ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC pdf

Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong toạ độ cực Xét miền phẳng là hình quạt cong cho trong toạ độ cực, giới hạn bởi các tia OA, OB có phơng trình , và đờng cong có phơng trình tro

Chơng 6

ứng dụng của Tích phân và vi phân

trong tính toán hình học

6.1 ứng dụng của tích phân xác định

1 Diện tích hình phẳng

a Hình phẳng giới hạn bởi đờng cho trong toạ độ Đềcác

Nh đã nêu ra ở phần trớc, miền phẳng là hình thang cong giới hạn bởi các đ-ờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) với f(x) là hàm liên tục, đơn trị trên [a,b] và

có diện tích tính bởi công thức:

Do đó dễ dàng thấy, miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] và có diện tích là:

Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong đó hàm f(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] có diện tích là:

(1) Miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, y=f1(x), y=f2(x) trong đó các hàm y=f1(x), y=f2(x) liên tục, đơn trị trên [a,b] có diện tích là:

Hình 18 Tơng tự, miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và x=g(y), trong đó hàm g(y) liên tục, đơn trị trên [c,d] có diện tích là:

(3) Diện tích của miền phẳng đợc giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, x=g1(y), x=g2(y) trong đó các hàm x=g1(y), x=g2(y) liên tục, đơn trị trên [c,d]

là:

(4)

Ví dụ 6.1: Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đờng cong:

a { y=2-x2 , y=x}

Ta có:

Vậy

Hình 19

b {y=(x+1)2, x=siny, y=0}

Từ y=(x+1)2 có x= , x1

nên y[0,1] ta có:

S= Hình 20

Ví dụ 6.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Elip

Do hình Elip đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính diện tích theo một phần

t của hình nằm trong góc phần t thứ nhất Trong góc phần t thứ nhất, phần hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và cung elip có phơng trình Vậy

b Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho dới dạng tham số

Miền phẳng giới hạn bởi các đờng x=a, x=b, Ox, và đờng cong cho bởi

ph-ơng trình tham số:

với a=x(t1), b=x(t2), t1<t2

Do ydx=y(t)x’(t)dt nên miền phẳng có diện tích là:

Miền phẳng giới hạn bởi các đờng y=c, y=d, Oy, và đờng cong cho cho bởi phơng trình tham số:

với c=y(t1), d=y(t2), t1<t2

có diện tích là:

Ví dụ 6.3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một nhịp đờng xycloit:

và trục Ox

Hình 21

Ta có và do y=a(1-cos t), dx=a(1-cos t)dt nên:

Ví dụ 6.4: Tính diện tích giới hạn bởi đờng Axtroit

Phơng trình tham số của đờng Axtroit là:

với

Do hình đã cho đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta

chỉ cần tính theo một phần t diện tích của hình

nằm trong góc phần t thứ nhất:

Hình 22

b Miền phẳng giới hạn bởi các đờng cho trong toạ độ cực

Xét miền phẳng là hình quạt cong cho trong toạ độ cực, giới hạn bởi các tia

OA, OB có phơng trình , và đờng cong có phơng trình trong đó hàm là hàm số liên tục trên đoạn Chia đoạn thành n phần bởi các điểm chia:

Khi đó góc đợc chia thành n góc nhỏ có số đo và hình quạt đã cho đợc chia thành n hình quạt con Goi tên và diện tích của hình quạt con thứ i là , Chọn tuỳ ý, Khi đó xấp xỉ là diện tích của quạt tròn vẽ trên góc với bán kính là , ta có:

Hình 23

Nh vậy diện tích hình quạt cong xấp xỉ là:

Do hàm liên tục trên đoạn nên hàm cũng liên tục trên đoạn

do đó khả tích trên đoạn Vế phải của công thức xấp xỉ trên là tổng tích phân của hàm ứng với phân hoạch của đoạn Nh vậy, khi cho sao cho ta có:

Ví dụ 6.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng hình tim ( Hình Cacđiôit)

Do hình phẳng đối xứng qua Ox nên ta có:

Hình 24

Ví dụ 6.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng Lemnitscat (Đờng hoa

hồng hai cánh):

Chuyển sang toạ độ cực:

đờng cong đã cho có phơng trình là

Hình 25

Do hình phẳng đối xứng qua Oy nên ta tính theo nửa bên phải trục Oy, ứng với

(vì ) Nh vậy:

2 Độ dài đờng cong phẳng

a Đờng cong trong toạ độ Đềcác

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] Giả sử rằng đồ thị hàm y=f(x) là cung AB Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia

Khi đó độ dài AB xấp xỉ bằng độ dài của đờng gấp khúc Khi cho

số cạnh của đờng gấp khúc tăng lên vô hạn sao cho độ dài của cạnh lớn nhất của nó dần tới 0 thì độ dài đờng gấp khúc dần tới độ dài s của cung AB, do đó độ dài s của cung AB là giới hạn:

trong đó với là độ dài của đoạn thẳng

Hình 26 Gọi ; là chiếu của các đoạn thẳng xuống các trục toạ độ, theo công thức Pitago ta có:

áp dụng định lý Largange cho hàm f(x) trên đoạn ta có:

,

Vì f’(x) liên tục trên [a,b] nên khả tích trên [a,b], do đó độ dài đờng cong đợc cho bởi công thức:

(8) Giả sử M(x,f(x)) là điểm bất kỳ trên đờng cong, khi đó độ dài cung AM là:

(9) Lấy vi phân hai vế ta đợc:

ds=

Công thức trên gọi là công thức vi phân cung trong toạ độ Đềcác

Nếu đờng cong cho bởi phơng trình x=(y), cyd thì độ dài đờng cong là:

s=

Ví dụ 6.7: Tính độ dài cung cho bởi

a y=a

s= = =

b với

Ta có , và đờng cong đối xứng qua Ox nên độ dài của đờng cong là:

b Đờng cong cho bởi phơng trình tham số

Giả sử đờng cong có phơng trình tham số

Do dx=x'(t)dt và , ta có công thức:

(10) Công thức vi phân cung khi đó là:

ds=

Ví dụ 6.8: Tính độ dài cung giới hạn bởi

a Đờng Axtroit (Xem hình 22)

Tham số hoá ta đợc

với

Do Axtroit là đờng cong đối xứng qua hai trục toạ độ nên ta tính theo góc phần t thứ nhất Nh vậy:

b Một nhịp đờng Xycloit (Xem hình 21)

với

c Đờng cong cho trong toạ độ cực

Nếu đờng cong có phơng trình:

Dùng phép chuyển toạ độ:

ta đa phơng trình đờng cong về dạng tham số Do:

Khi đó:

cho nên ta có công thức:

(11) Công thức vi phân cung khi đó là:

ds=

Ví dụ 6.9: Tính độ dài đờng Cácđiôit (Xem hình 24)

Vì đờng Cácđiôit đối xứng qua trục Ox nên ta tính theo độ dài của nửa bên trên trục Ox

3 Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể giới hạn bởi các mặt x=a, x=b(a<b), và một mặt cong kín Gọi S =S(x) là diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại và vật thể đã cho Giả thiết rằng S(x) là hàm liên tục trên [a,b]

Hình 27 Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

Đặt và Khi đó, vật thể ban đầu đợc chia thành n phần nhỏ, gọi tên và thể tích của các phần nhỏ này là V1, V2,…,Vn Phần nhỏ thứ

i ứng với x nằm trong đoạn Do S(x) liên tục nên khi đủ nhỏ, x hàm S(x) có giá trị thay đổi không đáng kể Lấy tuỳ ý,

có thể coi , Xấp xỉ Vi (i= ) với hình tru đứng có đáy là

và chiều cao là : Khi đó hình trụ ban đầu có thể tích xấp xỉ :

Cho sao cho , nếu nh vế phải dần tới một giới hạn hữu hạn thì ta gọi giới hạn đó là thể tích của vật thể đã cho:

Do hàm S(x) đợc giả thiết là liên tục trên [a,b] nên cũng khả tích trên đó vì vậy ta có công thức

(12)

Ví dụ 6.10:

a.Tính thể tích của elipxoit:

Cắt elipxoit bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc đoạn [-a,a] Khi đó ta thu đợc thiết diện giới hạn bởi elip có phơng trình

diện tích thiết diện là Hình 28

Do đó elipxoit có thể tích:

b Tính thể tích vật thể là phần chung của hai hình trụ:

x2+z2=a2 và y2+z2=a2

Vì phần thể tích vật thể đối xứng qua gốc toạ

độ, nên ta chỉ cần xét phần vật thể trên góc phân

tám thứ nhất Chọn thiết diện là giao của vật thể và

mặt phẳng cắt vuông góc với trục Oz

Mặt cắt là hình vuông có cạnh:

Do đó diện tích mặt cắt là: Hình 29

S(z)=a2- z2

Vậy ta có thể tích vật thể là:

V=

4 Thể tích vật thể tròn xoay

a Cho hình phẳng giới hạn bởi x=a, x=b, Ox,

y=f(x) với f(x) liên tục trên [a,b] Khi quay hình

phẳng trên quanh trục Ox ta đợc một hình tròn

xoay Thiết diện tạo bởi hình tròn xoay với mặt

phẳng

vuông góc với trục

Ox tại điểm là một hình Hình 30

tròn có bán kính cho nên diện tích của thiết diện là Từ đó,

ta thu đợc công thức tính thể tích hình tròn xoay:

(13)

b Tơng tự, khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=c, y=d, Oy, x=g(y) với g(y) liên tục trên [c,d] quanh trục Oy ta đợc một hình tròn xoay có thể tích là

Ví dụ 6.11: Tính thể tích vật thể tròn xoay thu

đ-ợc khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi

Ox, Oy, x+y=2

Ta có:

Hình 31

Nh vậy:

Ví dụ 6.12:

Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu đợc khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và một nhịp Xyclôit

5 Diện tích mặt tròn xoay

Xét cung AB có phơng trình y=f(x), trong đó f(x) và đạo hàm f'(x) của nó xác

định và liên tục trên [a,b] Khi quay cung AB quanh trục Ox ta thu đợc một mặt tròn xoay

Xét trờng hợp , Chia cung AB thành n phần bởi các điểm chia

Đặt và Khi quay quanh Ox đoạn thẳng sinh ra một mặt nón cụt tròn xoay có diện tích là:

Si= trong đó Vì vậy, khi quay quanh Ox đờng gấp khúc

sinh ra một mặt tròn xoay có diện tích

Do f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b] nên :

Khi f(x) có dấu bất kỳ ta có:

Khi quay quanh trục Oy cung AB có phơng trình , trong đó g(y)

và g'(y) liên tục trên [c,d] ta đợc một mặt tròn xoay có diện tích tính theo công thức:

Ví dụ 6.13:

a Tính diện tích của mặt tròn xoay tạo bởi cung giới hạn giữa các giao

điểm của nó với đờng thẳng y=x khi quay quanh trục Ox Ta có diện tích cần tính là:

Đổi biến 2x=sht ta có:

2dx=cht dt, x=0: t=0, x=1: ,

Do đó:

b Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Axtroit:

với quanh trục Ox

Ta có: , do tính đối xứng nên:

S=

c Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay đờng Lemnitscat

(x2+y2)2=a2(x2-y2), (x>0, y>0) quay quanh trục Ox

Chuyển sang toạ độ cực:

Xem đó là phơng trình tham số của x,y theo  ta có:

=

=

6.2 Hình học vi phân trong mặt phẳng

1 Độ cong

a Định nghĩa

Cho đờng cong L, không tự giao nhau và có tiếp tuyến tại mọi điểm Trên L chọn một chiều làm chiều dơng, trên tiếp tuyến của L tại M, ta chọn một hớng ứng với hớng dơng của L và gọi là tiếp tuyến dơng

Nếu tại mỗi điểm M0 trên L ta vẽ một tiếp tuyến dơng thì khi tiếp điểm di chuyển một đoạn trên đờng cong, tiếp tuyến dơng sẽ quay một góc  nào đấy Đờng cong L trên cung càng cong nếu góc  càng lớn

Ngời ta gọi tỷ số , là độ cong trung bình của

đờng cong trên cung Trong đó  là góc giữa

hai tiếp tuyến dơng tại hai mút của cung , s là

độ dài của cung đó, ký hiệu:

Ctb= Hình 33 Hiển nhiên , s chỉ phụ thuộc đờng cong mà không phụ thuộc hệ toạ độ biểu diễn đờng cong L

Từ khái niệm độ cong trung bình ta có định nghĩa độ cong tại một điểm

Định nghĩa 1: Độ cong tại điểm M0 trên đờng cong L là giới hạn, nếu có, của độ cong trung bình trên cung khi M dần đến M0 trên L Ký hiệu độ cong tại M0

là C(M0) ta có:

C(M0)=

b Công thức tính độ cong

Nếu gọi  là góc của tiếp tuyến tại M0 của đờng cong L với chiều dơng trục Ox, khi đó:

(i) Nếu đờng cong cho bởi phơng trình y=y(x), từ biểu thức vi phân cung

hay ta có:

Vậy: C(M)= (1)

(ii) Nếu đờng cong có phơng trình tham số:

Do: nên

(2) Thay vào (1) ta đợc biểu thức phụ thuộc t:

(iii) Nếu đờng cong có phơng trình trong toạ độ cực:

r=r() Chuyển toạ độ cực về toạ độ Đề các theo công thức:

xem đó là phơng trình tham số của L theo  Ta có:

Thay vào (3) đợc biểu thức phụ thuộc :

Ví dụ 6.14:

a Tính độ cong của đờng Parabol y=ax2 tại góc O

Do y’=2ax, y”=2a nên tại x=0 ta có:

Nh vậy nếu a càng lớn thì đỉnh của Parabol càng cong

b Tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng Xycloit

(a>0)

Ta có: x’=a(1 - cos t), y’=a sint

x”=a sin t, y”=a cos t Vậy

c Tính độ cong tại điểm =0 của đờng Cácđiôit: r=a(1+cos)

Ta có:

r=a(1+cos) tại =0, r=2a r’=- a sin tại =0, r’=0 r”=- a cos tại =0, r”=-a

Do đó:

2 Đờng tròn chính khúc và khúc tâm

a Định nghĩa

Tại mỗi điểm M của đờng cong L, về phía lõm của

đ-ờng cong, trên đđ-ờng vuông góc với tiếp tuyến tại M ( ta sẽ

gọi là pháp tuyến của L tại M), lấy điểm I sao cho: MI=

Đờng tròn tâm I, bán kính R= đợc gọi là đờng

tròn chính khúc của L tại M

Tâm I của đờng tròn chính khúc Hình 34

đợc gọi là khúc tâm ứng với M, bán kính R= của đờng tròn chính khúc gọi

là khúc bán kính

Đờng tròn chính khúc tại M của L có chung tiếp tuyến với L tại M và tại M chúng

có cùng độ cong C(M)= Tại lân cận của M xấp xỉ L bởi đờng tròn chính khúc

sẽ tốt hơn xấp xỉ bằng tiếp tuyến tại M

b Toạ độ của khúc tâm

Giả sử tại M(x,y), khúc tâm I có toạ độ (X,Y) Ta cần tìm biểu thức của (X,Y) qua (x,y) Giả sử L có phơng trình y=f(x)

Gọi (,) là toạ độ các điểm trên pháp tuyến của L tại M, phơng trình pháp tuyến của L tại M là

Vì khúc tâm I(X,Y) nằm trên pháp tuyến nên ta có:

(6) Vì MI=R nên:

(X-x)2+(Y-y)2=R2 (7)

Từ hai phơng trình trên suy ra:

, Nếu y”>0 đờng L lõm nên Y>y, vậy:

Nếu y”<0 đờng L lồi nên Y<y, vậy:

= Thay Y vào (6) ta đợc:

Vậy toạ độ (X,Y) của khúc tâm I là:

(8) Nếu L có phơng trình tham số:

Thay các biểu thức (2) vào (8) đợc toạ độ của khúc tâm I là:

(9) Nếu L có phơng trình trong toạ độ cực: r=r() thay (4) vào (9) đợc toạ độ của khúc tâm I là:

Ví dụ 6.15: Xác định khúc tâm của Hypebôn xy=1 tại M(1,1) và viết phơng

trình đờng tròn chính khúc tại điểm đó

Từ xy=1, đạo hàm hai vế ta đợc: y+xy’=0 hay y’= Do đó:

Tại x=1, y=1 ta có: y’= - 1, y”=2 Vậy:

R=

Toạ độ khúc tâm là:

Phơng trình của đờng tròn chính khúc là:

(x-2)2+(y-2)2=2

3 Đờng túc bế Đờng thân khai

Định nghĩa 2: Ngời ta gọi đờng túc bế của đờng cong L là quỹ tích, nếu có,

của các khúc tâm của đờng đó

Nh vậy các phơng trình (8), (9), (10) là phơng trình tham số của đờng cong túc bế tơng ứng khi L có phơng trình trong toạ độ Đề Các, phơng trình tham số

và phơng trình trong toạ độ cực

Ví dụ 6.16: Tìm bán kính chính khúc và đờng túc bế của Elip

(a>b>0)

Ta có: x’=- a sin t, y’= b cos t, x”= - a cos t, y”= - b sin t

Phơng trình tham số của túc bế là:

Nếu đặt c2=a2 – b2 ta có:

Đó là phơng trình của mặt

axtroit lệch

Định nghĩa 3: Nếu đờng cong

L nhận đờng cong  làm đờng Hình 35

túc bế thì L đợc gọi là đờng thân khai của 

Từ ví dụ trên ta thấy Elip

(a>b>0)

là thân khai của axtroit lệch:

(c2=a2 – b2)

Ta thừa nhận các tính chất sau đây của đờng túc bế và thân khai

Tính chất 1: Pháp tuyến tại mỗi điểm M(x,y) của đờng cong L là tiếp tuyến

của đờng túc bế  của L tại khúc tâm I ứng với M

Nh vậy túc bế  của một đờng cong L là đờng tiếp xúc với họ đờng pháp tuyến của L tại các khúc tâm

Tính chất 2: Độ dài của một cung trên đờng  bằng trị số tuyệt đối của hiệu

các khúc tâm bán kính của thân khai L của nó tại hai mút của cung ấy, nếu dọc theo cung ấy khúc bán kính biến thiên đơn điệu

Nói các khác, nếu gọi là số gia của một cung trên , và R là số gia tơng ứng của khúc bán kính trên thân khai của nó thì:

6.3 Hình học vi phân trong không gian

1 Đờng cong trong không gian

Tơng tự nh trong mặt phẳng, mọi đờng cong L trong không

gian đều có thể biểu diễn bằng có phơng trình tham số:

Ví dụ 6.17: Lập phơng trình quỹ đạo của điểm M nằm trên mặt trụ tròn

xoay có trục Oz bán kính a, có chuyển động vừa quay tròn đều quanh trục Oz với vận tốc , vừa tịnh tiến dọc theo Oz với vận tốc không đổi k Quỹ đạo này đợc gọi là đờng đinh ốc trụ xoay

Hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng Oxy của

mọi điểm M(x,y,z) trên quỹ đạo đều nằm trên đờng

tròn tâm O, bán kính a thuộc mặt phẳng ấy Gọi p

là hình chiếu của M(x,y,z) trên Oxy ta có:

Chiếu véc tơ đó xuống các trục toạ độ ta đơc:

x=a cos, y=a sin, z=kt Hình 36

Trong đó t là thời gian chuyển động của điểm M tỷ lệ với góc quay  của OP quanh O, do đó: =t hay

Coi t là tham số ta có phơng trình tham số của đờng xoáy đinh ốc là:

Còn nếu dùng góc quay  làm tham số ta đợc phơng trình:

2 Độ cong

Tơng tự nh trong mặt phẳng, ta gọi độ cong của L tại M là giới hạn, nếu có:

C(M0)=

Nếu L có phơng trình tham số:

Khi đó:

C(M)=

Ví dụ 6.18: tính độ cong tại điểm bất kỳ của đờng đinh ốc.

Sử dụng phơng trình theo  ta có:

x’=-a sin, y’=a cos, z’=b

x”=-a cos, y”=- a sin, z”=0

Do:

, Nên ta có: