Gọi E là giao điểm của cạnh AC và tia phân giác của góc B.. Dựng đường cao AH của tam giác ACD.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC HOÀI NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC : 2004 – 2005 Môn : Toán 7
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
-PHẦN I : TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( 4 đ )
Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời mà em cho là đúng nhất trong mỗi câu sau :
Câu 1: Nếu x =
b
a
; y=
c b
c a
+
+
với a,b,c ∈N*và a<bthì:
Câu 2 : Giá trị của n trong đẳng thức (0,25)n+1 = 16 là :
Câu 3 : Biết x2 + y2 = 1 Giá trị của biểu thức P = 5x4 + 8x2y2 + 3y4 + 2y2 là :
Câu 4 : Đa thức f(x) = (2x – 3)99 (3x2 – 7x +5)100 sau khi thu gọn thì tổng các hệ số của nó là :
Câu 5 : Tập hợp các nghiệm nguyên của đa thức f(x) = 4x4 – 2x3 + 3x2 – x – 1 là :
Câu 6 : Cho đa thức f(x) thỏa (x+1).f(x) = f(x+2) Đa thức f(x) có ít nhất 1 nghiệm là :
Câu 7 : Cho số a = 1340 và b = 2161 thì :
Câu 8 : Số 82004 có chữ số tận cùng là :
Câu 9 : Số các ước của 1896 là :
Câu 10 : Cho a = 3n + 1; b = 2n + 1 ( n N∈ ) thì (3n + 1 ; 2n + 1) là :
Câu 11 : 5 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm thì số cặp góc đối đỉnh ( không kể góc bẹt ) tạo thành là :
Câu 12 : Nếu AM ⁄ ⁄ a và AN ⁄ ⁄ a thì :
A AM⁄ ⁄ AN ; B AM cắt AN C AM = AN D A,M,N thẳng hàng
Câu 13 : Điểm D thuộc miền trong của ΔABC thì :
A BAC < BDC B BAC = BDC C BAC > BDC D BAC ≥ BDC
Câu 14 : Với 3 điểm A,B,C bất kỳ, bao giờ cũng có :
A AB < AC + CB B AB ≤ AC + BC C AB = AC + CB D AB > AC + CB
Câu 15: ΔABC có 3 đường trung tuyến AM, BN, CP thì đối với ΔMNP ta có AM, BN,CP là :
A 3 đường phân giác B 3 đường cao
C 3 đường trung tuyến D 3 đường trung trực
Câu 16 : Số điểm cách đều 3 đường thẳng chứa 3 cạnh của một tam giác là :
PHẦN II : TỰ LUẬN ( 6 đ )
Bài 1 ( 2 đ ) : Tìm x, biết : | 3x – 5 | + 2 | 2 – x | = | x –1 |
Bài 2 ( 2 đ ) : Chứng minh rằng : Tổng các bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không thể là một
số chính phương
Trang 2Bài 3 ( 2 đ ) : Cho tam giác ABC biết AB < BC Trên tia BA lấy điểm D sao cho BC = BD > Nối C với D Gọi E là giao điểm của cạnh AC và tia phân giác của góc B Dựng đường cao AH của tam giác ACD Chứng minh rằng : AH // BE
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM PHẦN I : (4đ) – Mỗi câu cho 0,25điểm
PHẦN II : TỰ LUẬN
Bài 1: 2điểm
| 3x – 5 | + 2 | 2 – x | = | x –1 |
| 3x – 5 | + | 4 – 2x | = | x – 1 | (1) (0,25đ)
Vì (3x – 5) + (4 – 2x) = x – 1 (0,25đ)
Nên (1) xảy ra khi :
(3x – 5) (4 – 2x) ≥ 0 (0,5đ)
Bảng xét dấu :
x
3
5
2
-Vậy : 3
5 ≤ x ≤ 2 (0,25đ) Bài 2 : Đặt T = ( n-2 )2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n+2)2 là tổng các bình phương của 5 số nguyên liên tiếp ( 0,25đ)
Thu gọn : T = 5 ( n2 + 2 ) ( 0,25đ)
Học sinh chứng minh : n2 + 2 5 với mọi n ∈ Z ( 1đ )
Do đó T không thể là số chính phương ( 0,25đ ) H A
- Lấy A’∈ Ox ; B’∈ Oy sao cho :
OA’ = OB’ = a O
- Ta có : OA’ + OB’ = OA + OB = 2a B K
- Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
ΔHAA’= ΔKBB’ ( Cạnh huyền - góc nhọn )
Suy ra : HA’ = KB’ Do đó :
HK = A’B’ (0,25đ) Chứng minh được HK ≤ AB ( Xảy ra dấu bằng A ≡ A’ ; B ≡ B’
Do đó : A’B’ ≤ AB ( 0,25đ )
Vậy AB nhỏ nhất OA = OB = a (0,25đ)
* Kết luận : Nếu tam giác có tổng độ dài hai cạnh là một hằng số thì độ dài cạnh còn lại nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác cân ( 0,25đ )
