Cá sai lầm của học sinh khi giải toán

LỜI MỞ ĐẦUQua quá trình nghiên cứu hệ thống bài tập sách giáo khoa SGK, tìm hiểu,giảng dạy và ghi nhận cách giải của học sinh HS THCS, chúng tôi pháthiện ra rằng: khi giải toán, HS THCS

LỜI MỞ ĐẦU

Qua quá trình nghiên cứu hệ thống bài tập sách giáo khoa (SGK), tìm hiểu,giảng dạy và ghi nhận cách giải của học sinh (HS) THCS, chúng tôi pháthiện ra rằng: khi giải toán, HS THCS thường mắc không ít sai lầm Vấn đềnày ít được chú ý, phát hiện và sửa chữa cho HS Hơn nữa, hiện nay hìnhnhư chưa có tài liệu nghiên cứu về vấn đề này, mà chỉ có những tài liệunghiên cứu những sai lầm khi giải toán của HS THPT Vậy một câu hỏi đặt

ra là: Có phải đây là vấn đề không đáng được quan tâm? Chúng tôi nghĩrằng, nếu không sớm khắc phục những sai lầm của HS ngay ở THCS thì sẽrất khó khăn cho HS sau này Vì vậy, chúng tôi chọn thực hiện tài liệunhằm hướng đến việc tìm hiểu các sai lầm thường gặp của HS THCS khigiải toán Chúng tôi mong muốn tài liệu trở thành tư liệu trước hết phục vụcho các giáo viên tham khảo Sau đó, có thể giúp HS biết né tránh nhữngsai lầm thường gặp, biết cách khắc phục những sai lầm ấy

Nói rõ hơn, chúng tôi nghiên cứu tài liệu này nhằm phát hiện ra những sailầm thường gặp của HS THCS khi giải toán Trên cơ sở tìm hiểu, phân tíchnguyên nhân mắc sai lầm, chúng tôi đề xuất những biện pháp khắc phục cóhiệu quả

Chúng tôi nghiên cứu dựa theo bộ SGK đổi mới 6, 7, 8 và chỉ tập trungnghiên cứu các sai lầm liên quan đến việc: viết ký hiệu, vẽ hình, áp dụngcông thức, tư duy logic

Tài liệu chúng tôi gồm các phần sau:

- Thử lý giải các sai lầm khi giải toán của HS THCS

- Các sai lầm thường gặp của HS THCS khi giải toán

Tài liệu được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình của quý thầy cô củatrường THCS Lê Thánh Tôn và các đồng nghiệp Chúng tôi xin biết ơn sâusắc về sự quan tâm, chỉ bảo của quý thầy, cô Đồng thời xin cám ơn Bangiám hiệu, tổ KHTN, đặc biệt là thầy Dương Trọng Thu - Hiệu trưởngtrường THCS Lê Thánh Tôn đã tạo điều kiện để chúng tôi có cơ hội thựchiện tài liệu này Dù đã cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh khỏinhững thiếu sót, kính mong quý thầy cô đóng góp ý kiến Chân thành cámơn

Trần Thị Minh Thoa

CHƯƠNG 1: THỬ LÝ GIẢI MỘT SỐ SAI LẦM TRONG GIẢI

TOÁN CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ.

Ở lứa tuổI THCS, tâm lý các em chưa ổn định, chưa thật sự suy nghí sâusắc, thấu đáo việc làm của mình Chính vì vậy, khi giải toán HS chỉ chútrọng đáp số, không chú trọng phương pháp giải Vì thế, HS thường mắc sailầm trong giải toán Hơn nữa, ở lứa tuổi này, HS thường muốn chứng tỏ khảnăng của mình, điều này kích thích khả năng sáng tạo của HS Tuy nhiên,

HS lại chưa đủ cơ sở kiến thức để có thể khẳng định đúng hoặc sai, dẫn đến

dễ ngộ nhận

Trong quá trình dạy học, HS chủ động tiếp thu tri thức dưới sự hướng dẫncủa người dạy để hình thành kỹ năng, kỹ xảo Nếu ngay từ giai đoạn tiếpthu, HS có sự nhầm lẫn sẽ dễ dàng dẫn đến việc áp dụng sai kiến thứ Mặtkhác, tư duy của HS đi từ: tư duy quan sát- tư duy tương tự- tư duy sángtạo Nếu ngay ở giai đoạn tư duy quan sát, HS không hiểu được bản chấtcủa tri thức thì khi áp dụng tương tự, HS thường rất máy móc, thụ động và

có thể dẫn đến sai lầm

Trong khi chỉ ra những sai lầm, đưa ra cách khắc phục, người dạy đã rènluyện cho HS tính kỷ luật cao, tác phong nghiêm túc, đáp ứng yêu cầungười lao động trong thời đại mới

CHƯƠNG 2: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH THCS KHI GIẢI TOÁN

2.1 SAI LẦM Ở SỐ HỌC LỚP 6

2.1.1 Sai lầm trong cách viết ký hiệu tập hợp số tự nhiên

Bài toán 1:Cho:

a)A={1,2,3,4,5} b)B={a,b,c} c) C={1;a}

Trong các trường hợp trên, cách viết nào đúng tập hợp.Tại sao?

 Cách giải sai của HS của HS:

Trường hợp a) sai vì các phần tử số cách nhau bởi dấu phẩy

Trường hợp c) sai vì các phần tử không cùng loại

 Cách giải đúng:Trong ba trường hợp trên không có trường hợp nào viếtsai cách viết tập hợp

? Nguyên nhân sai lầm:

Trường hợp a) HS hiểu sai khi tập hợp gồm các số, nhất thiết các phần tửphải được ngăn cách nhau bởi dấu chấm phẩy

Trường hợp c) HS hiểu sai các phần tử trong cùng một tập hợp phải cùngmột loại

! Khắc phục:

Khái niệm tập hợp là một khái niệm không được định nghĩa.Vì vậy, ngườidạy không thể đặt câu hỏi “Tập hợp là gì?” mà chỉ mô tả cho học sinh hiểuqua các ví dụ Do đó, khi cho ví dụ để minh hoạ, người dạy cần cho nhiều

ví dụ đa dạng, thay đổi các yếu tố không bản chất như: thay đổi số phần tửtrong tập hợp, các phần tử trong cùng một tập hợp không cùng loại

Khi viết tập hợp HS hiểu nhầm nếu phần tử là số thì phải dùng dấu chấmphẩy, các phần tử của tập hợp không phải là số thì dùng dấu phẩy Điềunày không đúng với chú ý được trình bày trong SGK: “Các phần tử của tậphợp được viết trong dấu ngoặc nhọn {}, cách nhau bởi dấu chấm phẩy (nếu

có phần tử là số) hoặc dấu phẩy” Tuy nhiên, người dạy chú ý cho HS hiểurằng ta thường dùng dấu “;” trong trường hợp có phần tử của tập hợp là số

để tránh nhầm lẫn giữa số tự nhiên và số thập phân

Bài toán 2: Cho tập hợp A= {15;24;6} Điền ký hiệu ,  hoặc = vào ô

2.1.2 Sai lầm trong tính toán với bài toán luỹ thừa

Bài toán 3: Viết kết quả bài toán sau dưới dạng luỹ thừa

Cách giải sai của HS:

a)13+23 không phải là số chính phương Vì 13+23=33

b)32+52=(3+5)2=82 Nên 32+52 là số chính phương

Cách giải đúng:

a)13+23=1+8=9=32 Vậy tổng cho là một số chính phương

b) 32+52= 9+25=34 Vậy tổng cho không phải là số chính phương

? Nguyên nhân sai lầm: HS nhầm lẫn : am+am=(a+b)m

! Khắc phục: Kiến thức luỹ thừa của một số tự nhiên là kiến thức mới đốivới HS lớp 6 vì vậy HS thường nhầm lẫn trong sử dụng kiến thức

Ở bài toán 3 HS sai lầm do suy nghĩ rằng:

Với an= a.a a (n thừa số a)(n>0) và am=a.a a(m thừa số)(m>0) thì

am.an=a.a a (m.n thừa số)=a m.n

Do vậy, khi dạy kiến thức này, trước khi đưa ra quy tắc nhân hai luỹ thừacùng cơ số dưới dạng tổng quát cần đưa ra ví dụ cụ thể, sau đó nâng lêntổng quát:

2.1.3 Sai lầm trong vận dụng kiến thức về tính chất cơ bản của phân số, rút gọn phân số.

Bài toán 6: Rút gọn các phân số sau:

? Nguyên nhân sai lầm:

HS thường rút gọn các số hạng giống nhau ở tử và mẫu chứ không phảithừa số chung, thường các em ít để ý đến phép toán đi kèm với các hạng tửđó

Bài toán 7: Tìm phân số bằng phân số 6032 , biết tổng của tử và mẫu là 115

 Cách giải sai của HS:

Theo tính chất cơ bản của phân số, các phân số bằng phân số

5 8

? Nguyên nhân sai lầm:

HS không rút gọn phân số 6032 thành phân số tối giản158 , mà khẳng địnhcác phân số bằng phân số

nhiều phân số bằng phân số6032 Do đó, HS không thể tìm được đáp số củabài toán trên.

2.2 SAI LẦM Ở PHẦN HÌNH HỌC LỚP 6

2.2.1 Tia

Bài toán 7:Vẽ tia AB, lấy điểm M thuộc tia AB Hỏi điểm M nằm giữa hai

điểm A và B hay điểm B nằm giữa hai điểm A và M

Cách giải sai của HS:Điểm M nằm giữa A và B

 Cách giải đúng: Điểm M nằm giữa hai điểm A, B hoặc điểm B nằm giữahai điểm A, M

? Nguyên nhân sai lầm: HS bị mắc sai lầm vì cho rằng tia AB sẽ bị giới hạnbởi gốc A và điểm B

! Khắc phục: Khi dạy khái niệm tia, ngoài định nghĩa mô tả về tia gốc O,cần phát biểu với nhiều hình thức khác nhau, tương đương về mặt logic: Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi

là một tia gốc O

Hình tạo bởi điểm O và phần đường thẳng chứa tất cả các điểm nằm cùngphía đối với Olà một tia gốc O

Bài toán 8:Vẽ hai tia đối nhau Ox, Oy.

a)Lấy AOx,BOy.Viết tên các tia trùng với tia Ay

b) Hai tia Ay và OB có trùng nhau không?

c) Hai tia Ax và By có đốI nhau không?

 Cách giải sai của HS

a) Các tia trùng với tia Ay là OB, Oy, AO

b) Hai tia AB và Oy trùng nhau

c) Hai tia Ax và By đối nhau

 Cách giải đúng:

a) Các tia trùng với tia Ay: tia AB, tia AO

b) Hai tia AB và Oy không trùng nhau vì chúng không chung gốc

c) Hai tia Ox và Ay không đối nhau vì không chung gốc

? Nguyên nhân sai lầm:

HS thường nhìn vào hình vẽ, nên dễ nhầm lẫn giữa hai tia trùng nhau khihai tia có điểm chung và cùng đặt trên một đường thẳng Sai lầm khi hiểurằng hai tia đối nhau khi hai tia cùng tạo thành một đường thẳng

nhọn và các góc được vẽ thêm các ký hiệu nối hai cạnh của góc.

! Khắc phục: Khi dạy HS nhận dạng góc, người dạy cần nhấn mạnh địnhnghĩa:” Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc” Vậy người dạy hướng dẫn

HS phải tìm đầy đủ các tia chung gốc , đặc biệt là hai tia đối nhau HSthường bỏ sót

y x

z

P S

2.3.1.2 Sai lầm về giá trị tuyệt đối:

Bài toán 11: Tìm x biết:

a) |x| = 7

b) |x| = -3

 Cách giải sai của HS:

a) Chú ý HS: trị tuyệt đối của hau số đối nhau thì bằng nhau

b) Người dạy cần khắc sâu định nghĩa về giá trị tuyệt đối của số x:”trịtyệt đốI của một số x là khoảng cách từ điểm x đến điểm O trên trụcsố” Vì thế trị tuyệt đối là một số không âm

2.3.1.3 Sai lầm về các công thức lũy thừa

Bài toán 12: Viết các số sau dưới dạng lũy thừa:

2 2

2

2

1 2

5 =58 Từ đó rút ra

n m m

? Nguyên nhân sai lầm :

HS áp dụng nhầm tính chất dãy tỉ số bằng nhau nên dẫn tới giải sai, tínhchất đúng là a c a c

2.3.2.1 Sai lầm trong cách viết :

Khi tính căn bậc hai của số không âm cần chú ý số a dương luôn có hai cănbậc hai là a> 0 và - a< 0, nhưng HS lại viết :

16 4

Viết đúng : 16 4

- 164

Hay  164

2.3.2.2 Sai lầm trong vận dụng kiến thức

Bài toán 16 : Chọn câu đúng nhất :

(-5)2 có căn bậc hai là:

C Số (-5)2 không có căn bậc hai C 25 5 và - 25 = -5

 Cách giải sai của HS :

câu A

 Cách giải đúng :

Câu D

? Nguyên nhân sai lầm :

Số a dương luôn có hai căn bậc hai là a> 0 và - a < 0, số a âm không cócăn bậc hai, HS nghĩ rằng chỉ có một căn bậc hai của số dương

2.3.3 Sai lầm trong vận dụng kiến thức của bài toán đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch.

Ở Tiểu học, HS đã học: hai đại lượng gọi là tỷ lệ thuận với nhau nếu đạilượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặcgiảm) bấy nhiêu lần Lên lớp 7, HS vẫn còn áp dụng định nghĩa trên để xéthai đại lượng tỷ lệ thuận, nên dễ sai lầm Vì vậy người dạy cần chú ý cho

HS hai đại lượng tỷ lệ thuận với nhau nếu chúng có liên hệ với nhau bằngcông thức dạng y=k.x (k 0 ) Giải thích rõ ở Tiểu học là trường hợp k>0.Tương tự với trường hợp hai đại lượng tỷ lệ nghịch

Bài toán 17 : Điền vào ô trống

a) Nếu x và y tỷ lệ nghịch, y và z cũng tỷ lệ nghịch thì x và z

b)Nếu x và y tỷ lệ nghịch, y và z cũng tỷ lệ thuận thì x và z

c) Nếu x và y tỷ lệ thuận, y và z cũng tỷ lệ thuận thì x và z

 Cách giải sai của HS :

? Nguyên nhân sai lầm :

HS sử dụng tính chất bắc cầu để giải bài toán trên

Bài toán 18: Cho biết 10 người có cùng năng suất làm việc thì sẽ xây xong

một căn nhà trong 6 tháng Hỏi với 15 người năng suất như trên thì xâyxong căn nhà trong thời gian bao lâu ?

 Cách giải sai của HS :

10 người xây nhà xong trong 6 tháng

15 người xây nhà xong trong x tháng

15  (tháng)

? Nguyên nhân sai lầm sai lầm :

Chúng ta thấy rằng giữa số người và thời gian xây xong căn nhà là tỷ lệnghịch với nhau Người càng đông thì thời gian xây xong căn nhà càngngắn, nên chúng ta không thể áp dụng quy tắc tam xuất như bài tỷ lệ thuận,

mà phải tìm tỷ số k của người xây và thời gian Một số học sinh không phânbiệt được bài toán tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch, nên người dạy cần phải cho

em các dạng bài tập khác nhau để khắc sâu kiến thức

2.3.4 Sai lầm trong quy tắc bỏ dấu ngoặc hoặc nhóm ngoặc từ hai đa thức một biến

Bài toán 19: Cho hai đa thức

? Nguyên nhân sai lầm :

HS hay quên: khi bỏ dấu ngoặc phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc, nếutrước dấu ngoặc là dấu “-“

! Khắc phục :

Thường xuyên làm các bài tập vận dụng để khắc sâu kiến thức cho họcsinh

2.3.5 Sai lầm trong tính giá trị biểu thức đại số :

Bài toán 20: Tính giá trị của biểu thức 3x 2 – 5x + 1 tại x = -1 và x =1

? Nguyên nhân sai lầm sai lầm :

Do trong biểu thức cần tính giá trị có hai vị trí xuất hiện biến x, đồng thờibài toán lại yêu cầu tính giá trị của biểu thức tạI hai giá trị x khác nhau, nên

có HS đã nghĩ rằng thay hai giá trị x vào hai nơi tương ứng

! Khắc phục : Người dạy cần chỉ cho HS thấy rõ cần tính giá trị của biểuthức ấy hai lần, mỗi lần tại một giá trị của x

2.4 SAI LẦM Ở HÌNH HỌC 7.

2.4.1 Sai lầm trong vẽ hình

Bài toán 21:

Cho tam giác ACB vuông tại C

Dựng phân giác góc nhọn A và trung trực cạnh CB cắt

nhau tại O Nối O với B và C Kẻ OK  AC, OM 

AB Chứng minh CK=MD

 Cách giải sai của HS :

Xét hai tam giác vuông AOK và AOM, có:

Xét hai tam giác vuông OKC và OBM, có

OK=OM ( tính chất đường phân giác)

OB=OC (gt)

Suy ra OKC = OBM (c.góc vuông –c.huyền)

Suy ra CK=MB (đpcm)

? Nguyên nhân sai lầm: Vẽ hình sai.Vì nếu cắt trong

tam giác thì có điều vô lý:

AC = AK + KC = AM + MB = AB Vậy cạnh huyền

2.4.2 Sai lầm trong chứng minh phản chứng

Bài toán 22: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=4,5cm , BC=7,5 cm.

Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

 Cách giải sai của HS :

Giả sử tam giác ABC vuông tại A

Theo định lý pitargo ta có:

BC2 =AC2+AB2

M K

A

K

M A N

E K

C B

Thay AB=6cm, AC=4,5cm , BC=7,5cm vào BC2 =AC2+AB2 ta được:

7,52 = 4,52+62

56,25= 20,25 +36 (đúng) Vậy tam giác ABC vuông tại A

 Cách giải đúng :

Ta có : 7,52 = 4,52+62

Hay BC2 =AC2+AB2

Nên tam giác ABC vuông tại A (định lý pitargo đảo)

? Nguyên nhân sai lầm:

Hs chưa hiểu bản chất của chứng minh phản chứng

! Khắc phục : Người dạy nên giải thích cho HS hiểu : chứng minh phảnchứng là ta giả sử điều phủ định của kết luận, sau đó lập luận chính xác đểdẫn đến điều mâu thuẫn với giả thiết hay mâu thuẫn với một điều đúngkhác

2.4.3 Sai lầm trong chứng minh ba điểm thẳng hàng:

Bài toán 23: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm

của AC Trên tia đốI của tia AC lấy điểm M sao cho KM=KC Trên tia đốIcủa tia EB lấy điểm N sao cho EN=EB Chứng minh rằng A là trung điểmcủa MN

 Cách giải sai của HS :

Các bước chứng minh hoàn toàn tương tự như trên nhưng bổ sung thêmphần chứng minh 3 điểm M, A, N thẳng hàng.

CM: Do MAK = CBK suy ra M AˆBA BˆC (4)

Do ANE = CBE suy ra E AˆN E CˆB (5)

Mặt khác, trong tam giác ABC ta có:

0

180 ˆ

Từ (3) và (7) ta suy ra: A là trung điểm của MN

? Nguyên nhân sai lầm:

Khi HS nhìn vào hình vẽ tưởng rằng A, M, N thẳng hàng nên không cầnchứng minh.Mặt khác, có thể HS không nắm vững định nghĩa trung điểmcủa một đoạn thẳng

Bài toán 25(bài 57/t.131-SGK lớp 7/tập 1):

Tam giác ABC có AB =8, AC =17, BC=15 có phảI là tam giác vuông hay không?

Cách giảI sai của HS:

1 3 5

Từ (1) và (2) suy ra AB2+BC2 = AC2 nên tam giác ABC vuông tạI B(định lýPitago đảo).

2.5 SAI LẦM Ở ĐẠI SỐ LỚP 8:

2.5.1 Sai lầm trong vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài toán 24: Viết 8x3-y3 dưới dạng tích

 Cách giải sai của HS 1: (8x –y)(8x2-8xy+y2)

 Cách giải sai của HS 2:( 2x-y)(4x2+8xy+y2)

 Cách giải đúng:8x3-y3=(2x)3-y3=(2x-y)(4x2-4xy+y2)

? Nguyên nhân sai lầm:

Hằng đẳng thức: A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)

Đối với hằng đẳng thức trên HS thường nghĩ A và B chỉ đại diện cho biến,không đại diện cho hạng tử nên khi hạng tử là một đơn thức có phần biến và

hệ số thì phần hệ số được giữ nguyên không biến đổi

Sai lầm thứ hai: HS dễ nhầm lẫn dấu của hằng đẳng thức (HĐT)

HS bị ám ảnh bởi HĐT bình phương một tổng, bình phương một hiệu nên

dễ sai lầm : A3+B3=(A+B)(A2-2AB+B2)

! Khắc phục :

Đưa ra nhiều ví dụ, thay đổi hạng tử từ đơn thức đơn giản chỉ gồm phầnbiến, đến đơn tức gồm có phần hệ số và phần biến Nhấn mạnh HS trướckhi áp dụng HĐT cần phảI đưa các hạng tử về đúng dạng

Lưu ý cho HS tên gọi biểu thức:(A2-AB+B2) là bình phương thiếu

Trong quá trình dạy HĐT, các cụm từ “ lập phương của một tổng” với

“tổng hai lập phương “; “lập phương một hiệu” với “hiệu hai lập phương”thường dễ hiểu nhầm giữa hai khái niệm ấy

Bài toán 25: Tính giá trị của biểu thức tại x=-11, y=20

a) 2xy2+x2y4+1

b) x3+x2+ x

4

1

 Cách giải sai của HS:

a) Thay x=-11 và y=20 vào biểu thức 2xy2+x2y4+1

Ta có :2(-11).202+(-11)2.204+1= 19351201

Vậy giá trị của biểu tức 2xy2+x2y4+1 tại x=-11 và y=20 là 19351201

b) Thay x=-11 vào biểu thức x3+x2+ x

4 1

Ta có (-11)3 +(-11)+

4

1.(-11)=

2 1)2