Phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai pptx

Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Tùy theo phương trình, ta có những phương pháp: + Dùng định nghĩa, hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối rồi giải các p

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A– TÓM TẮT GIÁO KHOA

I ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

1 Phương trình bậc nhất

Dạng: ax b 0+ = (1)

Cách giải và biện luận

a ≠ 0 (1) có nghiệm duy nhất x b

a

= −

b ≠ 0 (1) vô nghiệm

a = 0

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

2 Phương trình bậc hai

II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

1 Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Tùy theo phương trình, ta có những phương pháp:

+ Dùng định nghĩa, hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối rồi giải các phương trình trên từng miền đã chỉ ra Nghiệm của phương trình đã cho là hợp các nghiệm nhận được

+ Bình phương hai vếu với điều kiện hai vế không âm để khủ dấu giá trị tuyệt đối

2 Phương trình chứa ẩn dưới căn

Phương pháp chung: Bình phương hai vế của phương trình để dần mất căn thức Bình phương hai vế của phương trình là phép biến đổi tương đương nếu hai vế của phương trình đều không âm

Trương hợp riêng: Dạng A B=

Cách giải 1:

Đặt điều kiện A ≥ 0

Bình phương hai vế: (Phương trình hệ quả) Giải và tìm nghiệm

Thử lại các nghiệm vừa tìm được

3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Điều kiện xác định của phương trình: Mẫu thức khác 0

Quy đồng mẫu thức, khử mẫu và giải phương trình

Đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm

BÀI TẬP

B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 BÀI TẬP TỰ LUẬN

I PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: 3mx + m2(x – 1) + 1 = (m2 + 3)x (1)

−

=

1(m 1)

3 + Tập nghiệm: S = { }1

(m 1)

+ Trường hợp 2: m – 1 = 0 ⇔ m = 1

(1) ⇔ 0x = 0 (nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ) Tập nghiệm: S =3

Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 2 a

+ ≠ ⇔ + ≠ (luôn luôn đúng với mọi a)

Suy ra: Với a ≠ 0, (1) có nghiệm duy nhất x a 2

a

+

= Tập nghiệm { }a 2

Sa

+

=

+ Trường hợp 2: a = 0

(1) ⇔ 0x = 2 ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm Tập nghiệm S =∅

Bài 3: Giải phương trình: 2x 1− = −x 2 (1)

Giải

Cách 1: Biến đổi tương đương

Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm S =∅

Cách 2: Bình phương hai vế Giải phương trình Thử nghiệm

2x 1− = −x 2 ⇒ 4x2 −4x 1 x+ = 2−4x 4+ ⇔x2 = ⇔1 x= ±1

Thay x =± 1 vào (1):

Cả hai 2 1 1 2 và− = − − − = − −2 1 1 2 đều là đẳng thức sai

Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm S =∅

Bài 4: Giải phương trình: 3x 4+ = −x 2

= −

Cách 2: Bình phương hai vế Giải phương trình và thử nghiệm

II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Giải phương trình:

Cũng có thể bình phương hai vế rồi đưa vế phương trình tích

Bài 3: Giải phương trình: x x− 2 − =1 2x 3 x− − 2 (1)

Bài 4: Giải phương trình: 10x 6 9 x+ = − (1)

Bài 5: Cho phương trình: x2+ + − =x m 1 0 (1)

a Xác định m để phương trình có hai nghiệm

b Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia

c Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

1 2 1 2

x x +3 x +x + =5 0

Giải

a Phương trình có hai nghiệm

Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0 ⇔ m 5

≤ phương trình (1) có hai nghiệm x , x1 2 Ta có: x1+x2 = −1

Giả sử x1=2x2 Khi đó: 2x2 x2 1 x2 1

Thay vào (*) ta được: m 1 3 1 5 0− + − + =( ) ⇔ m 1 0+ = ⇔ m= −1

Giá trị m = –1 thỏa điều kiện m 5

4

≤ nên nhận đựơc

 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

I PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Bài 1: Giải và biện luận phương trình: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2)

Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 2m 1 m 2

x 1− = −

−

Bài 3: Giải phương trình: x 2− = −5 x

Bài 4: Giải phương trình 2x 3− = 4 3x+

Bài 5: Giải phương trình: x− x2+169 17=

Bài 6: Giải phương trình: x 2 1 1 2x2 2x 4

II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Giải phương trình: x 1 4x 3

−

Bài 2: Giải phương trình: x2−3x 2+ = −x 2

Bài 3: Giải phương trình: x2− =1 x 3+

Bài 4: Giải phương trình: 3x2−9x 7 2x 3+ = −

Bài 5: Tìm m để phương trình (m 1 x+ ) 2 +3 m 2 x m 0( − ) + = có một nghiệm bằng –2 Tính nghiệm còn lại

Hướng dẫn và đáp số

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Bài 1: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2) (1)

Trường hợp 1: m2− ≠ ⇔1 0 m 1 và m≠ ≠ −1

(1) có nghiệm duy nhất m m 2( )

+ Khi m = 1: Phương trình (1) ⇔ 0x = 6 (vô nghiệm)

+ Khi m = –1: Phương trình (1) ⇔ 0x = 0 (Phường trình có nghiệm tùy ý)

Pt(1) ⇔ 0x = 3 ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm

2− = −2 là đẳng thức đúng

Vậy phương trình (1) có nghiệm x 7

2

=

2+ = ⇔ = − (nhận)

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: x 1 4x 3

−

− − Điều kiện xác định:x ≠ 1

3x3

Ta được: −2x2 =16 ⇔ x2 = − 8

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1– Nối liên kết mỗi phương trình cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở cột (II)

2– Cho phương trình 3 x− =m Khẳng định nào sau đây sai ?

A Tập xác định của phương trình D = ℝ

B Nếu m = 0 thì phương trìnhcó nghiệm duy nhất x = 3

C Nếu m > 0 thì phương trình có hai nghiệm là x 3 a= ±

D Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm

E Có hai khẳng định sai

3– Cho phương trình x2 2x 3 3

x 1

− Khẳng định nào sau đây là sai ?

A Khi x ≠ 1 thì phương trình có nghĩa

B Phương trình có hai nghiệm là 0 và 1

C Phương trình chỉ có nghiệm là x = 0

D Khi x ≠ 1 thì phương trình viết được thành x2− =x 0

E Phương trình đã cho tương đương với phương trình x3−x2 =0

4– Kết quả nào sau đây là tập nghiệm của phương trình: 2x 1− = +x 3 ?

E Một kết quả khác

6– Cho phương trình 2mx 4+ =6.Phương trình vô nghiệm khi:

E Một kết quả khác

7 – Với giả thiết là phương trình ở câu 6 Phương trình có nghiệm khi :

E Một kết quả khác

8 – Với giả thiết là phương trình ở câu 6, khi m = 1 thì nghiệm của phương trình là:

A x = 1 hoặc x = –5 B x = –1 hoặc x = –5

C x = 5 hoặc x = –1 D x = 1 hoặc x = 5

E Một kết quả khác

9 – Cho phương trình m x 1 m2 + − =(5m 6 x− ) Với giá trị nào của m được cho sau đây thì phương trình có nghiệm duy nhất ?

C m = 2 hoặc m = 3 D m ≠ 2 và m ≠ 3

E Một kết quả khác

10 – Cho phương trình m x 3x 2m 2x2 + = + Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Khi m ≠± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 2m2

=+

B Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất x 2m2

=+

C Khi m ≠± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m

D Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất x = 2m + 1

E Tất cả các khẳng định đều sai

 Cho phương trình : m x2 −(2x 1 m+ ) =(4 2m x 2− ) + Dùng giả thiết này để trả lời các câu 11, 12, 13

11 – Phương trình vô nghiệm khi m có giá trị:

E Một kết quả khác

12 – Với giá trị nào của m được cho sau đây thì phương trình có nghiệm tùy ý ?

E Một kết quả khác

13 – Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm là :

E Một nghiệm khác

Trả lời trắc nghiệm

  (vì thỏa điều kiện x ≥−3)

Tập nghiệm của (1): { }2

Phương trình bậc nhất có nghiệm trong hai trường hợp: (nghiệm duy nhất hoăc vô số nghiệm) Đối với phương trình đã cho chỉ xảy ra trường hợp có nghiệm duy nhất Khi đó: m ≠ 0

C– BÀI TẬP CÓ ĐIỂM THƯỞNG

 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Giải và biện luận phương trình m x m3 − 2− =4 4m x 1( − )

Bài 2: Giải phương trình : 3+ 2x2−4x 9 2x+ =

Bài 3: Giải phương trình 3 7 3 3x 172

− −

Bài 4: Giải phương trình : x2 − − + + =x 3 x 1 0

Bài 5: Giải phương trình 7x2 −12x 5 3x 5+ = −

Bài 6: Cho phương trình x2−2 m 2 x 4m 5 0( + ) + + =

a Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa x1−x2 =2

Hướng dẫn giải bài tập

Bài 1: Phương trình m x m3 − 2− =4 4m x 1( − ) (1)

Phương trình (1) ⇔ ( )( ) ( )2

m m 2 m 2 x− + = m 2−Trường hợp 1: m m 2 m 2( − )( + )≠ ⇔0 m 0 , m≠ ≠ ±2

Phương trình có nghiệm duy nhất:

m 2x

m m 2

−

=

+Trường hợp 2: m m 2 m 2( − )( + )= ⇔0 m 0 hoặc m 2 hoặc m= = = −2

Khi m = 0: (1) ⇔ 0x = 4 : Phương trình (1) vô nghiệm

Khi m = 2: (1) ⇔ 0x = 0 : Phương trình (1) luôn luôn nghiệm đúng

Khi m = –2: (1) ⇔ 0x = 16 : Phương trình (1) vô nghiệm

Bài 2: Phương trình : 3+ 2x2 −4x 9 2x+ = (1)

2 2

a Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b Phương trình có hai nghiệm thỏa x1−x2 =2

Phương trình có hai nghiệm thỏa x1−x2 =2 thì hai nghiệm không thể trùng nhau Do đó: ∆’ > 0 ⇔ m 1

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A– TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y dạng: ax by c+ = (1)

Với a, b, c là các hệ số và a, b không đồng thời bằng 0

Nghiệm của (1) là (x ; y0 0) sao cho ax0 +by0 =c

Ghi chú:

c ≠ 0 vô nghiệm

a = b = 0

c = 0 nghiệm (x; y) tùy ý

a ≠ 0, b = 0 Nghiệm có dạng c; y , với y( )

 (x, y là hai ẩn số), (các chữ còn lại là hệ số)

Nghiệm của hệ là cặp số (x , y0 0) nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình

3 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

x, y,z là ba ẩn số Các chữ còn lại là hệ số

Nghiệm của hệ là bộ ba số (x , y , z0 0 0) nghiệm đúng đồng thời cả

ba phương trình của hệ

B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Giải phương trình: 3x – 5y = 4

Như vậy ta tính được giá trị của một ẩn Rồi tìm giá trị của ẩn còn lại

* Ngoài ra, ta còn các hương pháp đã học ở lớp dưới:

Phương pháp cộng đại số: Nhân lần lượt hai phương trình với các số thích hợp để có thể khử được x (nhằm tính y) hoặc khử được y (nhằm tính x) Tổng quát:

Phương pháp Gau-xơ

Nhân phương trình (2) cho –4 rồi cộng với phương trình (1) ta có:

1

Phương pháp cộng đại số:

Để tính x: Hệ (*) ⇔ 12x 21y 3 19x 95 x 5

Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm x 3y m

Ta có: z = –2 Thế ngược lên trên, suy ra: y = 3 và x = 1

Vậy Tập nghiệm của hệ là S={ (1; 3; 2− ) }

 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0

Bài 2: Giải hệ phương trình: 7x 11y 36

Hướng dẫn và đáp số

Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0

Phương trình có vô số nghệim

Nghiệm có thể biểu diễn ở hai dạng: x

yx2y

Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d): y = 2x

Bài 2: Giải hệ phương trình 7x 11y 36

Vậy Tập nghiệm của hệ là S={ (4; 5; 2) }

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1– Cặp số nào được cho sau đây là nghiệm của phương trình 2x 3y 1 0− − = ?

E Không có cặp số nào là nghiệm

11

O

2– Cặp số ( )1; 2 là nghiệm của phương trình nào được cho sau đây ?

3y

3y

5– Khi m = 0 Nghiệm của phương trình là:

A Cặp số ( )x; 1 , x∈ℝ B Cặp số (x; 1 , x− ) ∈ℝ

C Cặp số (−1; y , y) ∈ℝ D Cặp số ( )1; y , y∈ℝ

E Phương trình vô nghiệm

6– Khi m = 1 Tập nghiệm của phương trình là:

A Tập hợp rỗng

B Tập các cặp số (x; 0), với mọi x ∈ ℝ

C Tập các cặp số (0; y), với mọi y ∈ ℝ

D Tập các cặp số (x; y), với mọi x, y ∈ ℝ

E Một tập hợp khác

7– Khi m = –1 Tập nghiệm của phương trình là:

A Cặp số ( )x; 1 , x∈ℝ B Cặp số (x; 1 , x− ) ∈ℝ

C Cặp số (−1; y , y) ∈ℝ D Cặp số ( )1; y , y∈ℝ

E Phương trình vô nghiệm

8– Nối liên kết mỗi hệ phương trình được cho ở cột (I) với nghiệm tương ứng của nó

được cho ở cột (II)

 Khẳng định nào sau đây là sai ?

A Khi m = 1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)

B Khi m = 0 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3; 32 )

C Khi m = 2 Hệ phương trình có nghiệm tùy ý (x; y)

D Khi m = –2 Hệ phương trình vô nghiệm

E Có một trong các khẳng định trên là sai

 Dùng giả thiết này để trả lời các câu 10, 11, 12

10– Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm ?

Trả lời trắc nghiệm

1– Đáp án B Thay từng cặp số vào phương trình

2– Đáp án C Thay từng cặp số vào phương trình

3– Đáp án ( )1; C , (2; A) , (3; B) , (4; E) , (5; D)

4– Đáp án E

5– Đáp án B Khi m = 0 Phương trình thành 0x = y + 1

Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ và y = –1

6– Đáp án D Khi m = 1 Phương trình thành 0x + 0y = 0 nên phương trình nghiệm đúng với mọi x, y ∈ ℝ

7– Đáp án D Khi m = –1 Phương trình thành 0y = 2 – 2x

Phương trình nghiệm đúng khi x = 1, ∀y ∈ ℝ

Do đó: hệ phương trình vô số nghiệm (3 2y; y , y− ) ∈ℝ Không phải nghiệm tùy ý

10– Đáp án D m = –2

11– Đáp án C m = 2

C– BÀI TẬP CÓ ĐIỂM THƯỞNG

 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Cho hai phương trình:

4x + y = 5 (1) 3x – 6y = 1 (2)

a Giải phương trình (1) và giải phương trình (2)

b Tìm nghiệm chung của (1) và (2)

Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình: mx y 2

Hướng dẫn giải bài tập

x3x 1y

m 1

=

+ vào (1), ta được

2 3my

m 1

−

=+ Hệ có nghiệm duy nhất 5 ;2 3m

ÔN TẬP CHƯƠNG III

BÀI TẬP

A– KIẾN THỨC CƠ BẢN

B– CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải và biện luận phương trình : m x 1( − = +) x 2m 7− (1)

Bài 2: Giải và biện luận phương trình: x2−2 m 1 x m( + ) + 2+4m 0= (1)

m

2

> : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x m 1= + ± 1 2m−

Bài 3: Cho phương trình x2−2 m 1 x m( + ) + 2 +2m 3 0− = Định m để phương trình có một nghiệm là –1 Tìm nghiệm còn lại

Các kiến thức chủ điểm bắt buộc học sinh phải làm được:

Giải và biện luận phương trình bậc nhất

Giải và biện luận phương trinh bậc hai

Định lý Vi-ét

Một số dạng phương trình thường gặp đưa được về phương trình

bậc nhất hoặc bậc hai

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số

Theo định lý Vi-ét đảo; x, y là nghiệm của phương trình X2 −29x 198 0+ =

Hai số phải tìm là 18 và 11

Bài 5: Bằng phương pháp khử dần ẩn số, giải hệ phương trình: x 7y 14

 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Giải và biện luận phương trình : m x 1 2m x 12( + +) = −

Bài 2: Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2m -1 và 3

Bài 3: Cho phương trình x2 −2 m 1 x 4m 3 0( + ) + − =

a Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm

b Định m để phương trình có tích của hai nghiệm bằng 5 Khi đó, tính tổng của hai nghiệm

Bài 4: Gọi x , x1 2 là hai nghiệm của phương trình x2 −3x 24 0− = hãy tính giá trị của biểu thức

Hướng dẫn và đáp số

Bài 1: Giải và biện luận phương trình : m x 1 2m x 12( + +) = − (1) ( )1 ⇔ ( 2) ( )2

+ Nếu m = –1 thì hệ vô số nghiệm

Bài 2: Hai nghiệm của phương trình cần tìm là 2m -1 và 3

Ta có: Tổng S = 2m + 2 và tích P = 3 2m 1( − )

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2−2 m 1 x 3 2m 1( + ) + ( − =) 0

Bài 3: Phương trình x2−2 m 1 x 4m 3 0( + ) + − = (1)

a Phương trình có: 2 ( )2

Nên (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

b Tích của hai nghiệm bằng 5 ⇔ 4m – 3 = 5 ⇔ m = 2

Khi đó, tổng của hai nghiệm : S = 2 m 1( + =) 6

Bài 4: Phương trình x2−3x 24 0− = (luôn luôn có hai nghiệm phân biệt)