SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HAY ĐÂY 1

PHÒNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG Trường THCS Tôn Quang PhiệtHƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC Người viết: Lê Thanh Hoà Giáo viên toán trường THCS Tôn

PHO PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG

TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT

=====***=====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI

TỪ BÀI TOÁN GỐC

GIÁO VIÊN: LÊ THANH HOÀ

THÁNG: 4/2008

Nàm hoc 2007 - 2008

PHÒNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG Trường THCS Tôn Quang Phiệt

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ

GIỎI TOÁN SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI

TOÁN GỐC

Người viết: Lê Thanh Hoà Giáo viên toán trường THCS Tôn Quang

Phiệt

Năm học: 2007 - 2008

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1.Lý do chọn đề tài

Ở trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt động toán học của HS Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho HS giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để

HS suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán

Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên Phần lớn GV chúng

ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, trong giải toán chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài toán Điều đó làm cho HS khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới HS không biết phải bắt đầu từ đâu? cần vận dụng kiến thức nào? bài toán có liên quan đến những bài toán nào đã gặp?

Hình học không đơn thuần ""Chỉ vẽ hình là ra"".Nó cũng đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng cái đức tính cần có của người làm toán Các bạn đã bao giờ tự hỏi, tại sao nhiều người tự mình sáng tạo ra được rất nhiều bài toán trong các lĩnh vực như đại số, giải tích, số học, nhưng trong hình học lại quá ít nhưvậy hay chưa? Nếu xem xét một cách nghiêm túc thì trong hình học không phải khó tìm ra sự sáng tạo mà vấn đề là chúng ta đã dành cho hình học sự quan tâm ở mức nào

Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng HS giỏi toán tôi thấy rằng việc tìm tòi mở rộng các bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho 1 bài toán để từ đó khác sâu kiến thức cho

HS là một phương pháp khoa học và hiệu quả.Qúa trình này bắt đầu từ các bài toán đơn giản đến bài tập khó là là bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS

Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi mở rộng bài toán sẽ kích thích hứng thú học tập và óc sáng tạo của

2.Mục đích nghiên cứu

Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn hình học, đặc biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, nếu vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học của các thầy cô giáo thì chắc chắn đề tài sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc đào tạo và bồi dưỡng đội ngũ học sinh khá giỏi toán Vì trong thực tế dạy học toán rất nhiều bài toán mà trong khi giải ta có thể tìm được nhiều ý tưởng hay độc đáo để từ đó có thể sáng tạo nên chuỗi bài

tập liên quan với nhau, có thể tổng quát hoá bài toán

nhưng trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ xin phép đưa ra 2 bài toán mẫu để minh hoạ cho 1 ý

tưởng dạy học toán ""Dạy toán là dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán""

3.Đối tượng và phạm vi áp dung:

Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học của tôi tại trường THCS Tôn Quang Phiệt là 1 trường trọng điểm của huyện nên có nhiều học sinh có khả năng tiếp thu học tập môn toán, học sinh rất

ham học và tìm tòi cái mới Việc thể hiện đề tài khá thuận lợi

BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 1 :( đề thi HSG lớp 9 tỉnh nghệ an năm 2008)

Cho đường tròn O đường kính AB và dây cung CD( C,D không trùng với A,B) Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C,D ; N là giao điểm các dây cung AC và BD Đường thẳng qua N và vuông góc NO cắt AD,BC tại E,F Chứng minh:

a MN vuông góc với AB

b NE = NF

Lời

giải :

a.Gọi N' là giao điểm của AD và BC, thì N'N vuông góc AB

ta chứng minh M thuộc N'N Lấy M' là trung điểm N'N ta dễ

chứng minh M'D vuông góc DO và M'C vuông góc CO => M' là B'

giao điểm 2 tiếp tuyến kẻ từ D,C => M' trùng M => MN vuông

góc AB

b CÁCH 1 (hình 1)

Gọi B' là điểm đối xứng của b qua N thì B'A // NO => B'A

vuông góc NE => B'E vuông góc AN => B'E // BF Từ đây dễ

chứng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF

CÁCH 2 (hình 2)

Kẻ OH vuông góc AD ; OI vuông góc BC

Từ sự đồng dạng của 2 tam giác: DAN và CBN

Lại có các tứ giác ONHE ; ONFI nội tiếp ta suy ra:

gócNHO = gócNEO = gócNIO = gócNFO => EOF cân tại O

=> NE = NF

Nhận xét:

Sau khi giải bài toán tôi thấy rằng bài toán có thể được xây

dựng thành các bài toán khác ở mức độ khó hơn

Sau đây tôi xin nêu 1 số suy nghĩ đó:

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT ( sáng tạo ra các bài

toán mới với giả thiết rộng hơn )

1.TÌNH HUỐNG1:Trước khi đưa ra bài toán mới GV cần đưa ra

câu hỏi gợi mở để HS suy nghĩ và phát hiện vấn đề, ví dụ như:

? Hãy xác định xem GT nào của bài toán là giả thiết HẸP, có

thể thay bằng một GT RỘNG hơn như thế nào?

? với GT mới kết quả bài toán sẽ như thế nào?

Bài

1.1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Các dây cung AC,BD cắt

nhau tại N Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO, đường A

úthẳng này cắt các đường thẳng AD,BC lần lượt tại E, F

N'

M

C D

E A

F N

E

B

OChứng minh NE = NF N'

Lời giải: (Hình 3)

Hình 2

E D

2.TÌNH HUỐNG 2: Với 1 thay đổi nhỏ trong GT ta có được bài toán 1.1 là 1 bài toán mạnh hơn.

Bây giờ ta hãy để ý đến vị trí của điểm N là giao điểm 2 dây cung AC ; BDĐể sáng tạo ra bài toán mới, ta thay GT N là giao điểm của AC; BD thành GT N là giao điểm của

AD vàØ BC Với GT mới này ta sẽ có bài toán sau:

Bài1.2:

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB 2 dây cung AD , BC cắt nhau tại điểm N ở ngoài (O)Qua N kẻ đường vuông góc với NO, đường thẳng này cắt các đường thẳng BD, AC lần lượt tại E, F Chứng minh rằng : NE = NF

Lời giải:(Hình 4)

Lấy B' đối xứng với B qua N Khi đó B'A // NO => B'A ⊥ NF

vì B'N vuông góc AF => N là trực tâm của B'AF => AN vuông góc

Cần chú ý rằng trong bài toán gốc AB là đường kính của đường tròn

nếu xem đây là GT HẸP, thì GT RỘNG hơn là xét AB như là 1 dây

cung bất kỳ ta sẽ có 4 bài mới toán sau là sự tổng quát của bài toán

1.1 và bài 1.2

Bài 1 3 :

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).Các đường chéo AC,

BD cắtnhau tại N Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO , đường

thẳng này cắt các đường thẳng AD, BC tại E, F

các tứ giác EQON, FRNO nội tiếp nên:

gócNQO = gócNEO và gócNRO = gócNFO (2)Từ (1) và (2) => gócNEO = gócNFO => EOF cân tại F => NE = NF

B'

N

F D

C

A

B O

Hình 4

E D

Q

N CO

R

Bài

1.4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Các đường thẳng

AD, BC cắt nhau tại N ở ngoài (O) Đường thẳng qua N vuông

góc NO cắt các đường thẳng AC, BD tại E,F

nội tiếp nên ta có: gócNOF = gócNPF (1)

gócNOE = gócNQE (2)NCA đồng dạng NDB (g.g) lại có P; Q là trung điểm của AC;

BD nên => NPC đồng dạng NQD => gócNQD = gócNPC haylà

gócNQE = gócNPF (3) từ (1);(2);(3) => gócNOE = gócNOFkết hợp với NO vuông góc EF ta suy ra EOF cân tại O => NE = NF

1.5:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Các đường thẳng AD, BC cắt

nhau tai N Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt các

đường thẳng AB, CD tại E, F

Chứng minh : NE = NF E

N

Kẻ OP vuông góc AB; OQ vuông góc CD khi đó ta có:

các tứ giác OPEN; OQNF nội tiếp

cho nên: gócNOF = gócNQF (1)

gócNOE = gócNPE (2)

Tứ giác ABCD nội tiếp nên:

NCD đồng dạng NBA ( Góc N chung; gócNBA =

gócNDC)

Do P; Q là trung điểm của AB, CD nên:

NQC đồng dạng NPA ( c.g.c)

=> gócNQC = gócNPA hay là gócNQF = gócNPE (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE

=> EOF cân tai O, kết hợp với ON vuông góc EF

=> NE = NF

C D

QA

O P

Hình 7B

NBài

1.6:

Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB I là trung điểm

của AB, qua I vẽ các dây MN,PQ sao cho MP cắt AB tại

E, NQ cắt AB tại F

Chứng minh : IE = IF

Lời giải:(Hình 8)

Kẻ OL vuông góc PM; OK vuông góc QN khi đó ta có các tứ giác

OIEL; OIFK nội tiếp

=> gócOLI = gócOEI và gócOKI = gócOFI (1)

Từ sự đồng dạng của IMP đồng dạng IQN và L;K là trung

điểm của PM; QN nên => ILM đồng dạng

IKQ

=> gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2)

Từ (1) và (2) => gócOEI gócOFI => EOF cân tai O (3)

I là trung điểm AB nên OI vuông góc EF (4)

Từ (3) và (4) => IE = IF

NHẬN XÉT:

O P

LA

E I M

K

F B Hình 8Q

Bằng những thay đổi trong GT của bài toán gốc ta đã sáng tạo

thêm những bài toán mới ở 1 cung bậc cao hơn, tổng quát hơn

Đưa ra nhận xét này tôi muốn nêu lên 1 khẳng định rằng mọi bài P

toán đều bắt nguồn từ những bài cơ bản, cũng như biển cả phải

bắt nguồn từ những dòng sông

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 2:( Sáng tạo ra bài

toán mới là hệ quả của bài toán gốc)

Cho đường tròn tâm (O) Dây cung AB

I là trung điểm của AB, qua I vẽ các

dây MN,PQ sao cho MP cắt AB tại E,

NQ cắt AB tại F

Chứng minh: EM EP = FN.FQ

Hình 8bLời giải:(Hình 8b)Từ kết quả của bài toán 1.6 ta có:

IE = IF và IA = IB => AE = FB và AF = BE (1)Tứ giác AMBP nội tiếp nên EM.EP = EA.EB (2)Tứ giác ANQB nội tiếp nên: FN.FQ = FB.FA (3)Từ (1) => EA.EB = FA.FB (4)

Từ (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ

1.8:

Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC nội tiếp đường tròn (O) Gọi I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác, B', C' là điểm chính giữa các cung AB không

chứa C và cung AC không chứa B của (O) B'C' cắt AI tại N, đường thẳng AI

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 3 (Sáng tạo ra các bài toán mới khó hơn ,

trong cách giải cần sử dung kết quả của bài toán gốc )

Bài

1.9:

Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD; dây AD cắt BC tại N, AC cắt BD tại N' Đường thẳng qua

N vuông góc với NO cắt BD, AC tại E, F

đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng AD, BC tại E', F', Chứng minh rằng EE' = FF'Lời

Từ (1) và (2) => gócBKT = gócNN'D = gócNN'T

=> Tứ giác KNN'T nội tiếp

=>gócNKN' = gócNTN' (4)

Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 900 (5)

E'

O B

T E N

CD

N'

AHinh 10

F'

gócNTN' + góc OTN = 900 (6)

Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7) x

Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8)

Sử dụng kết quả bài toán 1.1 và 1.2 ta có các

OEF và OE'F'

là các tam giác cân tại O kết hợp với (8) ta có

gócEOFù = gócE'OF' => gócFOF' = gócEOE' (9)

Do OE = OF; OE' = OF' nên cùng với (9) suy ra:

OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF'

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4 : sáng tạo ra các bài toán về chứng minh các đường thẳng đồng qui, chứng minh các đường thẳng song song nhờ vận dung kết quả bài toán gốc

Bài

1.1 0 :

Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'

Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F

đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F', Chứng

minh rằng 3 đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui tại 1 điểm

F'

N'Hình 11E'

Lời

giải: cách 1: Gọi K là giao điểm của EE' và FF'

Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng

Từ kết quả của bài toán 1.9: OEE' = OFF'

=> gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp

chú ý rằng N là trực tâm N'AB nên NN' vuông góc AB

=> gócON'N + gócN'OB = 90 0 (1)

Trong tứ giác OKF'N' có:

gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 360 0

=> gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=270 0 (vì gócON'F'= 900 )

=> gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 270 0

=>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =270 0 (2)

vì gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 180 0 (3)

Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 90 0 (4)

Chú ý rằng OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên:

=

OF'

ON

ON' (5) và gócNOF = gócN'OF' (6) => gócN'ON = gócF'OF (7)

Từ (5) và (7) => ONN' đồng dạng FOF' (c.g.c)

=> gócON'N = gócOF'F = gócOF'K (8)

Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9)

Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB vậy EE'; FF' AB đồng qui

b Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui E' N' F'Gọi giao điểm của CD và EF' là I

Sử dụng định lý Menelauyt cho ADC và 3

điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có:

Hệ thức 21 cùng với định lý đảo Menelauyt ta

suy ra E'; I; F thẳng hàng từ đó suy ra E'F; EF',

CD

CÁCH 2 (Tương tự cách giải 2 bài toán 10)

a Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui

gọi K là giao điểm của FF' và AB

Theo định lý Menelauyt cho ABC và 3 điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có :

Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt cho các tam giác:

FB F'C KA

FC F'A KB = 1 (22)

* CAN' và 3 điểm F; N; E ta có: FC

FN'

EN' NA

EA NC = 1 (23)

*Với DBN' và F; N; E ta có: ED

EN'

FN' NB

FB ND = 1 (24)Với AND và 3 điểm F'; E'; N' ta có:N'D

N'A

E'N.E'D

F'A.F'N= 1 (25)

*Với BNC và 3 điểm F'; E'; N' ta có: N'C

N'B

F'N F'C

E'BE'N = 1 (26)nhân từng vế của (22);(23);(24);(25);(26) ta có:

NA ED

NC EN'

FN' NB

FB ND

N'DN'A

E'N.E'D

F'A F'N

N'CN'B

F'N F'C

E'B

=1E'N

ED).( EA

E'BE'D

KA ) = 1(27) KB

*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có:

*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có:

BN N'D AC

BD N'A NC

AN N'C DB

DN AC

N'C DB.N'B DN = 1 =>

NB N'D

ND N'A

NA N'C

NC N'B = 1 (30)

TừØ (27) và (30) ta có: ED E'B KA

EA E'D KB = 1 (31)Hệ thức (31) cùng với định lý đảo Menelauyt => 3 điểm E'; E; K thẳng hàng từ đó suy ra 3 đường thẳng EE';FF' AB đồng qui tại K

b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui:

Chứng minh tương tự như cách 1

Cách 2: bài 1.10

Gọi K là giao điểm của AB và FF' để chứng minh

EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E'

thẳng hàng

Sử dụng định lý Menelauyt cho ABC với 3 điểm K;

F; F' thẳng hàng ta có: A O I K B

E'BE'N = 1 (5)Nhân từng vế của 5 đẳng thức trên ta có:

FB F'C KA

FC F'A KB

FC .FN'

EN'EA

NA ED

NC EN'

FN' NB

FB ND

N'DN'A

E'N.E'D

F'A F'N

N'BN'C

F'N F'C

E'B

= 1E'N

NA NB

=> (

NC ND

N'DN'A

N'C.N'B

ED).( EA

E'BE'D

KA ) =

BD N'A

CA AN CN AC

N'C DB = 1N'B DNNB

NC N'B = 1 (9) ; Từ (6) và (9) =>

ED E'B KA

EA E'D KB = 1 (10)Hệ thức (10) cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng

từ đó suy ra EE' ; FF' AB đồng qui tại K