Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau Loại 2: α đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng: * Vectơ pháp tuyến: n=MN MPr uuur uuur∧..
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1 Tọa độ của điểm: M x y z( ; ; ) ⇔OMuuuur= +xi y j zkr r+ r O(0; 0; 0)
' { '; '; '}
u ur ur= ⇔ x=x y= y z=z u ur ur± =' (x x y y z z± '; ± '; ± ') ( ; ; )
5. Tìm góc giữa hai vecto u vr r;
a) ur=(1;1;1 ;) vr=(2;1; 1− ) b) ur= +3ri 4 ,r urj v= − +2rj 3kr
6. Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
7. Cho tam giác ABC có A(1 ; -1 ; 1) , B(0 ; 1 ; 2), C(1 ; 0 ; 1)
a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5) Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
9. Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1).Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Trang 210. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức: A(2; 4; -1),
OB i 4j k= + −
uuur r r r
, C(2; 4; 3), OD 2i 2j kuuur = + −r r r Chứng minh :AB ⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB
11. Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nĩ.
b)Tính cos các gĩc của tam giác ABC
c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu cĩ đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3) b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và cĩ tâm C(3; -3; 1) c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1) d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi A’ là hình chiếu
của A lên Oxy Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và cĩ tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5 : Chứng tỏ rằng phương trình x2 +y2 + +z2 4mx−2my+4z m+ 2+4m=0 luơn là phương trình của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6 : Chứng tỏ rằng phương trình x2+y2+ +z2 2 os c α x−2sin α y+4z− −4 4sin2α =0 luơn là phương trình của một mặt cầu Tìm α để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 3: TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
Trang 3a)ar=(3;0; 6 ;− ) br=(2; 4;0− ) b) ar= −(1; 5; 2 ;) br=(4;3; 5− )c)ur=(1;1;1 ;) vr=(2;1; 1− ) d) ur= +3ri 4 ,r urj v= − +2rj 3kr
2 Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
a) Tính uuur uuurAB AC∧ ; BA BCuuur uuur∧ ;
b) Tính uuur uuur uuuurAD AB AC( ∧ ); uuur uuur uuurBD BA BC( ∧ )
3 Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
a) Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng
b) Tìm gĩc giữa hai vecto uuur uuurAB CD;
Tínhuuur uuur uuuurAD AB AC( ∧ ); BD BA BCuuur uuur uuur( ∧ )
4 Cho M(1 ; -2 ; 3) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz Tính :
;
HI HK∧ IK KH∧
uuur uuur uur uuur
5 Cho M(1 ; -2 ; 3) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
Tính :HI HKuuur uuur∧ ; uur uuurIK KH∧
6 Trong không gian Oxyz cho B(1; 1; 1), C(1/3; 1/3; 1/3).Chứng minh O, B, C thẳng hàng.
Bài 4 : MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I Phương trình mặt phẳng:
1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến nr=( ; ; )A B C ( là vectơ vuơng gĩc với mặt phẳng)
B2: Tìm toạ độ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc mặt phẳng
B3: Thế vàp pt: A(x –x 0 ) + B(y-y 0 ) +C(z-z 0 ) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
2 Chú ý:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
a VTPT của (P) nr =( ; ; )A B C
b Nếu điểm M(x 1 ; y 1 ; z 1 )∈(P) thì Ax 1 +By 1 +Cz 1 +D=0
Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ khơng cùng phương u ur ur; '
cĩ giá song
song hoặc nằm trong mp Khi đĩ VTPT của mp là: n u ur r ur= ∧ '
3 Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp song song với các mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0, song song với (Oyz): Ax + D = 0 , song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:
song song với Ox: By + Cz + D = 0 song song với Oy: Ax + Cz + D = 0 song song với Oz: Ax + By + D = 0 chứa trục Ox: By + Cz = 0 chứa trục Oy: Ax + Cz = 0 chứa trục Oz: Ax + By = 0 d) Mp chứa gốc tọa độO(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
e) Đặc biệt mp(P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) cĩ phương trình dạng: x y z 1
a b+ + =c
Bài tập:
1 Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ nr(1; 1;5)− làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ cĩ giá song song mp đĩ là ar(1; 2; 1), (2; 1;3)− br −
c)Viết phương trình mp qua C và vuơng gĩc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
2 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
Trang 4a) (α) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1) b) (α) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1),
P(− 1;2;3).
3 Trong không gian cho A(− 1;2;1), OBuuur= 3r rj k+ , OC iuuur r= + 4kr.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
4 Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
5 Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
6 Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
7 Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
8 Cho điểm M(-2; 3; 1) Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục toạ
11.( ĐH khối B năm 07 -08) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0 1)
a) Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C ( đs: x + 2y – 4z + 6 = 0)
b) Tìm M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC ( Đáp án: M(2; 3; -7)
II Vị trí tương đối giữa hai mp:
Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0
Khi đó (P) và (P’) lần lượt có các vecto pháp tuyến là nr=( ; ; ); 'A B C nur=(A B C'; '; ')
1 (P) // (P’) ' ( ; ; ) ( '; '; ')
''
1 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) qua A(0; − 2; 1) và song song với mặt phẳng (β): x−3z+1=0.
b) (α) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (β): x−3y + 2z - 1=0.
c) (α) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (β): 2x + y - 2z+4=0
d) (α) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (β): 4x + y - z+1=0.
2 Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;− 1;4) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x−y+3z+1=0.
b) (α) qua hai điểm A(−1;0;3 ,) (B 5; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x y z+ − =0
c) (α) qua hai điểm A(1;0;1 ,) (B 1;2; 4) và vuông góc với mặt phẳng (β):x z− + =3 0
d) (α) qua hai điểm A(2; 1; 2 ,− ) (B 1; 2;3− ) và vuông góc với mặt phẳng (β):3x+2y− =6 0
3 Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x – y + 2z + 1 = 0
4 (TN 06 – 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0 Viết mp(Q) qua M
và song song với (P)
4
Trang 55 (CĐ 08 – 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P1 ) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P 2 ) : 3x + 2y − z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 )
6 Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với nhau
Loại 2: (α ) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng:
* Vectơ pháp tuyến: n=MN MPr uuur uuur∧
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P) Thay các kết quả vào (1).
Loại 3: (α ) đi qua A(x A ;y A ;z A ) và song song với mặt phẳng ( β ):Ax+By+Cz+D=0
* ( α ) có dạng Ax+By+Cz+m=0, ( α )
uur uur β
n =n .
* Thay tọa độ điểm A vào ( α ) để tìm m, m=- Ax +By +Cz( ( A A A)) .
Loại 4: (α ) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng ( β ):Ax+By+Cz+D=0,
(MN không vuông góc với ( β ):
* ( α ) có n =MN nuurα uuur uur∧ β .
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N) Thay các kết quả vào (1).
III Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x0 ; y 0 ; z 0 ) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
5.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0)
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD
6.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD 7.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3)
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh ABCD là một tứ diện
c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
Trang 6d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
8 ( TN năm 07 – 08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) có phương
trình: 2x – 2y + z – 1 = 0.Tính khoảng cách từ A đến mp(P) Viết phương trình của mp(Q) sao cho (Q)// (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
9 (TN năm 08 – 09) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x-1)2 + (y -2) 2 + (z -2) 2 = 36 và mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0 Xác định tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến (P).
10.Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
11 (ĐH – khối B – 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1) và
D(0; 3; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các đỉnh A(3; 0;
0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’ Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14.Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước
Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu
tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 – 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y – 2z +6 = 0.Viết phương trình mặt cầu
tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp( α ).
18.(Khối B – năm 2005)Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứngABC.A’B’C’ với A(0; -3; 0), B(4;
0; 0), C(0; 3; 0), B’(4; 0; 4) Tìm toạ độ điểm A’, C’ Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCC’B’)
AD2: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R a) Nếu d I P ( , ( ) ) > Rthì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm chung
b) Nếu d I P ( , ( ) ) =R thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm chung
Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc c) Nếu d I P ( , ( ) ) <R thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1 đường tròn (C) có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính r = R 2 − d 2 (I P,( ) )
6
Trang 719 Cho mặt cầu (S): (x− 3) (2+ +y 2) (2+ −z 1)2= 100 và mặt phẳng ( )α 2x – 2y – z + 9 = 0 Chứng tỏ mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
20 Cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2−6x+4y−2z+5=0 và mặt phẳng ( )α x + 2y + 2z + 11 = 0 Chứng tỏ mặt phẳng ( )α không cắt mặt cầu (S)
21 Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−4x+6y+6z+17=0 và mặt phẳng ( )α x – 2y +2z + 1 = 0 Chứng tỏ mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) Hãy tính bán kính của đường tròn (C).
22 Cho tứ diện ABCD có A(3; 6; -2), B(6; 0; 1), C(-1; 2; 0), D(0; 4; 1)
a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và tính bán kính mc (S)
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
23 (ĐH – Khối B - 07) Cho mặt cầu (S): x2 + y 2 + z 2 – 2x +4y +2z -3 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo 1 đường tròn có bán kính bằng 3
24.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có phương trình: 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S):(x−1) (2+ +y 1) (2+ −z 1)2 =9 Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu
Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
AD3: Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d I P ( , ( ) ) =R
25 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương trình
x 2 + y 2 +z 2 - 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp (P)
26.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D.
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mp(ABD)
Đs: a) x 2 + y 2 + z 2 –3x – 6y – 2z + 7 =0 b) 21 1 0
2
Bài 5 : ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.
Viết PTTS, PTCT của đường thẳng
B1: Tìm toạ độ vectơ chỉ phương (a; b; c) ( là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó B2: Tìm toạ độ điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thuộc đường thẳng
B3: PTTS:
0 0 0
Muốn tìm một điểm thuộc d thì ta cho x = x 0 (thường cho x = 0), giải hệ phương trình tìm y, z
b) Đường thẳng d qua 2 điểm A, B thì d có VTCP là uuurAB
c) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng(P) thì d có VTCP là VTPT của (P)
d) đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ thì d và ∆ có cùng VTCP
e) hai đường thẳng vuông góc thì hai vectơ chỉ phương của chúng vuông góc
BÀI TẬP:
Trang 81 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) đi qua A(1;2;3) và B(3; 5; 7) b) (d) qua C(-2; 0; 2) và D(1; -2; 3)
2 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu cĩ) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua M(-1; 3; 1) và vuơng gĩc với mặt phẳng(P): 2x – y + 3z + 1 = 0 b) (d) qua N(0; 2; 3 ) và vuơng gĩc với mặt phẳng(Q): x + y - z = 0
3 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu cĩ) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) (d) qua K(-2; -1; 3) và song song đường thẳng
413
1 5
x t y
5 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2; -1; 3) và vuơng
6 (TN năm 2007) Trong khơng gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y – 2z – 4 = 0.Viết phương trình
tham số của đường thẳng d qua M và vuơng gĩc với (P) Tìm toạ độ giao điểm của d và mp(P)
7 (TN năm 2008)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mp(P) : 2x – 2y + z – 1
= 0 Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với mp(P)
8 (TN năm 2009) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +2y + 2z + 18 = 0 Viết phương trình
tham số của d đi qua T và vuơng gĩc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
9 (ĐH- Khối A- 2005)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x 1 y 3 z 3
− = + = −
−và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0 Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mp (P) bằng 2.
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho ∆ qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và cĩ vectơ chỉ phương ur=(a b c; ; ) ∆’ qua M’(x’ 0 ; y’ 0 ; z’ 0 ) và cĩ vectơ chỉ phương uur'=(a b c'; '; ')
Trang 910. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng đó
a) Chứng minh d và d’ chéo nhau
b) Viết phương trình mặt phẳng(P) chứa d và song song d’ Viết phương trình mặt phẳng (Q)chứa d’ và song song d Từ đó suy ra vị trí tương đối giữa (P) và (Q)
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:
0 0 0
0 0 0
123
TH1: (*) vô nghiệm thì d và (P) không có giao điểm hay d và (P) song song
TH2: (*) có 1 nghiệm t duy nhất thì d và (P0 có 1 giao điểm hay d và (P) cắt nhau tại 1 điểm TH3: (*) có vô số nghiệm thì d và (P) có vô số giao điểm hay d nằm trong mặt phẳng (P)
Chú ý:
1 Trong trường hợp d // (P) hoặc d⊂( )P thì VTCP của d và VTPT của (P) vuông góc
2 Khi d // (P) thì khoảng cách giữa d và (P) chính là khoảng cách từ một điểm trên d đến mặt phẳng (P)
13. Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P):
Trang 102 Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTPT của (P) nr =( ; ; )A B C
A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax + By +Cz + D = 0
3 Mặt phẳng (P) qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng: x y z 1
2 VTPT của mặt phẳng ( )α là nuur uurα =nβ =(A B C; ; )
a) qua A( 1; 2; -1) và song song mặt phẳng ( )β : 2x + 3y – 4z – 2 = 0
b) qua B(- 1; -2; 0) và song song mặt phẳng ( )β : x + y – z + 4 = 0
1 2 Cho 4 điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; -2), C(2; 1; 0), D(0; -1; 2) Viết phương trình mặt phẳng đi qua
D và song song mặt phẳng (ABC)
Phương pháp giải
* Tìm tọa độ các vectơ: MN MPuuur uuur;
* Vectơ pháp tuyến: n=MN MPr uuur uuur∧
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P)
* Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT nr
2.1 Viết phương trình mặt phẳng
a) qua 3 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1)
10
Trang 11b) qua 3 điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
2.2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có B(-1; 0; 3), D(1; 2; 1), A’(2; -1; 1), C’(-2; 5; -3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (A’BD) và (CB’D’), chứng minh 2 mặt phẳng này song song.b) Viết phương trình 2 mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D)
2.3 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
và suy ra 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ diện
Phương pháp giải
r
2 Vì ( )α ⊥ ∆ nên ( )α có VTPT n ur uur= ∆
3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
3.1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(3; -2; 1) và vuông góc với đường thẳng ∆
1 23
a) Tìm tọa độ giao điểm A của d và ( )α
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d
3.4 Viết phương trình mặt phẳng đi qua P(-1; 2; 1) và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt
phẳng (P): 3x + 2y – 2z + 8 = 0 và (Q): 2x – y + 3z + 7 = 0
3.5 Cho mặt phẳng (P): 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d:
12 4
9 31
a) Tìm giao điểm M của (P) và d
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa M và vuông góc với đường thẳng d
( )β
Phương pháp giải
1 Tìm VTPT của ( )β là nuurβ
3 VTPT của mặt phẳng ( )α là: nuur uur uurα =nβ ∧u∆
5 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đi ểm và có 1 VTPT
d − = + = −
và vuông góc với mặtphẳng (P): x – y + 3z + 2 = 0
4.2 Viết phương trình mp đi qua A(1; 2; 10) , B(2; 1; 3) và vuông góc với (P): x – 3y + 2z - 6 = 0
Trang 124.3 Viết phương trình mp đi qua C(2; -1; 4) , D(3; 2; -1 ) và vuông góc với (Q): x + y + 2z + 1 = 0 4.4 Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của 2 mp (P): 2x – y + 3z + 1 = 0, (Q): x + y – z + 5 = 0 và
2 VTPT của mặt phẳng ( )α là: nuur uur uurα =u∆∧u∆'
4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
11
a. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song d2; (Q) chứa d2 và song song d1
43722
(Q) song song với nhau và lần lượt chứa d, d’
5.5 Cho 4 điểm A(-1; 2; 0); B(-3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; -2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AD
và song song với BC
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng ∆ và 1 điểm M
Phương pháp giải
2 VTPT của mặt phẳng ( )α là: nuur uur uuuurα =u∆∧MN
3 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Trang 133 Lấy một điểm M trên ∆
4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
2 VTPT của mặt phẳng ( )α là: nuur uur uuuurα =u∆∧MN
3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
a) Chứng minh d1, d2 song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1, d2
c) Mặt phẳng (Oxz) cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B Tính diện tích tam giác OAB
a) Chứng minh d1, d2 song song
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1, d2
Phương pháp giải
1 Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)
3.Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm đượcVTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( D chưa biết)
