷ số
b
a
để mp(A’BD) ⊥ mp(MBD)
Bµi 28 Viết PT mp đi qua điểm M(1;2:4) và cắt các trục tọa độ 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao
cho OA=OB=OC ≠0 ( Chia làm 4 trường hợp cùng dấu và khác dấu)
Bµi 29 Cho 4 điểm A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3) CMR: ABCD là một tứ diện và lập
phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó
Bµi 30 Viết PT mp đi qua điểm M(1;1:1) và cắt các tia 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho thể
tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.(x+y+z-3=0)
Bµi 31 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a à chiều cao bằng h Gọi I là trung điểm
của SC Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI)
Bµi 32 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’,
BC, DD’
a) Tính góc (AC’, A’B); b) CMR: AC’ ⊥ mp(MNP); c) Tính VAMNP
Bµi 33 Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O; OA =
a; OB = b; OC = c Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng mp(OBC); mp(OCA); mp(OAB)với mp(ABC) Chứng minh rằng: cos2α + cos2β + cos2γ = 1
1) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng:
• Đường thẳng ∆ đi qua M0(x0; y0; z0) với véc tơ chỉ phương u=(a;b;c)có phương trình tham số là
z
bty
y
at x
x
0 0
0
c
zzb
y
y a
x
x − 0 = − 0 = − 0
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: Hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có véc tơ
pháp tuyến n=(A;B;C)và (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có véc tơ pháp tuyến n' =(A' ;B' ;C') với A: B:
Trang 12C ≠ A’: B’: C’ ⇒ (α) cắt (β) theo giao tuyến ∆ cĩ phương trình tổng quát là
=+++
=+++
0D'zC'
y B'
x A'
0DCz
By
Ax
.Khi đĩ u=[ ]n, n ' là một véc tơ chỉ phương của ∆
3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Hai đường thẳng d (đi qua M0 và cĩ véc tơ chỉ phương u ) và
d’ (đi qua M’0 và cĩ véc tơ chỉ phương 'u ) Khi đĩ:
0'u,u 'd //
d)2 0;
MM ,u'u,u
0 '
0 0 0
0MM.'u,u
' 0 0
Cc Bb Aa n
u
n u ) ( d, sin
; ' c ' b ' a c b a
' cc ' bb ' aa '
u
.
u
' u
2 2 2 2
+ +
=
= α +
+ +
+
+ +
=
=
5) Khoảng cách: Vẫn xét hai đường thẳng d, d’ và mp(α) cĩ phương trình như trên Ta cĩ:
• Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d là ( ) [ ]
.u
u ,MM d ,M
• Khoảng cách cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ là ( ) [ ]
'u ,u
MM.'u ,u 'dd,d
' 0 0
=
II>CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
Vtcp
hayB quaA
d
d
)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên α : d / = α ∩ β
Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα
)()
(
)(
α β
β α
β
αβ
β
β
n a n
b n
a a d
d quaM
)()( /β
α
d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d 1 ),(d 2 )
] d a , d a a vtcp
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d 1 và d 2 :