Mã xyclic cục bộ tự đối xứng đặc tính, thuật toán, chương trình lập và giải mã

Cũng theo hướng nghiên cứu trên quan điểm về cấu trúc đại số thì mã Xyclic cục bộ XCB ra đời.. Nghiên cứu về mã KCS làm sao tạo ra được các bộ mã cho phép giảm độ dài từ mã n mà khả năn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ CÔNG NGHIỆP

VIỆN NGHIÊN CỨU ĐIỆN TỬ TIN HỌC VÀ TỰ ĐỘNG HOÁ

ae,

TRẦN ĐỨC SỰ

MÃ XYCLIC CỤC BỘ TỰ ĐỐI XỨNG ĐẶC TÍNH, THUẬT TOÁN, CHƯƠNG TRÌNH LẬP VÀ GIẢI MÃ

Chuyên ngành: Ứng dụng điện tử trong kinh tế quốc

dân và nghiên cứu khoa học

Phân biện]: PES LS heii bedi ey

Phản biện2: 2Ä ih beeen Mane Lhe

~ -“

Phản biện 3: Phi LS Lee Mijn L Aloe

Luan án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước

họp tại: Viện Điện tử - Tin học - Tự động hoá

vào hồi ,Z giờ Z.@ ngày ¿2 tháng 7 nam2dDes

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: ⁄z⁄6x«.(24.4466./ZZ%

LỜI MỞ ĐẦU

Mã khống chế sai (KCS) là thành phần quan trọng trong truyền tin

nhằm nâng cao độ tin cậy Xuất phát từ những nghiên cứu ban đầu

của Shannon năm 1948 đưa ra lý thuyết về KCS Sau đó nhiều nhà

nghiên cứu quan tâm phát triển theo nhiều hướng khác nhau Ngày

nay mã KCS đã trở nên đa dạng trong nhiều loại hình thông tin liên

lạc khác nhau

Một trong các loại mã KCS được ứng dụng nhiều nhất là mã

xyclic Nhưng mã xyclic truyền thống có những nhược điểm của nó:

khả năng lựa chọn số bệ mã hạn chế, tốc độ mã hóa/giải mã chưa cao,

có ít phương pháp lập mã tổng quát

Cũng theo hướng nghiên cứu trên quan điểm về cấu trúc đại số thì

mã Xyclic cục bộ (XCB) ra đời Đây là một loại mã không những bao

hàm mọi tính chất của mã xyclic truyền thống, mà còn có nhiều ưu

điểm nổi trội và thiết thực như: khả năng lựa chọn mã đa dạng, tốc độ

lập mã, giải mã nhanh hơn

Quan điểm về mã XCB không dừng lại ở đó Đã có một số công trình tiếp tục nghiên cứu theo hướng này Các công trình nghiên cứu

ấy đã có những thành công khi đưa ra bộ mã tối ưu cho mỗi tình

huống lựa chọn, tuy nhiên tính hiệu quả ở khía cạnh tốc độ truyền tin thì chưa có công trình nào để cập đến Tăng hiệu suất truyền là nhu cầu thực tế và ngày càng cấp thiết: nố làm giảm chi phí truyền thông

và đối với các thông tin nhạy cảm cần bảo mật thì thời gian truyền càng rút ngắn càng góp phần chống tấn công chặn thu thám mã của đối phương

Vậy bài toán đặt ra cho để tài là, với các thông số đặc trưng của

mã khống chế sai gồm độ đài từ mã ø, số dấu thông tin &, khoảng

c4ch Hamming d,, khi cd dinh & va dp, độ dài từ mã ø càng nhỏ càng

tốt (nghĩa là tốc độ truyền tin càng cao) Tuy nhiên với các bộ mã XCPB hiện nay giảm n sẽ làm giảm khả năng phát hiện sai và sửa sai

của mã Vậy làm sao để giảm được œ mà vẫn bảo toàn khả năng sửa

sai của mã Đây chính là mục tiêu của luận án cần giải quyết

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ MÃ KHỐNG CHẾ SAI

Chương này trình bảy tổng quan về tình hình phát triển lý thuyết

mã khống chế sai trong và ngoài nước Phân tích kết quả nghiên cứa

về mã xyclic và mã XCB đã được công bố Qua đó khẳng định các mục tiêu chính của để tài

1.1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Nâng cao độ tin cậy của hệ thống truyền tin là một yêu cầu thực tiễn Một trong các giải pháp nhằm nâng cao độ tin cậy đó là áp dụng

các mã KCS trong truyền tin Sự xuất hiện ngày càng nhiều loại hình

thông tin đòi hỏi thêm nhiều hơn nữa bộ mã có khả năng KCS cao

phù hợp với từng loại hình cụ thể

Tuy nhiên áp dụng mã KCS sẽ làm tăng dung lượng truyền, dẫn

đến giảm hiệu suất sử dụng kênh Nghiên cứu về mã KCS làm sao tạo

ra được các bộ mã cho phép giảm độ dài từ mã n mà khả năng sửa sai

tương đương với những bộ mã có chiều dài n lớn hơn là một mục tiêu

của truyền tin Vậy nghiên cứu về mã KCS nhằm tìm ra nhiều bộ mã

tối ưu mới đáp ứng đòi hỏi không ngừng của thực tế luôn là vấn đề

thời sự và cấp thiết

1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VỀ MÃ KCS TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC

1.2.1 Các quan điểm nghiên cứu mã khống chế sai

~_ Trên quan điểm cấu trúc hình học đại số [108] [L48]

- _ Trên quan điểm lý thuyết tổ hợp [93], [108], [125]

- _ Trên quan điểm về cấu trúc đại số [45], [95]

- Ding lý thuyết đàn để xây dựng mã [146], [147], [12], [122]

-_ Dùng phép biến đổi Fourier trường hữu hạn [49]

- Trong số các quan điểm trên thì quan điểm thông dụng và được phát triển mạnh mẽ nhất đồng thời cũng là phương pháp có nhiều

kết quả phong phú với nhiều ứng dụng hữu hiệu là quan điểm xây

dựng mã đựa trên các cấu trúc đại số

1.2.2 Các vấn đề nghiên cứu

~_ Nghiên cứu để tạo ra được các bộ mã mới [47], [148], [69], [S9]

~_ Nghiên cứu các loại mã chỉ phát hiện sai [85] [87], [88]

-_ Nghiên cứu đưa ra một số lớp mã đặc biệt trong các loại mã đã

biết [54], [55], [57], [7H, [721, [75], đây cũng chính là hướng

nghiên cứu của tác giả

-_ Đưa ra thuật toán mã hoá, giải mã mới nhằm nâng cao hiệu quả

của các bộ mã đã biết, ví dụ như [39].[41], [79], [83] [84], [117]

Tóm lại các công trình nghiên cứu về mã KCS đều nhằm mục tiêu

tìm ra được các bộ mã tối ưu có khả năng ứng dụng cao

1.2.4 Các loại mã KCS điển hình

* Ma xyclic

Một số đặc điểm của mã xyclic như sau:

-_ Mã xyclic được xây dựng trên các [deal trong vành đa thức nên số

các mã xyclic bằng số các Ideal có trong vành Số các Ideal phụ thuộc vào phân tích đa thức của nhị thức x"+1 thành tích của các

đa thức bất khả qui Khi biểu diễn một bộ mã xyclic thì thường dưới dạng đa thức sinh g(x) của bộ mã, từ ø(x) ta có thể tạo ra ma

trận sinh G,„„ để tạo ra mã xyclic hệ thống và không hệ thống

{45] [941, [108]

Có nhiều phương pháp khác nhau để giải mã cho các bộ mã xyclic như: Dùng thuật toán Megrit để giải mã theo thuật toán dịch vòng

{98], giải mã theo thuật toán Berlekamp [149], giải mã dựa vào biến

đổi Fourier trên trường hữu hạn [49], dùng hệ các TKT theo phương

pháp giải mã ngưỡng [96]

Uu điểm mã xyclic:

Đây là loại mã có cấu trúc tường minh nên dễ thực hiện về mặt kỹ

thuật Thiết bị mã hoá và giải mã đơn giản nhờ sử dụng tính chất dịch

vòng của mã Có thể xây dựng bộ mã có khả năng phát hiện sai và

sửa sai với số lượng tuỳ ý

Nhược điểm mã xyclic:

Do tính hạn chế về cấu trúc nên số các bộ mã xây dựng được trên

một phân hoạch vành bị hạn chế bởi với một số giá trị của m có rất ít

các Ideal Mặt khác với mỗi bộ mã xyclic (cùng một đa thức sinh) thì

chỉ có duy nhất một phương án thiết kế mạch lập và giải mã Tốc độ lập mã/giải mã chậm, phải cần đúng ø nhịp để tạo ra được bộ mã (z,

&) Còn khi giải mã cần 2r xung nhịp Dựa vào một số có tính chất

đặc biệt, mã xyclic đã tạo được một số loại mã riêng như mã xyclic

Hamming, ma BCH va ma RS

* Ma Xyclic cuc bộ

Ma XCB là mã hệ thống tuyến tính (n, k) với các đấu mã là một

tập con của 2„ được chọn theo quy tắc sau:

-_ k dấu thông tin được chọn là # phần tử của nhóm nhân xyclic cấp k

của Z„

- (n-k)=r dau kiém tra này là một tập hợp khác trống nào đó các

lớp kể của nhóm nhân này.

Một nhược điểm của cách xây dựng mã này là cấu trúc cộng trong vành chưa được tường minh và mới chỉ xác định được một dạng phân hoạch vành

Phương pháp giải mã cho XCB: Dùng phương pháp giải mã ngưỡng theo đa số (GNNTĐS) [11], và giải mã ngưỡng một cấp, hoặc hai cấp ngưỡng

Các kết quả nghiên cứu về mã XCB trong [28], [28-1], [28-2] bao

gồm: Bộ mã XCPB tự trực giao (TTG) (2*1,k) có dạ=2*1!-1 là mã tối ưu đạt được giới hạn Griesmer Mã XCB CKNTG (2*'!, K), có dụ=21-2

Với k lẻ còn tạo được bộ mã (2*!-1,k), đụ=2*!-1,

1.3 VẤN ĐỀ ĐẶT RA CỦA LUẬN ÁN

Ma XCB còn có những ưu điểm nổi bật so với mã xyclic truyền

thống là: Khả năng lựa chọn mã phong phú: với cùng một giá trị & có thể tạo ra nhiều bộ mã; có nhiều phương án xây dựng mạch giải mã

khác nhau cho một bộ mã Có được các mã tối ưu với mọi giá trị n

Mã XCB có thể tạo ra các khối dấu kiểm tra một cách song song Do

vậy, để mã hoá một bộ mã xyclic (n, k) tương ứng chỉ cần dùng (n+k)

nhịp Điều này đặc biệt có ý nghĩa khi k << n Mạch mã hoá và giải

mã đơn giản nhờ phương pháp giải mã ngưỡng Đặc biệt trên quan

điểm của vành đa thức để xây dựng mã khống chế sai thì lúc này mã

tuyến tính ngẫu nhiên, mã xyclic truyền thống được xem là các trường hợp riêng của mã XCB Bởi vậy, phương pháp xây dựng mã

XCB tổng quát hơn Để thấy rõ ta xem sơ đồ hình 1.1

Các công trình nghiên cứu về mã XCB đã đưa ra được một số lớp

mã cụ thể Nhưng chưa đề cập đến các bài toán tối ưu trong lý thuyết

mã KCS dựa trên tính chất đặc biệt của các lớp ké, để tạo ra những bộ

mã có khả nang KCS cao (e) với cùng các tham số độ dài từ mã, số đấu thông tin (ø, &) Hoặc cùng với khả năng khống chế sai, số đấu

thông tin tương đương (e, k) làm sao có thể giảm độ dài từ mã để tăng

tốc độ truyền Nghiên cứu về mã XCB tự đối xứng và tính chất tự

đối xứng của lớp kẻ của nó sẽ giải quyết được bài toán này

Mục đích của luận án

Tạo ra một lớp mã mới - mã XCB đối xứng (ĐX) và tự đổi xứng (THX), cho phép giảm độ dài từ mã ø mà khả năng phát hiện sai và sửa sai tương đương mã XCB có độ đài lớn hơn Đề xuất một phương pháp phân hoạch vành mới cho phép xây dựng bộ mã XCB TĐX nhanh

Phân hoạch vành đa thức theo nhóm

nhan xyclic A = {ai(x

_ _ Mm

Phân hoạch cực tiểu || Phân hoạch chuẩn Phân hoạch cực đại

Hình 1.1 Sơ đổ mô tả mối quan hệ giữa các lớp mã KCS

Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết về mã khống chế sai, mã xyclic, XCB và mã XCB DX

va TDX

Pham vi nghién citu

Nghién ctu xay dung ly thuyét ma XCB DX va TDX cho mục

đích khống chế sai trong truyén tin

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Về khoa học, nghiên cứu của luận án góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết mã xyclic cục bộ; xây dựng được một lớp mã KCS

mới Đây là một hướng nghiên cứu mới trước đây chưa có

Về thực tiển, kết quả nghiên cứu sẽ mang lại hiệu suất truyền tin cao khi giảm được một nửa độ dài các dấu kiểm tra mà vẫn đảm bảo

nội dung thông tin và khả năng phát hiện sai và sửa sai Nói cách

khác tăng hiệu quả kinh tế và góp phần an toàn thông tin trong truyền

tin mật

Phương pháp tiếp cận là cơ sở toán học về lý thuyết đại số, số học, đặc biệt đại số đa thức: nhóm, vành, trường, toán xác suất và lĩnh vực

điện tử - viễn thông, công nghệ thông tin máy tính v.v để giải quyết

bài toán đặt ra

Phương pháp nghiên cứu là dựa trên lý thuyết mã xyclic cục bộ,

tìm một phương pháp tổng quát để xay dung m4 XCB DX va TDX

Nội dung của luận án

- Nghiên cứu về mã khống chế sai nói chung Phân tích va chon

hướng nghiên cứu mã xyclic là loại mã có ưu điểm tường minh

về cấu trúc, đễ dàng trong thiết kế mạch, tốc độ nhanh

- — Trên cơ sở mã XCB, nghiên cứu xây dựng một lớp mã mới dựa

trên tính chất của phần tử ĐX của các lớp kể đặc biệt ĐX và

TDX trên các vành tổng quát

- Để xuất và chứng minh các bộ mã lặp TĐX(m.(2* - 1), k, m.2-1)

và (m.(2*-1), k+1, m.2*'!+2) đạt được giới hạn tối ưu Griesmer và

Plotkin; Chứng minh bộ mã XCB TĐX (2-1, n, 2'-1) là tập hợp

tất cả các phần tử liên hợp với lũy đẳng nuốt là mã tối ưu thỏa mã

Kết quả nghiên cứu của luận án sẽ góp phần giải quyết thêm một

số vấn để còn tồn tại của mã XCB và góp một phần vào việc hoàn

thiện thêm cho lý thuyết mã KCS XCB là:

Xây dựng tiêu chí lựa chọn mã dựa trên khái niệm phần tử ÐX để

xây dựng một lớp mã đặc biệt mới là mã XCB ĐX và TĐX, đóng góp vào danh sách các bộ mã có khả năng ứng dụng

Tìm ra các phương pháp phân hoạch mới dựa trên tính chất đặc

biệt và khái niệm phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt

Nội dung của luận án được chia làm các chương sau:

Chương Ï Tổng quan về mã khống chế sai

Chương 2 Mã XCB ĐX, TĐX trên các phân hoạch vành

Chương 3 Các mã Xyclic và XCB TĐX trên lớp các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt

Chương 4 Mô phòng kiểm chứng lý thuyết và để xuất ứng dụng

ma XCB DX, TDX

Kết luận

Phụ lục Phụ lục A: chương trình nguồn tính tổng kiểm tra

Phụ lục B: chương trình nguồn mô phỏng khả năng sửa

sai bộ mã (29, 5, 14)

KẾT LUẬN CHƯƠNG I:

Chương này là tổng quan các hướng nghiên cứu về mã KCS hiện

nay trên thế giới và trong nước, phân tích đánh giá các mã KCS điển

9

hình, một số kết quả nghiên cứu về mã XCB, tinh hinh thuc té& ting dụng và tính cấp thiết của đề tài Qua phân tích về các mã KCS xác định được các mục tiêu để tai md la XCB TDX

CHƯƠNG II

MÃ XCB ÐX VÀ TĐX TRÊN CÁC PHÂN HOẠCH VÀNH

Chương này nêu ra các định nghĩa và các phương pháp xây dựng

mã dựa trên khái niệm phần tử ĐX, các lớp kê ĐX và TĐX: chứng mình các bổ để về sự tốn tại của các nhôm nhân ĐX, đa thức ĐX Đề

xuất và chứng mình được hai bộ mã lặp quan trọng là mã XCB ĐX

và mã XCB TĐX đạt được giới hạn tối tại Khảo sắt, đánh giá một số

mã cụ thể trên vành số và vành đa thức Đưa ra thuật toắn chương

trình tự động tính tổng kiểm tra phục vụ thiết kế các thiết bị mã hoá

Bổ đề 1: Gọi j là số phân tử của một lớp kêTĐX, khi đó ta có thể

tim được một trưởng lớp kê của lớp này theo công thức sau:

a„+a„.2U)=0 (mod 2* - 1) (2.2)

Trong đó j=k hoặc j là một ước chẵn của k

a„: trưởng lớp kê cZ(p); b„: trưởng lớp kê khác cũng e Z(p)

2.1.2 Các mã XCB xây dựng trên các lớp kể TĐX

* Trường hợp k=4

Mã (7.3): các lớp kể tạo mã tương ứng là {I,3,5}, là một mã XCB

TTG tối ưu có khoảng cách Hamming dạ=4 Mã (6,3): các lớp kề tạo

mã tương ứng là {I,3}, là mã XCB TTG tối ưu có dụ=3

2.2 CAC NHOM NHAN XYCLIC DX TREN VANH DA THUC VA CAC MA XYCLIC

2.2.1 Vành đa thức theo modulo x°"+1 và các nhóm nhân xyclic

Khi n lẻ (n=2*+l)

Nhận xét:

Số các nhóm nhân trong vành bằng số các luỹ đẳng và bằng 2!-1

Với t là số các đa thức bất khả qui có được trong phân tích đa thức

Không kể phần tử không vành sẽ được phân hoạch thành các nhóm

nhân với các luỹ đẳng tương ứng

Nhóm nhân của vành sẽ chứa các nhóm nhân xyclic có cap 2"-1

và ước của 2"-1 làm các nhóm con của nó

2.2.2 Da thức ĐX và các nhóm nhân xyclic ĐX

Định nghĩa 2.5: Cho a(x) là một đa thức có trọng số lẻ nào đó

trong vành Đa thức a (x) được gọi là đa thức ÐX của a(x) nếu

11

Theo (2.1) từ A ta có thể dễ dàng xây dựng được A

Bổ đề 5: Nếu ord (a(x)) =i thi ord (A(x))=i Tite la néu A la mot

nhóm nhân xyclic cấp ¡ có phần tử sinh a(x) thì Ã là một nhóm nhân

xyclic cấp i có phần tứ sinh ã(x) Ta cô:

A= fatx), @(x), 0(x) }, A= fle), P(x), a'(x)}

Céc nhém Ava A được gọi là các nhóm nhan xyclic DX

2.2.3 Các mã xyclic ĐX xây dựng từ các nhóm nhân xyclïc

Định nghĩa 2.5: Mã xyclic không hệ thống độ dài ¡ là một nhóm nhân xyclic cấp ¡ trong vành 2;Jx]JÙC+1 Các dấu mã trong từ mã bất

kỳ của bộ mã là các luỹ thừa khác nhau của phần tứ sinh của nhóm

Bổ đề 6: Nếu nhóm nhân xyclic A sinh bởi a(x) tương đương với

mã xyclic (n,k) có khoảng cách mã tối thiểu d„, thì nhóm nhân xyclic

ĐX Ã sinh bởi ầ (x) sẽ tương đương với mã (n,k-1) có khoảng cách

mã tối thiểu d>d, +1 Xét a(x), W(a(x))-lẻ=> A =fal(x); i=0,1.2 n-

Ih

Bổ đề 7: Nếu lớp kế a(x) trong phân hoạch của vành theo nhóm

nhân xyclic là: A =Ýa{x); i=0,1,2 n-1 Ỷ trương đương với một mã xyclie (n,k) có khoảng cách tối thiểu d, thì lớp kẻ ĐX b{x) của nó sẽ

tương đương với một mã xyclic (n,k-1) có khoảng cách tối thiểu dụ+1 Nhận xét: Trong vành sẽ luôn tổn tại các phần tử của lớp ké trọng

số w(a(x)) lẻ đối xứng nhau sao cho W(a(x))+ w(4(x))=k Đồng

thời, nếu k lẻ sẽ không tổn tại đa thức TĐX trên một lớp kể có cùng trọng số nào đó Trong trường hợp nếu k là chăn Nếu tồn tại trọng

số w(a(x)) #k/2 thì sẽ tổn tại đa thức ĐX (đ(x)) của đa thức (a(x)) trên lớp kề nào đó, có nghĩa là đa thức (a(x)) và (2 (x)) là các phần tử

ở 2 lớp kể riêng biệt.