Đề tài: “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô” ppsx

Nộidung chính của luận văn là tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các khônggian tôpô, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa các nhóm đồng luân và cácnhóm đồng điều của cùng một không

Đề tài “Về nhóm đồng luân của không gian tôpô”

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1

1.1 Định nghĩa cơ bản……… 2

1.2 Định lý Van - Kampen ……… 11

1.3 Nhóm cơ bản của nhóm tôpô……… 14

1.4 Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô……… 16

CHƯƠNG 2 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 17 2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô……… 17

2.2 Nhóm đồng luân tương đối Dãy khớp đồng luân của cặp không gian tôpô……… 23

2.3 Liên hệ với nhóm đồng đều……… 29

MỞ ĐẦU

Tôpô đại số là một trong những ngành cơ bản của toán học hiện đại Nó rađời vào những năm thế kỉ XX Từ đó cho đến nay, tôpô đại số được nhiều nhàtoán học lỗi lạc trên thế giới như H.Poincaré, S.Lefschetz, P.S.Alexandrov,E.Noether, S.Eilenberg, N.Esteerod, E.Cech, A.Kolmogorov, E.Cartan,Ch.Ehresman, H.Cartan, R.Godement, quan tâm nghiên cứu và phát triển.Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được những thành tựu vô cùng rực rỡ và trởthành một trong những lĩnh vực hàng đầu để mọi người làm toán quan tâmhọc tập và nghiên cứu Đây chính là lý do để tác giả chọn “Về nhóm đồngluân của không gian tôpô” làm đề tài nghiên cứu luận văn tốt nghiệp Nộidung chính của luận văn là tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các khônggian tôpô, đồng thời thiết lập mối quan hệ giữa các nhóm đồng luân và cácnhóm đồng điều của cùng một không gian tôpô

Luận văn này gồm hai chương:

Chương I – Nhóm cơ bản của không gian tôpô.Trong chương này tác giảtrình bày các khái niệm, kết quả và một số kiến thức cơ sở nhóm cơ bản củakhông gian tôpô, có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu của đề tài

Chương II – Nhóm đồng luân của không gian tôpô

Đây là nội dung chính của luận văn, và sẽ được trình bày từ các trườnghợp đơn giản đến phức tạp

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo củaPGS.TS Nguyễn Thành Quang

Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS

Lê Quốc Hán, các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa SauĐại học đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dướimái trường Đại học Vinh thân yêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới nhữngngười bạn học viên cao học khóa 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đãtận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được sựchỉ bảo của thầy cô giáo cùng các bạn học viên

Tác giả

CHƯƠNG 1 NHÓM CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ

1.1.2 Định nghĩa Cho   , ' là hai con đường trong không gian tôpô X mà

(1) '(0)

  

Ánh xạ liên tục ' : I  X cho bởi

1(2 )

2'( )

1

2

t t

h t( ,1)

Nhận xét: Quan hệ đồng luân mút cố định giữa các con đường trong

không gian tôpô X là một quan hệ tương đương Thật vậy

rel I

    vì có thể chọn ánh xạ h theo công thức h t( , )    ( ),t t,  I Nếu   ' rel I nhờ ánh xạ h thì  '  rel I nhờ ánh xạ h' với

2 ''( , )

Lớp tương đương của con đường  được kí hiệu là  

4 Nếu  nối x0 với x 1 , ' nối x1 với x 2 , '' nối với x2 với x3 thì

2 ''( , )

Vì h(1, )  h'(0, )  nên h'' là ánh xạ liên tục

Ta có

1 (2 ,0)

2 ''( ,0)

1

' 1

1 (2 )

2 1

1 0

2 ( )

1

2

t t

2 ( ,1) ( ( ))

1 (2 )

12

0 0

2 ( )

Dễ thấy ánh xạ h là liên tục

Ta có

1 (2 )

2 ( ,0)



1 (2 )

2 1

Ta xác định một phép toán hai ngôi trên tập  1 ( , ) :X x0

Với     ,  ' thuộc  1 ( , )X x0 ta định nghĩa

     '    '

Từ định lý trên ta suy ra ( , 0 )  : ( ,n n) ( , 0 )

n

S X x  f I I  X x cùng với phéptoán  là một nhóm

Nhóm  1 ( ,X x0 ) được gọi là nhóm cơ bản của không gian tôpô X vớiđiểm đánh dấu x0 (hay với điểm gốc x0)

Chú ý Ta xét các cặp ( , )X A trong đó X là không gian tôpô và A là một tậpcon của X Khi A là một điểm  x0 thì viết ( ,X x0 )và gọi là không gian tôpô X

với điểm đánh dấu x0(hay điểm gốc x0)

Ánh xạ f :( , )X A  ( , )Y B được hiểu là ánh xạ liên tục f X:  Ysao cho

( )

f A B Cho X' là không gian con của X , hai ánh xạ f g, : ( , )X A  ( , )Y B

được gọi là tương thích trên X' nếu f x' g x Hai ánh xạ f g, : ( , )X A  ( , )Y B

tương thích trên X' được gọi là tương đương đồng luân cố định trên X' nếu cóánh xạ liên tục

Khi đó ta kí hiệu f g rel X' và nói H là đồng luân cố định trên X' nối f

với g cũng là một quan hệ tương đương và hợp thành các ánh xạ tương đươngđồng luân cố định

Với thuật ngữ này, con đường  trong X đóng tại x0 là ánh xạ

0

:( , )I I ( ,X x )

   , trong đó I  0,1 là biên của I, còn   là lớp các ánh xạ liêntục đồng luân cố định trên I với 

Cho f g rel X' và nói H là đồng luân cố định trên X' nối f với g Quan

hệ đồng luân cố định cũng là một quan hệ tương đương và hợp thành các ánh xạtương đương đồng luân cố định

Với thuật ngữ này, con đường  trong X đóng tại x0 là ánh xạ

Khi đó nếu  và  ' là hai con đường trong X đóng tại x0 thì f  và f '

là hai con đường trong Yđóng tại y0 Dễ thấy, nếu   'rel I thì f f 'rel I

với  1 và  2 là hai đường trong X đóng tại x0

Điều này là hiển nhiên vì

Chú ý Nếu x0 , x1 là hai điểm của không gian tôpô X và giả sử tồn tại conđường  trong X nối x0 với x1,  (0) x0 , (1)  x1 Khi đó ánh xạ

1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô liên thông cung có nhóm cơ bản tầm thường

được gọi là không gian tôpô đơn liên.

Ví dụ Không gian thắt được gọi là không gian đơn liên.

Cho không gian thắt được Xvà x x0 , 1 là hai điểm tuỳ ý của X Vì X làkhông gian thắt được nên tồn tại ánh xạ liên tục h X:  I X mà h x( , 0) x,

2 ( )

Rõ ràng  là ánh xạ liên tục suy ra  là con đường trong X nối x0 với x1

Cho X là không gian liên thông cung, X1 và X2là hai không gian con

mở liên thông cung của X X, X1 X2và X0 X1 X2 liên thông cung khácrỗng

X nên mệnh đề được chứng minh 

1.2.2 Hệ quả Với các giả thiết như mệnh đề trên và nếu X1 , X2 đơn liên thì

X đơn liên.

Ví dụ Với n 2, mặt cầu S n là không gian đơn liên

Đặt: X1 S n  N , X2 S n  S

trong đó N  (0, 0, , 1), S  (0, 0, , 1) 

Khi đó X1 và X2 đồng phôi với Rn

Vì Rn là không gian thắt được nên X1 và X2 đơn liên Ngoài ra X0 X1 X2

đồng phôi với Rn\ 0 là liên thông cung nếu n 2 Do đó S n là không giantôpô đơn liên

Chú ý Mệnh đề 1.2.2 Là một trường hợp riêng của định lý Van - Kampen,

ta sẽ không chứng minh định lý này

1.2.3 Định lý Van – Kampen Cho X là một không gian tôpô liên thông cung, x0 X , U A

nếu U  U   thì có  A để U U U) và mọi U liên thông chứa x0

Khi đó, với một nhóm G tuỳ ý và họ các đồng cấu nhóm

g 

1.3.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm tôpô, và  'là hai đường trong G.Tích của hai đường  và  ' là một đường trong G, kí hiệu là   ', và đượcxác định như sau:

''(0, ) ( )(0) ( ' )(0)

h       

1

' 1

2 1

1.4.1 Mệnh đề Đối với hai không gian tôpô ( ,X1 x0 ), ( ,Y y0 ) các phép chiếu

Đồng cấu ( )p1   ( )p1  là đơn cấu Thật vậy, nếu  là con đường trong

X Y đóng tại ( ,x0 y0 )sao cho

CHƯƠNG 2 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ

2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô

Kí hiệu I nlà lập phương đơn vị trong Rn

Kí hiệu  f là tập hợp các ánh xạ trong S X x n( , 0 ) tương đương đồng luân

cố định trên I n với f Nhắc lại rằng f g rel In khi và chỉ khi có ánh xạ liên tục h I: ( nI I, nI)  ( ,X x0 ) sao cho

Với x I n, ta viết x t y, , t I y, I n 1

   Với f I: n  X và ta xác định ánh xạ f y : I  X, f y  t f t y , 

Như vậy với mỗi y I n 1

 ta có con đường đóng tại x0 trong X Ánh xạ

f  g được dịnh nghĩa như nối tiếp f y*g y của 2 con đường f y và g y như sau

Cho bởi công thức

Dễ thử rằng h'' : f * g f ' *g relI' n.

2.1.3 Định nghĩa Cho    f , g  nX x, 0, đặt  f * g  f *g

Theo mệnh đề trên, ta có một phép toán trên tập nX x, 0

2.1.4 Mệnh đề Tập hợp n  X x, 0 cùng với phép toán * là một nhóm Chứng minh Phép toán có tính chất kết hợp vì

 f * f ' * f ' f *  f ' * f 'relI n bởi đồng luân

4 , 1

, 2

t t t

2

t t

Dễ thấy h x , 0  x0 * f, h x , 1 f x 

Nếu zIn, z 0, z thì h z ,  f 0, y x0

2 1

1 2

t t

Chú ý rằng với n 1thì  1 X x, 0 chính là nhóm cơ bản Ta biếtnhóm cơ bản nói chung không giao hoán, tuy nhiên với n 2 các nhómđồng luân  1 X x, 0 là nhóm giao hoán Để chứng minh điếu này là địnhnghĩa một phép toán mới trên  1 X x, 0 Với f g, :I n,In   X x, 0

Ta định nghĩa

' '

'

1

2 ,

2.1.7 Mệnh đề Nếu n 2 thì n  X x, 0 là nhóm giao hoán.

Chứng minh Cho f g, S n X x, 0,n 2

Theo mệnh đề 2.1.6 ta có

Ví dụ 1 Nhóm đồng luân của không gian thắt được

Cho X là không gian tôpôthắt được và f S n X x, 0

đề phức tạp vượt ra ngoài khuôn khổ cuốn sách này.

Ví dụ 3 Cũng như nhóm cơ bản, nếu p X Y1 :   X  ,p2 :X Y  Y làcác phép chiếu thì ta có đẳng cấu nhóm

 p1* p2*: nX Y ,x y,    nX x,  n Y y, 

2.2 Nhóm đồng luân tương đối Dãy khớp đồng luân

của cặp không gian tôpô

Cho X là một không gian tôpô A là một không gian con của nó và





Chứng minh mệnh đề này tương tự như chứng minh mệnh đề 2.2.3.

2.2.5 Định nghĩa Kí hiệu n  X A x, , 0 là tập hợp các lớp đồng luân củacác ánh xạ f S n X A x, , 0 Trên tập n X A x, , 0 ta cho một phép toán

 f   * g  f *g Tương tự như mệnh đề 5.2.1, tập n X A x, , 0 cùngvới phép toán trên là một nhóm

Nhóm nX A x, , 0 gọi là nhóm đồng luân tương đối thữ n của cặp ( , )X A

với điểm đánh dấu x0

Chú ý rằng với n 3 các nhóm n X A x, , 0 là các nhóm giao hoán.Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi bộ ba  X A x, , 0 có thể xây dựngđược một dãy khớp của các nhóm đồng luân.

2.2.6 Mệnh đề Dãy đồng luân của cặp ( ,X A) với điểm đánh dấu x0 là một dãy khớp.

Khi đó dễ thấy h f:  x0 trong S n X A x, , 0

Do đó j i* *  f  0 Suy ra Im i* Kerj*

Giả sử  f n X x, 0 sao cho f  x0 trong S n X A x, , 0

1 , , , 2

2 , , ,

2 , , ,

1 , , , 2 1

Vậy mệnh đề được chứng minh 

Nếu f : X A x, , 0  Y B y, , 0 thì dễ suy ra kết quả sau

2.2.7 Mệnh đề Biểu đồ sau giao hoán

2.3 Liên hệ với nhóm đồng điều

Nhắc lại rằng ánh xạ liên tục f :I n  X được gọi là một lập phương

kì dị n chiều trong không gian tôpô X Kí hiệu Q X n  là nhóm Abel tự do sinh

bởi các lập phương kì dị n chiều của X Ta xác định đồng cấu

Khi đó   2 0 và ta có phức hợp dây chuyền Q Q X n ,  

Kí hiệu D X n  là nhóm Abel tự do sinh bởi các lập phương kì dị

Các chu trình trong *

n

Q là các lớp  D n trong đó Q n và  Q n1 Còn các biên trong *

Giả sử : I2  I xác định bởi

Với n 1 ta sẽ thấy rằng  1 cho phép hoàn toàn xác định nhóm H1c X

nhờ nhóm cơ bản  1X x, 0

Ta có thể coi 1  

c

H X là nhóm đồng điều đơn hình kì dị của không gian X

vì có đẳng cấu giữa các nhóm đồng điều lập phương kì dị đơn hình

Khi đó kj I:  S t1 ,  cos 2 t,sin 2 t

Giả sử     1 X x, 0 Khi đó con đường

sao cho s' biến các đỉnh của 1

Vậy  là toàn cấu

Ta kí hiệu nhóm các giao hoán tử của  1 ( , )X x0 là  1 ( , ), ( , )X x0  1 X x0  Chú

ý rằng H X1 ( ) là nhóm Aben,  là đồng cấu nên  1 ( , ),X x0  1 ( , )X x0  Ker

0

( , ) ( , )

Vậy   là đơn cấu và mệnh đề được chứng minh 

2.3.4 Hệ quả Cho X là không gian liên thông cung, x0 X , thì

Nếu  1 ( )X   2 ( ) X   n1 ( ) 0 (X  n 1) thì H X1 ( ) H X2 ( )  H n1 ( ) 0X 

và H X n( )  n( )X

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một số nội dung sau:

1 Trong chương 1, luận văn đã giới thiệu về một số khái niệm, một sốkiến thức cơ sở nhóm cơ bản của không gian tôpô và kết quả của Định lý Van– Kampen

2 Trong chương 2, luận văn trình bày có hệ thống các khái niệm, và một

số kết quả của nhóm đồng luân tuyệt đối, nhóm đồng luân tương đối, dãykhớp đồng luần của cặp không gian tôpô

3 Tìm hiểu việc thiết lập một bất biến của các không gian tôpô, đồng thờithiết lập mối quan hệ giữa các nhóm đồng luân và các nhóm đồng điều củacùng một không gian tôpô

4 Liên hệ với nhóm đồng điều

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội

[2] Nguyễn Văn Đoành, Tạ Mẫn (2005), Nhập môn tôpô đại số, Đại học

Sư phạm Hà Nội

[3] Sze – Tsenhu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, NXB Đại học và

Trung học chuyên nghiệp

[4] Serge Lang (1974), Đại số, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.

Tiếng Anh

[5] A Dold (1972), Lectures on algebraic topology, Springer Verlag

-Beclin Heidelberg New York

[6] R Hartshorne ( 1977), Algebraic Geometry, Springer.

[7] E H Spanier (1966), Algebraic topology, Mc Graw – Hillbook Co.