BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN (Tiết 1) pps

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Tiết 1I.Mục tiêu 1:Kiến thức Cần làm cho học sinh nắm được + Các khái niệm cơ bản như bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, nghiệm

§ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN (Tiết 1)

I.Mục tiêu

1:Kiến thức

Cần làm cho học sinh nắm được

+ Các khái niệm cơ bản như bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, nghiệm và tập nghiệm của bất phương trình, điều kiện của bất phương trình, giải bất phương trình + Bất phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số

+ Một số phương pháp biến đổi bất phương trình thường dùng

2:Kĩ năng

Sau khi học xong bài này học sinh

+ Giải các bất phương trình đơn giản

+ Xác định tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

+ Liên hệ giữa nghiệm của bất phương trình và nghiệm của hệ bất phương trình

3: Thái độ

+ Tự giác,tích cực trong học tập

+ Biết phân biệt các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể

+ Tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống

II: Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1: Chuẩn bị của học sinh

+ Cần ôn lại một số kiến thức đã học như mệnh đề, phương trình,hệ phương trình, điều kiện của phương trình,

+ Cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số

+ Ôn tập lại bài 1

+ Đọc bài trước ở nhà

2:Chuẩn bị của giáo viên

+ Sách giáo khoa, giáo án, các câu hỏi gợi mở

+ Dụng cụ giảng dạy phấn, bảng

III: Phân phối thời lượng

Tiết 1:Từ đầu đến hết mục II

Tiết 2:Phần còn lại và bài tập

IV.Tiến trình dạy học

1:Ổn định lớp

2:Kiểm tra bài cũ

Cho f x( ) = x− 3

a; Hãy tìm tập xác định của hàm số

b; Với giá trị nào của x thì f x( ) > 0

Câu trả lời mong đợi của học sinh

a; Tập tập xác định của hàm số là

b; Ta có

( ) 0

3 0

3 0

3

f x

x

x

x

>

− >

⇔ − >

⇔ >

Vậy với x>3 thì f(x)>0

3: Tiến trình bài mới

3.1: Đặt vấn đề

Ở cấp 2 chúng ta đã được làm quen với các bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn và hai ẩn tuy nhiên nó không được định nghĩa một cách tường minh,cụ thể.Vậy để hiểu rõ hơn

về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn và các tính chất của nó, chúng ta cùng nhau

đi nghiên cứu bài hôm nay “Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn”

3.2: Tiến trình bài mới

I: Khái niệm bất phương trình một ẩn

Hoạt động 1: Bất phương trình một ẩn

Hoạt động của giáo

viên

Hoạt động của

HS

Ghi bảng

+ Em hãy cho biết VT và

VP của bất đẳng thức

trên x− > 3 0

+Từ bài kiểm tra bài cũ

em thấy bất đẳng thức là

mệnh đề đúng khi nào?

Sai khi nào?

Vì thế x− > 3 0là hàm

mệnh đề và được gọi là

một bất phương trình

một ẩn

+ Em hãy định nghĩa bất

phương trình một ẩn?

+ GV nêu định nghĩa?

HS suy nghĩ trả lời +VT là:

3

x−

+ VP là 0 Mệnh đề đúng khi

3

x>

Mệnh đề sai khi

3

x>

HS suy nghĩ trả lời Bất phương trình một ẩn là một hàm mệnh đề chứa biến

Học sinh theo dõi

và ghi chép

+Định nghĩa:

- Bất phương trình một ẩn x là mệnh đề

chứa biến có dạng f x f x( )( )<>g x g x f x( ) ( ( )( ); ( )f x ≥≤g x g x( )( ); (1)

- f x( )và g x( )lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1)

- x0∈ ¡ sao cho (1) là mệnh đề đúng được

gọi là một nghiệm của bất phương trình

- TậpA= {x0∈ ¡ : ( )f x0 < g x( ) 0 là mệnh đề

đúng } là tập nghiệm của bất phương trình

+ Một em lấy ví dụ về

bất phươg trình ?

+GV nêu ví dụ2: Cho bất

phương trình 2x≤3.

a: Trong các số -2;

1

2 ; ;

2 π số nào là nghiệm,

số nào không là nghiệm

của bất phương trình trên

b: Giải bất phương trình

đó và biểu diễn tập

nghiệm của nó trên trục

số

GV hướng dẫn hs làm

bài

GV nhắc lại:

Số thực x0 sao cho

( ) ( ) ;( ( ) ( );

( ) ( ); ( ) ( )

f x g x f x g x

f x g x f x g x

là mệnh đề đúng được

gọi là một nghiệm của

bất phương trình (1)

Ví dụ 1: 2x+3>5

HS suy nghĩ và trả lời:

a: Số -2 là nghiệm

vì 2.(-2) = -4

4≤3

Các số còn lại không là nghiệm

b: Giải bất phương trình cho tập

nghiệm: 3

2

x≤

- Khi A=∅ thì bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: 2x+3>5 là bất phương trình

VT là 2x+3

VP là 5 +Ví dụ 2 Cho bất phương trình 2x≤3.

a: Trong các số -2; 2 ; ; 10 1

2 π số nào là nghiệm, không là nghiệm của bất phương trình trên

b:Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số

Lời giải:

a; Ta có:

Cách 1 theo định nghĩa

Số -2 là nghiệm vì 2.(-2) = -4

4≤3

Số 2 1

2 không phải là ngiệm vì

1 5 2

2= 2 và 2. 5 5 3

2 = >

Số π không phải là ngiệm vì 2.π=3.3,14>3 Cách 2: Giải nghiệm của bất phương trình b; Tập nghiệm của bất phương trình là

3 2

x≤

0 32

Hoạt động 2:Điều kiện của bất phương trình

+ Cho phương trình

( ) ( )

f x =g x (1) thì điều

kiện của phương trình là

gì?

+ Tương tự đối với

phương trình thì điều

kiện của bất phương

trình là gì?

+ GV nêu định nghĩa?

+Từ ví dụ kiểm tra bài

cũ em hãy cho biết?

- Điều kiện của biểu

thức trong căn bậc chẵn

là gì?

- Điều kiện của biểu

thức chứa biến ở mẫu số

là gì?

+GV nêu chú ý

+Ví dụ: Tìm điều kiện

của bất phương trình

sau?

2

3− +x x− ≤1 x

+ Ví dụ2:Hãy tìm điều

kiện của các bất phương

trình sau?

HS trả lời.Là điều kiện của ẩn x để f(x) và g(x) có nghĩa

+Là điều kiện của

ẩn x để f(x) và g(x)

có nghĩa

+ Biểu thức trong căn bậc chẵn lớn hơn và bằng 0 + Mẫu số khác 0

Hs suy nghĩ tìm và điền điều kiện

1 0

x x

− ≥



 + ≥



Hs suy nghĩ tìm và điền điều kiện

2 Điều kiện của bất phương trình

Điều kiện của bất phương trình là điều kiện của ẩn số x để f x v g x( ) à ( )có nghĩa được gọi là điều kiện xác định ( hay gọi tắt là điều kiện )

Chú ý:

*

2n f x( ) (n∈ ¥ ) Điều kiện là f x( ) 0 ≥ ( )

( )

f x

g x Điều kiện là g x( ) 0 ≠

Ví dụ1: Điều kiện của bất phương trình

2

3− +x x− ≤1 x

là

3− ≥x 0 àv x+ ≥1 0

Ví dụ2:Điều kiện xác định của các bpt sau a: 1 x 1

x < +

a: 1 x 1

x < +

0 :

1

x a x

≠



 > −

 + > ∀

b: x> x2+1

Bài làm

2

0 :

1

x a x

≠



 > −

 + > ∀

Hoạt động 3 Bất phương trình chứa tham số

+Em có nhận xét gì về

sự khác nhau giữa hai

bất phương trình sau?

( )

2 3 4 1(2)

+ > −

+ > +

+GV nêu định nghĩa

+GV nêu ví dụ

HS suy nghĩ trả lời

- Bất phương trình (1) có thêm số m

Học sinh theo dõi và ghi chép

3 Bất phương trình chứa tham số + Định nghĩa:

Bất phương trình chứa tham số là bất phương trình ngoài ẩn số còn có thêm một hay nhiều chữ đại diện cho một số nào đó.Ta gọi các chữ số đó là tham số

+ Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình có nghiệm,vô nghiệm

Ví dụ : Cho 2 bất phương trình:

2(m-1)x +3 < 0

x2- mx+1 ≥ 0 x: là ẩn số m: là tham số

Hoạt động 4: Hệ bất phương trình một ẩn

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

+Giải 2 bất phuiwng

trình sau x− <4 0

x− ≥3 0

Với giá trị x bằng bao

nhiêu thỏa mãn cả hai

bất phương trình trên?

Việc ta đi tìm được

được giá trị của x như

vậy là việc giải hệ bất

phương trình gồm 2

bất phương trình

+Từ đó em hãy nêu

định nghĩa về hệ bất

phương trình một ẩnvà

nghiệm của nó?

+ Giáo viên đưa ra

định nghĩa về hệ bất

phương trình ?

+Ví dụ 1 :Giải hệ bất

phương trình:

+HS trả lời

4 3

x x

<



 ≥



HS trả lời +Hệ bất phương trình (ẩn x) gồm hai hay nhiều bất phương trình

ẩn x

1 Định nghĩa

+ Hệ bất phương trình (ẩn x) gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng

+ Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

+ Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó

+Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm

2: Ví dụ

Ví dụ : Giải hệ bất phương trình:





≥

+

≥

−

0

1

0

3

x

x

+ Giải hệ bất phương

trình ta làm gì?

+ Nghiệm của hệ bất

phương trình là gì?

GV chú ý nếu khi lấy

giao của hai tập

nghiệm trên trục số

chính là khoảng trống

của trục số

+Giải từng bất phương trình trong hệ

+Học sinh lên bảng trình bày lời giải

3 0 (1)

1 0 (2)

x x

− ≥



 + ≥

Giải bất phương trình (1)

3 − ≥ ⇔ ≤x 0 x 3

Giải bất phương trình (2)

x+ ≥ ⇔ ≥ −x

Nghiệm cuả hệ bất phương trình là giao của các bất phương trình

Biểu diễn nghiệm trên trục số

Chú ý trong thực hành người ta thường làm như sau

x

VI:Tóm tắt bài học

- Các khái niệm định nghĩa về bất phương trình hệ bất phương trình,điều kiện xác định của các biểu thức

- Cách biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số

V: Bài tập về nhà

- Ôn lại bài hôm nay và đọc bài hôm sau

- Làm bài tập 1,2,3

III: Một số phép biến đổi bất phương trình

1: Bất phương trình tương đương

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng

+ Thế nào là hai phương

trình tương đương?

+ Tương tự phương

trình em nào cho thầy

biết thế nào là hai hệ

bất phương trình tương

đương ?

+ GV nêu định nghĩa

hai hệ bất phương trình

tương đương

+ Hệ bất phương trình

x

x

− ≥



 + ≥



trên tương đương với hệ

nào sau đây?

(a) 1 0

x

x

− ≥



 + ≤



x

x

− ≤



 + ≥



(c) 1 0

x

x

− ≤



 + ≤



(d) x ≤1

GV gợi ý tìm tập

nghiệm của từng bất

phương trình

+ Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

+ Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

( )

a

( )

b

( )

c

 + ≤  < −

( )d x ≤ ⇔ − ≤ ≤1 1 x 1

Trả lời chọn (d)

1 Bất phương trình tương đương

- Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm

- Kí hiệu “⇔”để chỉ sự tương đương của hai bất phương đó

Ví dụ : Hai hệ bất phương trình:







≥ +

≥

− 0 1

0 3

x

x

và







−

≥

≥ 1

3

x x

Là hai hệ bất phương trình tương đương và viết :







≥ +

≥

− 0 1

0 3

x

x

⇔







−

≥

≥ 1

3

x x

2 Phép biến đổi tương đương.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng

- GV nêu định nghĩa về

phép biến đổi tương

đương bất phương trình

Học sinh theo dõi và ghi chép

2 Phép biến đổi tương đương

Khi giải một bất phương trình (hệ bất phương trình )

Phép biến đổi tương đương là việc ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình ) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm

Ví dụ

x

 + ≥  ≥ −

3 Cộng (trừ)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động

của HS Ghi bảng

+ GV nêu ra tính chất Học sinh

theo dõi và ghi chép

3 Cộng (trừ) +Tính chất sgk(83) + P x( )<Q x( )⇔P x( )± f x( )<Q x( )± f x( )

+ Nhận xét: Nếu cộng hai vế của bất phương trình P x( )<Q x( )+ f x( )với

biểuthức −f x( ) Ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

P x <Q x + f x ⇔P x − f x <Q x

+ Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một phương

Ví dụ 1

Các bất phương trình sau có

tương không?

(a) x>1 và x+ x > +1 x ;

(b) x> −1 và x+ x > − +1 x;

(c) x>0 và x+ x > x;

(d) x> −1và x+ ≥1 0

+ Ví dụ2 :Giải bất phương

trình:

2

(x+ 2)(2x− − ≤ 1) 2 x + − (x 1)(x+ 3)

GV gợi ý

Trả lời .Chọn (a)

HS nên bảng trình bày

trình tương đương

Ví dụ 1:

Các bất phương trình sau có tương không? (a) x>1 và x+ x > +1 x;

(b) x> −1 và x+ x > − +1 x; (c) x>0 và x+ x > x;

(d) x> −1và x+ ≥1 0 Trả lời Chọn (a)

+Ví dụ :Giải bất phương trình:

2

( 2)(2 1) 2 ( 1)( 3)

1 0 1

x x

⇔ − ≤

⇔ ≤

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

( −∞ ,1)

4 Nhân (chia)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Ghi bảng

+ GV nêu ra tính chất

Ví dụ 1

Các bất phương trình

sau có tương đương

không ?

(a) x>1và x x > x ;

(b) x> −1 và

x x > − x;

(c) x>0 và x x >0;

(d) x> −1 và x2 > −x

Ví dụ 2 :Giải bất

phương trình

1

+ + > +

+Nhận xét mẫu thức

của bài toán

+Nhân 2 vế bất phương

trình với mẫu thức

chung: (x2+2)(x2+1)

+Chuyển vế và rút gọn

+Kết luận tập nghiệm

Học sinh theo dõi

và ghi chép

Trả lời Chọn (a)

4 Nhân (chia) + Tính chất sgk (84) +P x( )<Q x( )⇔P x f x( ) ( )<Q x f x( ) ( )nếu ( ) 0,

f x > ∀x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x <Q x ⇔P x f x >Q x f x nếu

( ) 0,

f x < ∀x

Ví dụ 1: Các bất phương trình sau có tương đương không ?

(a) x>1và x x> x; (b) x> −1 và x x > − x; (c) x>0 và x x >0; (d) x> −1 và x2 > −x Trả lời Chọn (a)

Ví dụ 2 : Giải bất phương trình:

1

1 0 1

x x

+ + > +

⇔ − + >

⇔ <

5 Bình phương

Hoạt động của giáo Hoạt động của HS Ghi bảng

Ví dụ 1:

+ Các bất đẳng thức

nào tương đương với

nhau? tại sao?

(a) x>1 và x2 >1;

(b) x> −1và x2 >1;

(c) x>0 và x >0;

(d)x+ > −1 1và

2 1 2.

x + >

+ Ví dụ 2

Giải bất phương trình

x + + >x x − x+

+ GV gợi ý làm bài

- Điều kiện của bất

phương trình là gì?

- Làm thế nào để mất

căn bậc hai?

HS theo dõi và ghi chép

+ Điều kiện

2 2

2 0

2 3 0

x x

x

 + + >



− + >

+ Bình phương 2 vế của bất phương trình

5 Bình phương + Tính chất sgk (84)

Nếu hai vế của bất phương trình không âm

và bình phương hai vế bất phương trình ấy

mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì

ta được một bất phương trình tương đương

( ) 0, ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

P x Q x

P x Q x

> >

 <



Ví dụ 1:

+ Các bất đẳng thức nào tương đương với nhau? tại sao?

(a) x>1 và x2>1;

(b) x> −1và x2 >1; (c) x>0 và x >0; (d)x+ > −1 1vàx2+ >1 2.

Trả lời (a);(c)

Ví dụ 2:Giải bất phương trình:

x + + >x x − x+

Điều kiện

2 2

2 0

2 3 0

x x

x

 + + >



− + >

Bình phương 2 vế của bất phương trình

1 4

x x

⇔ + + > − +

⇔ >

⇔ >

Vậy nghiệm của bất phương trình là 1

4

x>

+ GV nêu chú ý

Chú ý:

+ Chỉ bình phương hai vế của bất phương trình khi hai vế của bất phương trình không âm

+ Tổng quát hóa cách giải bất phương trình dạng : f (x) > g (x)







≥

>

⇒









≥

≥

>

⇔

0 ) (

) ( ) ( 0

) (

0 ) (

) ( ) (

x g

x g x f x

g

x f

x g x f

6 Chú ý

Hoạt động của giáo

+ GV nêu chú ý

+ GV nêu ví dụ và

hướng dẫn

Ví dụ1: Giải bất

phương trình

6

3 3 4 4 4

3

2

5x+ −x > x− − −x

+ Điều kiện của bất

HS theo dõi và ghi chép

6 Chú ý Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi

+ Để tìm nghiệm của một bất phương trình

ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và nó là nghiệm của bất phương trình mới

Ví dụ 1: Giải bất phương trình

6

3 3 4 4 4

3 2

5x+ −x > x − − −x

Điều kiện 3 − ≥ ⇔ ≤x 0 x 3

phương trình?

+ Chuyển vế và rút

gọn?

+ Kết hợp điều kiện =>

tập nghiệm của bất

phương trình

Ví dụ 2: Giải bất

phương trình:1 ≥ 1

x

Tương tự ví dụ 1

Ta có thể nhân cả 2 vế

của bất phương trình

với x đươc không?

0

0

0

2 3

x x

+ − > − − −

⇔ > −

Vậy nghiệm của bất phương trình là

2 3 3

x x

 > −





 ≤



+ Để giải một bất phương trình, cũng như việc giải phương trình ta thực hiện theo các bước sau :

B1 Tìm điều kiện của bất phương trình B2 Biến đổi các bất phương trình và tìm nghiệm

B3 Kết hợp với điều kiện để tìm nghiệm của bất phương trình ban đầu

B4 Kết luận + Khi thực hiện phép nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x)

+ Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị

âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:1 ≥ 1

x