Thuật toán giải bài toán hình học thú vị

Thuật toán giải bài toán hình học thú vị

Một số bài toán hình học thú vị

Đào Đức Minh

Trong bàiviết 'Lý thuyết Hình học trong toán tin' của tác giả Nguyễn ThếAnh, được đăng trên ISM số 8 (2003), tác giả giới thiệu khá chi tiếtvề bài toán tin hình học cơ bản Cũng theo nội dung ấy, tôi xinđược giới thiệu thêm một số bài toán thú vị sau:

A Bài toánvề mối quan hệ giữa các yếu tố hình học:

1 Bài toán1.

Cho một đa giác và một điểm Hãy cho biết điểm đã cho có thuộc đagiác hay không (điểm đó thuộc cạnh đa giác cũng coi như là thuộcđa giác)

INPUT:

n (số đỉnh của đa giác)

x1, y1

…

xi,yi (là tọa độ lần lượt từng đỉnh đa giác theo chiều kimđồng hồ)

xn yn

x0, y0: tọa độ điểm cần xét

OUTPUT:

'Thuộc đagiác' hoặc 'Không thuộc đa giác'

Giải thuật:

- Qua điểm A cần xác định, dựng tia Ax’ sao cho Ax’//Ox

- Xác định số giao điểm tia Ax’ với cạnh đa giác

- Xét số giao điểm + lẻ: điểmA thuộcđa giác

+ chẵn: điểm A không thuộcđa giác

Bằng cáchvận dụng giải thuật trên và bài viết trước của tác giả Nguyễn ThếAnh, có lẽ việc cài đặt không khó với các bạn

2 Đặc biệt hóa bài toán 1.

Chúng ta xét trường hợp đặc biệt của bài toán 1 Ta sẽ thay 'đagiác' bằng tam giác Khi xét 1 tam giác, chúng ta sẽ nảy ra một 'ýtưởng' khác từ nhận xét sau:

Xét 1 điểm M thuộcDABCthì:

SABC = SMAB+ SMBC + S MAC

Còn nếu M không thuộcDABCthì:

SABC < SMAB + SMBC + S MAC

Như vậy, vớitam giác, ta có giải thuật sau:

- Tính SABC {có thể dùng công thức Herong hay bằng công thức:

- Tính SMAB+ SMBC + S MAC =S’

- Xét: + SABC = S’ →M thuộcDABC

+ SABC ≠S’ →M không thuộcDABC

3 Tổng quáthóa bài toán 2:

Bây giờ,chúng ta thử tổng quát bài toán 2 từ 'tam giác' lên 'tứ diện'xem sao:

{Các tọađộ điểm bây giờ có dạng {}(x,y,z)}}

Chúng ta cũngxuất phát từ nhận xét:

- M thuộcABCD thì VABCD = VMABC +VMBCD +VMCDA +VMDAB

- M không thuộcABCD thì VABCD < VMABC+ VMBCD +VMCDA+ VMDAB

Chúng ta hoàntoàn có thể tính được dễ dàng thể tích 1 tứ diện bằng công thức:

Chính vìthế, giải thuật trở nên đơn giản hơn:

- Tính V’= VMABC + VMBCD +VMCDA+ VMDAB

- Xét:+ Nếu V’=V suy ra M thuộctứ diện

+ Nếu V’ ≠V suy ra M không thuộc tứ diện

4 Qua những bài toán trên, bạn hãy tham khảo 2 bài toán tổng hợpsau:

a Cho 1 đa giác trên mặt phẳng Đa giác có thể lõm Hãy cho biết sốgiao điểm của nó với

1 đa giác khác (đa giác này lồi)

VD:

b Cho tứdiện Hãy cho biết tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện nằm trong hay ngoàitứ diện

B Lớp bàitoán về diện tích.

1 Bài toán: Tính diện tích đa giác cho trước.

Đây là bàitoán quen thuộc, các bạn cần nhớ để vận dụng các bài toán khác

2 Bài toánvề diện tích phủ:

Cho một số hình chữ nhật, hãy tính diện tích mà các hình chữ nhậttrên phủ

VD:

{Mỗi hìnhchữ nhật xác định bởi tọa độ đỉnh trên trái và đỉnh dưới phảicủa nó

* Nhận xét:

Với dạng toán này, ta cần:

- Chia nhỏ 'khu vực xét': là khu vực chắc chắn chứa vùng bị phủ vàvùng bị phủ chỉ nằm trong khu vực này {trong khu vực này còn có vùngkhông bị phủ.}

-Xét từng 'ố bị chia nhỏ: Nếu thuộcvùng phủ thì cộng dồn vào tổng diện tích phủ.

* Chúng ta xét ví dụ:

-Xác định khu vực xét: là hình chữ nhật có địa chỉ (x1,y1);(a2,b2)

- Ta chia thành các khu vực là các hình chữ nhật như hình vẽ

- Xét 1: (x1,y1); (a1,b1); (1) thuộchình chữ nhật (x1,y1), (x2,y2) nêncộng diện tích (1) vào tổng diện tích phủ

- Xét 2: (x1,y1);(a1,b2) không thuộchình chữ nhật nào cả nên không cộng vào…

Như vậy, chúng ta cần xét để chia hình chữ nhật lớn (x1,y1);(a2,b2) như thế nào?

Ta nhận thấy rằng nếu xếp hoành độ vào 1 mảng và theo thứ tự tăngdần và tung độ cũng làm tương tự thì ta dễ dàng xác định;

Ví dụ trên thì:

- Hoành độ: x1 a1 x2 a2

- Tung độ: b2y2 b1 y1

Lấy 2 sốliên tiếp ở dãy hoành độ như a1, x2

Lấy 2 sốliên tiếp ở dãy tung độ như b2, y2

Ta được hình chữ nhật (a1, y2); (x2, b2)

* Nhận xét:

Mục đích của việc chia hình chữ nhật là để xét từng hình chữ nhậtmà:

hoặc toàn bộ thuộc vùng phủ

hoặc toànbộ không thuộc vùng phủ

Tức là khôngxảy ra: có phần thuộc vùng phủ, có phần không thuộc vùng phủ

* Từ bài toán này, nếu ta thay 'h chữ nhật' bằng 'hình tròn'thì vấn đề cần suy nghĩ

thêm.Bởi vì hình tròn có diện tích không hề nguyên mà thông thường làsố vô tỉ nên ta chỉ

có thể tính chính xác đến vài số thập phân.Ta sẽ xét bài toán cho lời giải đúng với 1 số thập phân Từ đây,ý tưởng phân hoạch là: ta xét hình chữ nhật nhỏ nhất chứa cả cáchình tròn, sau đó, trong mỗi ô đơn vị của hình chữ nhật ta lạichia thành 100 ô nhỏ (mỗi cạnh bằng 0,1 đơn vị) Ta xét từng ô nhỏ,nếu ô nhỏ thuộc hình tròn Cộng vào diện tích tổng thêm (0,1)2, tương tự bài toán trên.Điều cần chú ý là mỗi ô nhỏ này ta có thể xem là một điểm nênta có thể nói 'điểm' có thuộc hình tròn Cộng vào: Diện tích tổng + (0,1)2