Khi t t0, M dần đến M0 theo đờng cong, ph-ơng của dây cung M0M dần đến trùng với phơng của tiếp tuyến M0T tại tiếp điểm M0 nếu tiếp tuyến này tồn tại... Nếu p có độ dì không đổi nhng
Trang 1Chơng 6
ứng dụng phép tính vi phân Trong hình học
6.1 Hàm véc tơ
1 Định nghĩa
Cho T là một khoảng trong R ánh xạ tT
r (t)t)R2 gọi
là một hàm véc tơ biến số thực xác định trên T Ký hiệu:
r =r(t)
Nếu x(t)t), y(t)t), z(t)t) là ba thành phần của
r (t)t) và i ,j là các véc tơ đơn vị của các trục toạ độ tơng ứng ta có:
r =x(t)t)i +y(t)t)j +z(t)t)
k
Đặt OM
r , khi đó M có các toạ độ là (t)x(t)t),y(t)t),z(t)t)).
Quỹ tích của M khi t biến thiên trên T là một đờng cong L trong R3 và gọi là tốc đồ của
r .
Nh vậy ta có thể xem đờng cong L với phơng trình tham số:
) ( ) ( ) (
t z t y t x
(t)tT)
là tốc đồ của hàm véc tơ
r =r (t)t), tT
Ví dụ 6.1: Hàm véc tơ:
r (t)t)= r =ti +t2j , t[-1,1]
Có tôc đồ là đờng cong:
L=
2
t y t x
t[-1,1]
Đó chính là cung Parabol y=x2, x[-1,1]
2 Giới hạn và đạo hàm của hàm véc tơ
a Định nghĩa
Ta gọi véc tơ cố đinh
a là giới hạn của hàm véc tơ r (t)t)
khi t dần đến t0 nếu khi tt0 nếu môđun của
r (t)t) -a 0,
ký hiệu:
r t a
t
lim 0
Nếu
r (t)t) xác định tại t0 và
( )
lim 0
t r
t t
r (t)t0) thì ta nói
r
(t)t) liên tục tai t0 Cho t số gia t = t - t0, gọi
) ( )
r
là số gia tơng ứng của hàm véc tơ tai t0
Trang 2Hiền nhiên
r (t)t) liên tục tai t0 khi và chỉ khi:
lim ( )
0 r t
t
(t)véc tơ không)
Cho
r (t)t) xác định tại t0 và lân cận của t0 Nếu tồn tại giới hạn:
) ( ' lim 0
t
r
t
thì giới hạn ấy đợc gọi là véc tơ đạo hàm của hàm r (t)
tại t=t0
Từ
r =x(t)t)i +y(t)t)j +z’(t)t)
k ta có:
r(t) x(t)i y(t) j+ z(t)t)k
Nên:
t
t z j t
t y i t
t x t
t r
t t
t
) ( )
( )
( lim ) ( lim
0 0
=x’(t)t0)
i + y’(t)t0)
j +z’(t)t)
k
dt
r d t
r' ( ) ' ( ) ' ( ) +z’(t)t)k
b ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm véc tơ
(t)i) Trên tốc đồ ta có:
0 0
0 )
OM r t
)
(
M M r r
r 0 0
Véc tơ
t
r
nằm theo phơng dây cung M0M Khi t t0, M dần đến M0 theo đờng cong,
ph-ơng của dây cung M0M dần đến trùng với phơng của tiếp tuyến
M0T tại tiếp điểm M0 nếu tiếp tuyến này tồn tại Nh vậy véc tơ
đạo hàm r' (t0)tại t0 nằm theo tiếp tuyến với tốc đồ của hàm véc tơ r (t)
tại M0 ứng với t=t0
Trang 3Vì r' (t0)đợc xác định khi biết hớng và độ dài của nó, nên
khác với đạo hàm của hàm biến số thực, y=f(t)x), đạo hàm y’=f’(t)x0) chỉ cho biết phơng của tiếp tuyến tại M0(t)x0,y0)
(t)ii) Xét một điểm chuyển động M có toạ độ là những hàm khả vi của t:
x=x(t)t), y=y(t)t) Nếu đặt r t OM
) ( thì tốc đồ L của r (t) chính là quỹ
đạo chuyển động của điểm M Gọi
0
0 )
, khi đó với
0
t
t
t
M M OM OM t
r t r t
r( ) ( ) ( 0) 0 0
Do đó:
v dt
r d M M
M M t
r
t t
0
0 0
lim
là véc tơ vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0
c Các công thức tính đạo hàm của hàm véc tơ
Giả sử
p,
q,
r là những hàm véc tơ trong R2 hoặc R3
cùng một biến t, khi bằng định nghĩa ta dẽ dàng chứng minh đợc các công thức sau:
1
dt
r d dt
q d dt
p d r q
p
dt
(
2
dt
d p dt
p d p
dt
)
( (t) là hàm số khả vi của t)
3
dt
p d q dt
q d p q
p
dt
4
dt
p d q dt
q d p q
p
dt
5
dt r d q p r dt q d p r q dt p d r
q
p
dt
d
, , ,
, ,
, ,
,
Trang 46 Nếu
p có độ dì không đổi nhng hớng thay đổi, nh vậy tốc đồ của
p là một đờng cong nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính p Do p.p=p2 nên lấy đạo hàm hai vế ta đợc:
2
p 0
dt
p d
Chứng tỏ hai véc tơ
p và
dt
p
d trực giao với nhau.
7 Nếu
p có phơng không đổi, nhng có độ dài thay đổi, khi
p=p(t)t)
0
p
0
p là véc tơ đơn vị không đổi, còn p(t)t) là hàm của t Khi đó:
( ) 0 ( ) 0 ( ) p0
dt
t dp dt
p d t p p dt
t dp dt
p d
Nh vậy đạo hàm đồng phơng với véc tơ
6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng
1 Vi phân cung
Trong mặt phẳng xét đờng cong L Gọi ds là vi phân cung, khi đó:
(t)i) Nếu L có phơng trình trong toạ độ Đềcac y=y(t)x) thì:
dx x y
ds 1 ' 2 ( )
(t)ii) Nếu L có phơng trình tham số:
) ( ) (
t y y
t x x
t[t0,T]
dt y x
ds ' 2 ' 2
(t)iii) Nếu L là đờng cong trong toạ độ cực và có phơng trình: r=r(t)) Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:
sin ) ( cos ) (
r y r x
xem đó là phơng trình tham số của L theo Ta có:
) ' cos sin (
) ' sin cos (
Do đó: x' 2 ( ) y' 2 ( ) r' 2 r2
Nên ds r' 2 r2d
2 Độ cong
Trang 5a Định nghĩa
Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm Trên L chọn một chiều làm chiều dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của
L, gọi là tiếp tuyến dơng
Nếu tại mỗi điểm trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi tiếp điểm di chuyển một đoạn sM0M trên đờng cong, tiếp
tuyến dơng sẽ quay một góc nào đấy Đờng cong L trên cung M0M càng cong nếu góc càng lớn.
Ngời ta gọi tỷ số
s
, trong đó là góc giữa hai tiếp tuyến dơng tại hai mút của cung M0M , s là độ dài của cung
đó, là độ cong trung bình của đờng cong trên cung M0M Ký
hiệu:
Ctb=
s
Hiển nhiên , s chỉ phụ thuộc đờng cong mà không phụ thuộc hệ toạ độ biểu diễn đờng cng L
Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong tại một điểm
Định nghĩa: Độ cong tại điểm M0 trên đờng cong L là giới hạn, nếu có, của độ cong trung bình trên cung M0M khi M
dần đến M0 trên L Ký hiệu độ cong tại M0 là C(t)M0) ta có:
C(t)M0)=
ds
d s
C
s tb M M
lim
0
b Công thức tính độ cong
Nếu gọi là góc của tiếp tuyến tại M0 với đờng cong L, khi
đó:
dx
dy y
tg '
2 ' 1
"
y
y dx
d
Trang 6(t)i) Nếu đờng cong cho bởi phơng trình y=y(t)x), từ biểu thức
vi phân cung ds 1 y'2 (x)dx
dx
ds
nên:
2 3
' 1
(
"
y
y ds
dx dx
d ds
d
Vậy: C(t)M)=( 1 ' 2 ) 2
"
y
(t)ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham số:
) ( ) (
t y y
t x x
Do:
t
t
x
y dx
dy
'
'
nên
3 2
2
2
2 2 2
'
' '
"
'
'
' ' ) ' 1 (
t
t t t t
t
t t
x
x y y x dx
y d
x
y x y
(t)2) Thay vào (t)1) ta đợc biểu thức phụ thuộc t:
C(t)M) =
2
3 2
2 ' ) '
(
"
'
"
'
y x
x y y x
(t)3)
(t)iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực:
r=r(t)) Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:
sin ) ( cos ) (
r y r x
xem đó là phơng trình tham số của L theo Ta có:
) ' cos sin (
) ' sin cos (
) " cos 2 ' sin cos (
) " sin 2 ' cos sin (
Do
"
' 2
"
'
"
'
' ' '
2 2 2 2 2 2
rr r r x y y x
r r y x
(t)4) Thay vào (t)3) đợc biểu thức phụ thuộc :
C(t)M) = 2 2
2 2 ) ' (
"
' 2
r r rr r r
(t)5)
Ví dụ 6.2:
a Tính độ cong của đờng Parabol y=a x2 tại góc O
Do y’=2ax, y”=2a nên tại x=0 ta có:
C=( 1 ' 2 ) 2
"
y
=2a
Nh vậy nếu a càng lớn thì đỉnh của Parabol càng cong
Trang 7b Tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng Cycloit
) cos 1
(
) sin (
t a
y
t t
a x
(t)a>0)
Ta có: x’=a(t)1 - cos t),y’=a sint
x”=a sin t, y”=a cos t Vậy
C=
2
3 2
2 ' ) '
(
"
'
"
'
y x
x y y x
=
2
3
) cos 1 ( 2 2
1 cos
t a
t
=
2 sin 4
1
t a
c Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôt: r=a(t)1+cos)
Ta có:
r=a(t)1+cos) tại =0, r=2a r’=- a sin tại =0, r’=0 r”=- a cos tại =0, r”=-a
Do đó:
C= 2 2
2 2
) ' (
"
' 2
r
r
rr r
r
=
a a
a a
4
3 8
2 4 3
2 2
3 Đờng tròn chính khúc và khúc tâm
a Định nghĩa
Tại mỗi điểm M của đờng
cong L, về phía lõm của đờng
cong, trên đờng vuông góc với
tiếp tuyến tại M (t) ta sẽ gọi là
pháp tuyến của L tại M), lấy
điểm I sao cho: MI=
) (
1
M
Đờng tròn tâm I, bán kính R=
)
(
1
M
C đợc gọi là đờng tròn
chính khúc của L tại M
Tâm I của đờng tròn chính khúc đợc gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính R=
) (
1
M
C của đờng tròn chính khúc gọi là
khúc bán kính
Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L tại M và tại M chúng có cùng độ cong C(t)M)=
R
1
Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tai M
b Toạ độ của khúc tâm
Trang 8Giả sử tại M(t)x,y), khúc tâm I có toạ độ (t)X,Y) Ta cần tìm biểu thức của (t)X,Y) qua (t)x,y) Giả sử L có phơng trình y=f(t)x) Gọi (t),) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M, phơng trình pháp tuyến của L tại M là
y
y
' 1
Vì khúc tâm I(t)X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta có:
y y
Y
'
1
(t)6) Vì MI=R nên:
(t)X-x)2+(t)Y-y)2=R2 (t)7)
Từ hai phơng trình trên suy ra:
"
) ' 1 (
y y y
x
2
y
y y
Nếu y”>0 đờng L lõm nên Y>y, vậy:
"
'
y
y y
Nếu y”<0 đờng L lồi nên Y<y, vậy:
"
'
y
y y
"
'
y
y
Thay Y vào (t)6) ta đợc:
"
) ' 1 (
y
y y
x
Vậy toạ độ (t)X,Y) của khúc tâm I là:
"
' 1
"
) 1 (
2
y y y x X
(t)8) Nếu L có phơng trình tham số:
) ( ) (
t y y
t x x
Thay các biểu thức (t)2) vò (t)8) đợc toạ độ của khúc tâm I là:
"
'
"
'
) ' ' ( '
"
'
"
'
) ' ' ( '
2 2
2 2
x y y x
y x x y Y
x y y x
y x y x X
(t)9) Nếu L có phơng trình trong toạ độ cực: r=r(t)) thay (t)4) vào (t)9) đợc toạ độ của khúc tâm I là:
) sin cos
' ( ' ' 2 ' sin
) cos sin
' ( ' ' 2 ' cos
2 2
2 2 2 2
2 2
r r
rr r r
r r r
Y
r r
rr r r
r r r
X
(t)10)
Ví dụ 6.3: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(t)1,1)
và viết phơng trình đờng tròn chính khúc tại điểm đó
Trang 9Từ xy=1, đạo hàm hai vế ta đợc: y+xý=0 hay y’=
x
y
Do
"
x
y x
y xy
Tại x=1, y=1 ta có: y’= - 1, y”=2 Vậy:
2
)1 1(
"
) '
3 2
3 2
y y
Toạ độ khúc tâm là:
2 2 1 1 1
2 2
) 1 1 ( 1 1
Y X
Phơng trình của đờng tròn chính khúc là:
(t)x-2)2+(t)y-2)2=2
4 Đờng túc bế Đờng thân khai
Định nghĩa: Ngời ta gọi đờng túc bế của đờng cong L là quỹ
tích, nếu có, của các khúc tâm của đờng đó
Nh vậy các phơng trình (t)8), (t)9), (t)10) là phơng trình tham số của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có phơng trình trong toạ
độ Đề Các, phơng trình tham số và phơng trình trong toạ độ cực
Ví dụ 6.5: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bế của Elip
t b y
t a x
sin cos
(t)a>b>0)
Ta có: x’=- a sin t, y’= b cos t, x”= - a cos t, y”= - b sin t
R=
"
'
"
'
) ' ' (
3 2 2
x y y x
y x
ab
t b t
3 2 2 2
2sin cos )
Phơng trình tham số của túc bế là:
t b
b a ab
t b
t a t a t b
Y
t a
b a ab
t b
t a t b t a
X
3 2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
sin cos
sin sin
sin
cos cos
sin cos
cos
Nếu đặt c2=a2 – b2 ta có:
t b
c Y
t a
c X
3 2
3 2
sin cos
Đó là phơng trình của mặt
axtroit lệch
Định nghĩa: Nếu đờng cong L nhận đờng cong làm đờng
túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của
Từ ví dụ trên ta thấy Elip
Trang 10
t b y
t a x
sin cos
(t)a>b>0)
là thân khi của axtroit lệch:
t b
c y
t a
c x
3 2 3 2
sin
cos
(t)c2=a2 – b2)
Ta thừa nhận các tính chất sau đay của đờng túc bế và thân khai
Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(t)x,y) của đờng cong
L là tiếp tuyến của đờng túc bế của L tại khuc tâm I ứng với M
Nh vậy túc bế của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với
họ đơng pháp tuyến của L tại các khúc tâm
Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng bằng trị số
tuyệt đối của hiệu các khúc tâm bán kính của thân khai L của
nó tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung ấy khúc bán kính biến thiên đơn điệu
Nói các khác, nếu gọi là số gia của một cung trên ,
và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính trên thân khai của
nó thì: R
6.3 Hình học vi phân trong không gian
1 đờng cong trong không gian
Tơng tụ nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không gian đều có thể xem nh tốc đồ của hàm véc tơ:
r t x t i y t j z t k
Nh vậy L có phơng trình tham số:
{x=x(t)t), y=y(t)t), z=z(t)t)}
Ví dụ 6.6: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên
mặt trụ tròn xoay có trục Oz bán kính a, có chuyển động vừa quay tròn đều quang trục Oz với vận tốc , vừa tịnh tiến dọc theo Oz với vận tốc không đổi k
Quỹ đạo này đợc gọi là đờng đinh ốc trụ xoay,
Hình chiếu vông góc trên mặt
phẳng Oxy của mọi điểm
M(t)x,y,z) trên quỹ đạo đều nằm
trên đờng tròn tâm O, bán kính a
thuộc mặt phẳng ấy Gọi p là
hình chiếu của M(t)x,y,z) trên
Oxy ta có:
PM OP OM
Chiếu véc tơ đó xuống các
trục toạ độ ta đơc:
x=a cos, y=a sin,
z=kt
Trang 11Trong đó t là thời gian chuyển động của điểm M tỷ lệ với góc quay của OP quanh O, do đó: =t hay
t Coi t là tham số ta có phơng trình tham số của đờng xoáy
đinh ốc là:
kt z
t a
y
t a
x
sin cos
Còn nếu dung góc quay làm tham số ta đợc phơng trình:
z
a y
a x
sin cos
2 Độ cong
Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là giới hạn, nếu có:
C(t)M0)=
ds
d s
C
s tb M M
lim
0
Nếu L có phơng trình tham số:
) ( ) ( ) (
t z z
t y y
t x x
Khi đó:
C(t)M)=
2 2 2 2
2 2 2
) ' ' ' (
"
"
' '
"
"
' '
"
"
' '
z y x
x z x z z y z y y x y x
Ví dụ 6.7: tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng đinh ốc.
Sử dung phơng trình theo ta có:
x’=-a sin, y’=a cos, z’=b
x”=-a cos, y”=- a sin, z”=0
Do:
2
sin cos
cos sin
a a
a
a a
sin 0 sin
cos
ab a
b a
cos cos
0
sin
ab a
a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Nên ta có:
C(t)M)= 2 2
b a
a
Vậy độ cong của đờng xoắn đinh ốc tại mội điểm đều bằng nhau
C(t)M)=
2 2 2
2 ' ' ) '
(
"
"
' '
"
"
' ' sin cos
cos sin
z y x
x z x z z y z y a
a a a