Lược đồ giải phương trình logaritBước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp 2: Logarit hoá và
Trang 1Lược đồ giải phương trình logarit
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương
Phương pháp 2: Logarit hoá và đưa về cùng cơ số
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ
a Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ
b Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
c Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt với k ẩn phụ
Phương pháp 4: Hàm số bao gồm:
a Sử dụng tính liên tục của hàm số
b Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1: Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Dạng 1:
Phương trình: loga f x( ) =b
( )
b
a
< ≠
Dạng 2:
Phương trình: log f xa ( ) = loga g( )x
( ) ( ) 0
a
< ≠
Ví dụ 1: Giải phương trình: Logx(x2 + 4x – 4) = 3
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Biến đổi tương đương (Logarit hoá & Đưa về cùng cơ số)
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 2: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
x
< ≠
x
< ≠
x
< ≠
1 2
x x
x
< ≠
2
x
⇔ =
1
2
Trang 2Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 3: Giải phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 4: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
3
( 3 2)
x
+ >
1
2 2 2 0
x
> −
1
x
> −
1
x
> −
2
1
x
x
> −
2
x
⇔ =
3
( )
2
6 0
x
x x
x x
+ >
3log x+ − = 2 3 3log (4 − +x) 3log x( + 6)
Trang 3Vậy, pt có nghiệm…
Hãy nhớ rằng:
Ví dụ 5: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
Vậy, pt có nghiệm…
Ví dụ 6: Giải phương trình:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:
4 x 2 (4 x x) 6
2 8
1 33
1 33
x x x x
=
= −
= −
2
1 33
x x
=
log c
a b
2
.
a b
( 3 ) ( ) 1 ( 2 )
2
( )
3
2
8 0
x
+ >
+ + >
( 3 ) ( ) 1 ( )2
2
( 3 ) ( )
lg x 8 lg x 58 lg x 2
( 3 ) ( ) ( )
lg x 8 lg x 58 x 2
( 3 ) ( ) ( )
6
x x
=
2 log x = log logx 2x+ − 1 1
0
x x x
>
+ ≥
0
x
⇔ >
2
1
log log log 2 1 1
2
1
Trang 4Vậy, pt có nghiệm…
2
x
− + >
+ >
Nhận xét rằng:
7 4 3 − = − 2 3 Khi đó phương trình có dạng:
2
1
2
2
2log − x 3x 2 2log − x 1 log − x 2
log − x 3x 2 log − x 1 log − x 2
2
1
x
x
−
− +
2
1
2
x
x
−
− +
1
2
2 x
x
−
( )
Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình: log 3x+ log 4x= log 5x
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 3: 4 4 3
log log 3.log log log 3.log
=
=
Khi đó phương trình có dạng:
log x+ log 3.log x= log 3.log x
log x 1 log 3 log 3 0
2
log x 2log logx 2x 1 1
log x 2log 2x 1 1 log x 0
3
2
x
=
⇔
1
x
=
⇔
1
x
=
1
x
=
0
2
1
> =
+ = +
2
4
x
> = > =
Trang 5Vây, pt có nghiệm
Ví dụ 9: Giải phương trình: logcosx4.logcos x2 2 1 =
Biến đổi phương trình về dạng:
log 2 1
2
cosx
cosx
cosx cosx
cosx
1
Ví dụ 10: Giải phương trình: 3
log
x x
−
÷
=
Điều kiện: 2x 3 0
Biến đổi phương trình về dạng:
3
log
0
3
x
−
÷
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 11: Giải phương trình: ( )2 ( 3 )
log x− 1 = 2log x + +x 1 Biến đổi phương trình về dạng:
( 3 )
2log x− = 1 2log x + +x 1
3
⇔ − = + +
0
x
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 12: Giải phương trình: ( 2 ) ( )
2
log x − = 1 log x− 1
Điều kiện:
1
1 0
x
x x
− >
Biến đổi phương trình về dạng:
( 2 ) ( )
2
log x 1 x 1 0
(x2 1) (x 1) 1
2
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 13: Giải phương trình:
Biến đổi phương trình về dạng:
( 4 2 ) ( 4 2 ) ( 4 2 )
Trang 6( 4 2 ) 4 2
2
0
1
x
x
=
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 14: Giải phương trình: ( 2 ) ( 2 )
log x + 3x+ + 2 log x + 7x+ 12 = + 3 log 3
4
7 12 0
1
x
x
x
< −
+ + >
Viết lại phương trình dưới dạng:
log x + 3x+ 2 x + 7x+ 12 = log 24
(x2 3x 2) (x2 7x 12) 24
(x 1) (x 2) (x 3) (x 4) 24
(x2 5x 4) (x2 5x 6) 24 ( )2
Đặt t = x2 + 5x + 4, điều kiện t≥ −94 ( )∗∗
Khi đó (2) có dạng:
( 2) 24 2 2 24 0( ) 4
Với t = 4:
5
x
x
=
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 15: Giải phương trình log 2x+ log 3x+ log 4x= lgx
Điều kiện: x > 0
Ta biến đổi về cùng cơ số 10:
log log 10.lg log log 10.lg log log 10.lg
=
=
=
Khi đó phương trình có dạng:
log 10.lgx+ log 10.lgx+ log 10.lgx= lgx
lgx log 10 log 10 log 10 1 0
Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 16: Giải phương trình: x+ lg 1 2( + x) =xlg 5 lg 6 +
Viết lại phương trình dưới dạng:
lg 1 2x lg 6 lg 5 1
x
x x
x
x
+
Đặt t = 2x, điều kiện t > 0, khi đó phương trình có dạng:
( )
6 0
t
= −
2x 2 x 1
Trang 7Vậy, pt có nghiệm
Ví dụ 17: Giải phương trình: ( ) ( 1 ) ( ) ( )
1 log 3 log 3x 3 log 11.3x 9 1
1
log 3x− log 3x+ 3 log 11.3x 9
3x− 3x+ 3 11.3x 9
2
3 10.3 9 0
0
x
x
x x
Vậy, pt có nghiệm
log x+ 1 + = 2 log 4 − +x log 4 +x 1
Điều kiện:
( )
( )
2
x
x
+ >
( ) 1
4 log 4 1 log
4
x x
x
−
+
4
4
x x
x
−
+
( )
( )
2
2
1 0
1 4
4
4
x
x x
x
x
x
+ >
3
4
19 41
8
x
x
= −
⇔
− ±
=
( )
3 4
19 41 8
x x
⇔
− +
=
Vậy, pt có nghiệm