Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân.. Tính nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng
Trang 1CHỦ ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tuần 2 : 6 tiết – Từ 04/04 đến 09/04 MỤC TIÊU
Kiến thức cần nhớ
1 Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Phương pháp đổi biến số Tính nguyên hàm từng phần
2 Định nghĩa và các tính chất của tích phân Tính tích phân của hàm số liên tục, công thức Niu-tơn Lai-bơ-nit Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân
3 Diện tích hình thang cong Các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân
Các dạng toán cần luyện tập
1 Tính nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm
và cách tính nguyên hàm từng phần
2 Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm
3 Tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần
4 Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân
5 Tính diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhận trục hoành làm trục nhờ tích phân
CHUẨN BỊ:
Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập ôn tại lớp và bài tập rèn luyện ở nhà cho học sinh Hoc sinh : Xem lại bài củ và giải các bài tập giáo viên đã giao trước
TIẾN TRÌNH ÔN TẬP
Hoạt động 1 : Ôn tập hệ thống lý thuyết
Hoạt động 2 : Rèn luyện các dạng toán cần luyên tập
Bài 1 : Tìm nguyên hàm F x( ) của các hàm số sau :
x
( ) sin 2 os3 3tan
Em hiểu thế nào về yêu
cầu của bài toán ?
Khi f x( ) có nguyên
hàm thì nó có vô số
nguyên hàm và các
nguyên hàm này sai
Tìm F x ( ) f x dx( )
Tìm C trong F x( ) thỏa điều kiện bài toán
Hai học sinh lên bảng thực hiện hai bài tập
a Ta có :
2 3
1
2
ln 4
x
x
Do F(1) 1 C4e
Vậy nguyên hàm cần tìm là :
Trang 2khác nhau bởi một hằng
số Với yêu cầu của bài
toán ta phải chỉ ra đúng
một nguyên hàm thỏa
điều kiện bài toán , tức
là phải đi tìm hằng số C
3
F x x x e e
( ) sin 2 os3 3tan
Do F ( ) 0 C = 3 2
5
Vậy nguyên hàm cần tìm là :
cos5 cos 3tan 3 3
Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau :
a (1 2 ) x dx3 b sin cos2x xdx c (1 x) cosxdx d (1 2 x x e dx 2) 3x
e 2
4
dx
dx
x
1
x
dx
3
2
x dx
x
Hãy phân chia theo từng
cách giải của các bài nguyên
hàm trên
Giáo viên gọi 3 học sinh
giải bài a, e, g
Gọi 2 học sinh giải bài e , g
Gọi 2 học sinh giải bài : c , d
Học sinh thảo luận và đưa ra kết luận
+ Biến đổi thông thường Bài a , e , g
+ Đổi biến số : bài b , f +Nguyên hàm từng phần : bài c và d
Học sinh nhận xét
Bài giải các bài tập trên
Bài 3 : Tính tích phân bằng phương pháp đưa về các nguyên hàm cơ bản
Tính các tích phân sau :
a
2 2
3 1
2
dx
x dx
3
ln 2 0
1
x x
e dx
e dx
2 2
sin 2 sin 7x xdx
1 1
2 ( 2)( 3)
dx
Các tích phân được giải
bằng phương pháp nào ? Biến đổi hàm số thành tổng của các hàm số cơ a
Trang 3Trình bày cách biến đổi
các hàm số trên thành
tổng của những hàm số
có trong bảng nguyên
hàm ?
Gọi học sinh thực hiện
bài tập
bản có trong bảng nguyên hàm
Học sinh trả lời
1
ln 1
ln 2 2
b ln 2 3
0
1
x x
e dx
e dx
0 0
1
2
1 1
c
2 2
sin 2 sin 7x xdx
2 2
1 (cos5 cos9 )
2 2
sin 5 sin 9
45
d
1 1
2
dx
dx
x x
Bài 4 : Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
a
2
1
2
x dx
1 2 1
2 1 1
x
dx
1
2 7 0
( 2)
0
sin
x
e
1
2 2
0( 4)
x
dx
x
0
sin (1 cos )
x dx x
ln 2
e x dx x
1
3 2 0
4
Em hãy nêu những dạng biểu
thức đướ dấu tích phân như
thế nào thì ta chọn phương
pháp đổi biến số để tính tích
phân ?
Dạng tổng quát là :
( ) ( ) '( )
f x g u x u x
Cụ thể :
'( ) ( )
( )
g x
f x
g x
( ) ( ) '( )
f x u x u x
a Đặt u x2
2 2
2
dx udu
Đổi cận
Trang 4Hãy nhận dạng các tích phân
đã cho và đề xuất cách đổi
biến
1 ( ) (ln )
x
( ) '( ) ( )
f x u x u x ……
2 2
2 3 3
1
u x x
c Đặt : u x 2
d Đặt : u cosx
e Đặt : u x 24
f Đặt : u 1 cosx
g Đặt : u lnx 2
h Đặt : u x24
Bài 5 : Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần
a
1
0
(x1)e dx x
0
(x 1) cosxdx
3 1
(2x5) lnxdx
0
sin
Hãy nêu lại các dạng biểu
thức dưới dấu tích phân
như thế nào thì ta chọn
phương pháp tích phân
từng phần để tính tích
phân đó
Nêu cách chọn u và v’
Dạng thường gặp :
sin( ) cos( ) ( ) ( )
ln( )
ax b
ax b
ax b
e
ax b
Học sinh thực hiện
a
1
1 0
(x1)e dx x
1 1
0 0
x e e dx
=
1 1
0 0
( 1) x x
x e e e
v x v x
2 0
(x 1) cosxdx
0
1 sin
2 0
sin xdx
0
( 1) cos
2
x
2
v x v x x
3 1
(2x5) lnxdx
Trang 5=
3 3 2
1 1
5
5 ln
x
=
3 2
1
24ln 3 5ln
2
x
x
0
sin
2 0
1
cos 2
0 0
cos 2
2 xdx 2 x xdx
2 0
1
2 xdx
2 2 0
4
x
16
Đặt u x du dx
1
2
2 0
1 cos 2
2 2 0 0
sin 2 sin 2
2 0
1 cos 2
Bài 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a y x 42x23;y0;x1;x3
b y x 2 2;y3x2
c y x 212x36;y6x x 2
d y x 3 2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng 1
Nêu các dạng hình phẳng
đã học ?
Thông thường mỗi hình
phẳng được xác định bởi
mấy đường ?
Học sinh phải nêu được 2 dạng
Mỗi hình phẳng được xác định bởi 4 đường
Khi giả thiết cho không đúng với mẫu của hình phẳng đã học ta phải tìm cách đưa về dạng mẫu bằng cách tìm thêm
a Diện tích hình phẳng cần tìm là :
3
4 2 1
3 5
3
1
3
x
b Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là :
Trang 6đường còn thiếu hoặc phân chia hình phẳng đã cho thành tổng hoặc hiệu của những hình phẳng mẫu
2 2
1 4
x x
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
1 2 4
( 2) ( 3 2)
1 3
2
4
3
3 2
x
c Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là :
2
12 36 6
2 7
x x
Diện tích cần tìm là :
7
2
S x x x x dx
7 2 2 7 2 2
(2 18 36)
=
7
3 2
2
2
3x x x
d Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 1) là d: y x 2
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là :
2
x
x
Diện tích cần tìm là :
2 3 1
27
3 2
4
Bài 7 : Tính vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a y x (4 x y); 0
b sin ; 0; 0;
x
y y x x c yln ;x y0;y e
Trang 7Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Nêu lại công thức tính thể
tích vật thể tròn xoay đã
học ?
2( )
b
a
V f x dx a Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox:
0 (4 ) 0
4
x
x
Thể tích cần tìm là :
4
2 0
(4 )
V x x dx
4
4 3 2 0
4 5
4 3
0
8 16
2
x
b Thể tích cần tìm là :
2
x
0
sin
2 2
c Ta có : lnx 0 x 1
Thể tích cần tìm là :
2 1
ln
e
V xdx
Đặt
2 2ln ln
' 1
x
x
1
=
1
2 ln
e
e xdx
x
' 1
v v x
1
1
ln ( ln )
1
e
e x
Vậy thể tích cần tìm là :
( 2)
v e
Trang 8Các bài tập Rèn luyện
1.Tính các tích phân sau :
Biến đổi thành tổng của các hàm
1
2 2
0
1
dx x
2
1
2
0 4
dx
x
3
4
2
0
x x dx
0
sin xdx
5
0
sin cos3x xdx
6 2
0
sin
4 x dx
7
2
2
4
(cot x 2)dx
8 2
0
(cos 4 cos3x x sin 4 sin 3 )x x dx
9
4 2
1
3 1
dx
x x
10
1
3
2 2
0
(2 3x x x dx)
1
1
3 4 0
(1 )
x x dx
2
4 2 3
2 1 2
x dx
3
1
2 2 0
5 4
x
x
0
sin cosx xdx
5
1
3 2 0
1
x x dx
6
1
ln 3
e x dx x
7
1
2 5 3 0
(x 1) x dx
8
1
2 0
1 x dx
9
1
3
0 2
x
x
e dx
e
0
sin xdx
1
ln
e
2
1
2 1 0
x
x e dx
0
(x 1) cosxdx
4 2
0
(x 3)sin 2xdx
0
( 1) os
2
x
6
1
ln( 1)
e
x x dx
7 4
2 0
2 1 os
x dx
8
3
2 2 0
( 1) x
x e dx
9
0
( x cos )
1
ln
e x dx x
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường sau :
a y x 3 3x 2 và trục hoành
b y ln ,x x 1,x e
e
1
x
x
d y x 31 và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ bằng -2
e y2 ;x y2;x0
3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
x
c y2x2 x Ox x4; ; 1;x2 d 2 ; 0; 0; 1
2
x