Đặt nằm ngang tại O một tấm kính L, quan sát viên phải quay tấm kính một góc α quanh một trục nằm ngang đi qua A thì mới thấy ảnh P'' của đỉnh ngọn cây P cho bởi sự phản xạ trên tấm kính
Trang 1Đề tài nghiên cứu phần quang học
chơng i Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
I Cơ sở lí luận của đề tài
Để có một lời giải bằng các phép suy luận một cách hợp lý cho một bài hoặc một loại toán quang hình học cụ thể nào đó, với một lời giải ngắn Đề tài căn cứ trên một số
định luật, định lý, nguyên lý và một số hiên tợng hiển nhiên sau:
1 Nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng:
Nếu AA' là một chiều truyền sáng (một tia sáng) thì trên đờng
đó ánh sáng có thể đi theo chiều từ A đến A' hoặc từ A' đến A
Suy rộng cho mọi dụng cụ quang hình học: Nếu A' là ảnh cùng
tính chất với vật A qua một dụng cụ quang học nào đó, thì khi đặt vật A
tại vị trí ảnh A' thì ảnh A'' của A nằm ngay tại vị trí vật A lúc đầu
2 Định luật phản xạ ánh sáng:
Gọi SI là tia tới của tia phản xạ IJ trên gơng phẳng M tại điểm
tới I
Gọi n là pháp tuyến của gơng tại I
Mặt phẳng chứa tia tới SI và pháp tuyến n gọi là mặt phẳng tới
Góc tạo bởi tia tới SI và pháp tuyến n gọi là góc tới i
Góc tạo bởi tia phản xạ IJ và pháp tuyến n gọi là góc phản xạ i'
Định luật:
- Tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới và ở bên kia pháp tuyến so với tia tới
- Góc phản xạ bằng góc tới: i = i'
3 Định lý gơng quay:
Định lý thuận: Một tia tới SI chiếu tới gơng phẳng M tại điểm I Khi gơng quay
quanh trục vuông góc với tia tới một góc α thì tia phản xạ quay góc 2α
Định lý đảo: Cho tia tới SI tới gơng phẳng M tại I Khi gơng quay góc α quanh trục vuông góc với tia tới, để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2α
4 Tia không đổi:
a) Cho vật sáng AB có độ cao không đổi đặt vuông góc với trục xx' sao cho B ∈
xx' Khi AB di chuyển trên trục xx' tia sáng AI xuất phát từ điểm A và song song với trục xx' luôn không đổi (cả về phơng chiều và độ lớn)
Tia sáng AI gọi là tia không đổi
b) Nếu A là một điểm sáng
AI là tia không đổi
của tia AI qua một dụng cụ quang học nào đó
Do tia tới AI không đổi nên tia Ay là tia khúc xạ (phản xạ)
không đổi
A
A'
A' y
I A
i i'
I n
x' x
A
I
B
Trang 2Nếu A' là ảnh của điểm sáng A qua quang cụ thì A' luôn chuyển động trên tia Ay (trên đờng thẳng chứa tia Ay)
II cơ sở thực tiễn của đề tài
Để có thể vận dụng các phong pháp giải trong đề tài một cách có hiệu quả hơn, học sinh cần phải đợc trang bị một kiến thức cơ bản tơng đối vững, đồng thời yêu cầu về toán học và giải toán của học sinh phải đạt đợc một số yêu cầu cơ bản để có thể thành thạo trong các phép biến đổi, tính toán, suy luận Toán quang hình gắn chặt với hình học phẳng nên một yêu cầu không thể thiếu là học sinh phải có kỹ năng vẽ hình tơng đối hoàn thiện, bởi các phơng pháp ngắn gọn hơn thờng thể hiện trên hình vẽ của bài toán
và một bài toán có thể có nhiều hình vẽ ứng với nhiều trờng hợp khác nhau
Chơng ii
Nội dung nghiên cứu
i Một số bài toán sử dụng định lý gơng quay
Bài 1: Một gơng phẳng hình chữ nhật có bề rộng 1m đơc gắn vào một cửa tủ Trên đờng
vuông góc với tâm và cách gơng 1,5m có một ngọn nến S Mở tủ để gơng quay quanh bản lề O một góc 600
1) Xác định quỹ đạo chuyển động của vật khi gơng quay
2) Tính chiều dài quỹ đạo trên
Giải
1) Gọi S1 là ảnh của S qua gơng trớc khi gơng quay Do S và S1
đối xứng nhau qua gơng nên:
SO = S1O = SH 2 + OH 2 = 1 , 5 2 + 0 , 5 2 = 1 , 58 m= const
Mặt khác khi gơng quay góc α quanh bản lề O thì tia tới gơng SO
không thay đổi nên phản xạ của nó quay góc β = 2α = 1200
Vậy ảnh của qua gơng chuyển động trên cung tròn tâm O bán
kính R = SO = 1,58m có góc ở tâm là β = 1200
2) Chiều dài của quỹ đạo:
l = βrad.R = 23π.1,58 = 3,31m
Bài 2: Từ một điểm O trên cửa sổ, cách mặt đất một độ cao OA = h có một quan sát viên
nhìn thấy ảnh P' của một ngọn cây P do sự phản xạ trên một vũng nớc nhỏ I trên mặt
đất, cách chân tờng một đoạn IA = d
Đặt nằm ngang tại O một tấm kính L, quan sát viên phải quay tấm kính một góc α
quanh một trục nằm ngang đi qua A thì mới thấy ảnh P'' của đỉnh ngọn cây P cho bởi sự phản xạ trên tấm kính, ở trên cùng một phơng với P'
1) Tính chiều cao H của cây theo h, d, α và θ với tgθ = hd
2) Tính H khi d = h = 12m và α = 30
Giải
Tấm kính đặt trên cửa sổ có tác dụng nh một gơng phẳng
H
β α
S 2
S S
1
A K O
Trang 3Do quan sát viên nhìn thấy ảnh P''của ngọn cây P qua tấm kính và ảnh P' qua vũng nớc trên cùng một phơng nên tia sáng từ đỉnh ngọn cây P tới tấm kính và vũng nớc phản xạ theo cùng một phơng
Khi đó nếu coi vũng nớc và tấm kính là hai vị trí của một
gơng thì ánh sáng từ P tới hai vị trí đặt gơng cho tia phản xạ
không đổi
Theo định lý gơng quay (định lý đảo): Tia tới gơng phải
quay góc 2α
Vì vậy: OPˆI=2α
Trong ∆OPI ta có: POˆI=1800 −2α−2θ = 1800 - 2(α + θ)
Từ đó:
I Pˆ O sin
OI I Oˆ P sin
PI
= hay:
α
= θ + α
OI )) (
2
180
sin(
PI
0
α
= θ +
α sin 2
OI ) (
2
sin
PI
OI 2 sin
) ( 2 sin
PI
α
θ + α
=
Trong ∆PHI ta có:
PH = PI.cosθ = OI
2 sin
) ( 2 sin
α
θ +
α cosθ = OA
2 sin
) ( 2 sin
α
θ + α Vậy chiều cao H của cây:
2 sin
) ( 2 sin
α
θ + α
2) Ta có: tgθ = hd = 1212 = 1 ⇒θ = 450
Chiều cao H của ngọn cây:
H = 12 114 , 16 m
) 3 2 sin(
) 45 3 ( 2 sin
0 = +
II Một số bài toán sử dụng nguyên lý thuận
nghịch của chiều truyền sáng
A Một số ví dụ
Bài toán1: Chứng minh định lý gơng quay
Chứng minh:
1) Định lý thuận:
Xét ∆IJM: i2 + i'2 = β + i1 + i'1 (định lý về góc ngoài của tam giác)
Mà i1 = i'1, i2 = i'2 (định luật phản xạ ánh sáng)
⇔ β = 2(i2 - i1) (1) Xét ∆IJK: i2 = α + i1 (định lý về góc ngoài của tam giác)
θ θ
α
P'
I H
θ
2α
P
O A
θ
h d
Trang 4⇔ α = i2 - i1 (2)
Từ (1) và (2) ta có: β = 2α
Vậy khi gơng quay góc α thì tia phản xạ quay góc 2α
2) Định lý đảo:
Cách 1:
Xét ∆SIJ: i1 + i'1 = β + i2 + i'2
Mà i1 = i'1, i2 = i'2 (định luật phản xạ ánh sáng)
nên: 2i1 = β + 2i2
β = 2(i1 - i2)
(3) Xét ∆KIJ: i'1 = α + i'2 (định lý về góc ngoài của tam giác)
⇔ i1 = α + i2
⇔ α = i1 - i2 (4)
Từ (3) và (4) ta có: β = 2α
Vậy khi gơng quay góc α, để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc
2α Cách 2:
Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, nếu tia S'I là tia tới thì IS và
JS là hai tia phản xạ ứng với hai vị trí của gơng, hai tia này trùng nhau tức là cho tia phản xạ không đổi
Theo định lý thuận: β = 2α
Vậy khi gơng quay góc α, để tia phản xạ không thay đổi thì tia tới phải quay góc 2α
Bài toán 2: Đo tiêu cự của thấu kính (bằng phơng pháp Bessel)
Một vật sáng AB đợc đặt song song và cách một màn hứng ảnh một khoảng L Di chuyển một thấu kính đặt song song với màn trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta thấy
có hai vị trí của thấu kính cách nhau khoảng l cho ảnh rõ nét của vật trên màn Tìm tiêu
cự của thấu kính áp dụng: L = 72cm, l = 48cm.
Giải
Cách 1:
Sơ đồ tạo ảnh của vật AB ứng với hai vị trí của thấu kính:
' 2
' 1 2
1
dd
f
dd
' B ' A
AB →
Khi thấu kính di chuyển, khoảng cách vật ảnh không thay đổi nên:
d1 + d'1 = L (1)
Theo công thức thấu kính:
1
d
1
+ ' 1
d
1
=
f 1
Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, nếu AB ở vị trí ảnh A'B' thì
ảnh A'B' khi đó ở vị trí vật AB
Do đó: d2 = d'1
d'2 = d1
Trang 5Vậy vị trí thứ hai của thấu kính cách vật AB khoảng d'1:
Do hai vị trí của thấu kính cách nhau l nên:
d'1 - d1 = l (2)
Từ (1) và (2) ta có:
d1 =
2
L l− ; d'1 =
2
L l+ Tiêu cự của thấu kính:
f
1
L L
2 L
2 d
1 d
1
l l
l + + = −
−
= +
f =
L
L 2 −l2
Bài toán có thể giải bằng hai cách khác nh sau:
Cách 2:
Sơ đồ tạo ảnh:
' d
f
d A'B'
AB →
Do ảnh thật của vật thu đợc trên màn nên:
d + d' = L
⇔ d + ddf−f = L
⇔ d2 - Ld +Lf = 0
∆ = L2 - 4Lf
Khi ∆ > 0 (L > 4f) phơng trình cho hai nghiệm ứng với hai vị trí của thấu kính:
d1 =
2
Lf 4 L
L + 2 − ; d2 =
2
Lf 4 L
L − 2 −
Mặt khác hai vị trí của thấu kính cách nhau khoảng l nên:
d1 - d2 = l
2
Lf 4 L
L + 2 − -
2
Lf 4 L
L − 2 − = l
f =
L
L 2 −l2
Cách 3:
Dựa vào tính đối xứng của công thức thấu kính
Do tính đối xứng của hệ thức:
1
d
1
+ ' 1
d
1
=
f 1
Nên nếu đặt d2 = d'1 thì vị trí ảnh đợc xác định bởi d'2 thoã mãn:
2
d
1
+ ' 2
d
1
=
f 1
Từ đó: d'2 = d1
Do thấu kính tạo ảnh thật của vật trên màn nên:
d1 + d'1 = L
Trang 6d'1 - d1 = l Giải hệ phơng trình này có thể xác định đợc tiêu cự của thấu kính
áp dụng: f = 10 cm
72 4
48
72 2 2
=
−
Bài toán 3: Đặt một vật sáng AB trớc và vuông góc với một màn hứng ảnh L Di chuyển
một thấu kính hội tụ trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta thấy trong khoảng giữa vật và màn có hai vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét của vật trên màn, ảnh có độ cao lần lợt là 9cm và 4cm
Tìm độ cao vật AB
Giải
Sơ đồ tạo ảnh:
' 2
' 1 2
1
dd
f
dd
' B ' A
Do vị trí của vật và ảnh không thay đổi nên theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng:
d1 = d'2 d'1 = d2
Độ phóng đại ảnh trong hai trờng hợp:
k1 =
1
' 1
d
d
− ; k2 =
2
' 2
d
d
−
Vậy: k1 =
2
k
1
hay
2 2
1 1
B A
AB AB
B A
= ⇒ AB = A1B1 A2B2 = 9 4 = 6 cm
Bài toán 4: Cho hệ quang học nh hình vẽ Vật AB cách thấu kính L1 khoảng 10cm Sau
thấu kính L1 đặt đồng trục thấu kính hội tụ L2 tiêu cự f2 = 20cm Sau thấu kính L2 đặt màn hứng ảnh M vuông góc với quang trục của hai thấu kính và cách thấu kính L2 khoảng 60cm Hệ cho ảnh rõ nét của màn vật AB trên màn M
1) Tính tiêu cự f1 của thấu kính L1
2) Giữ nguyên vật AB, thấu kính L1 và màn Phải di chyển thấu kính L2 nh thế nào
để vẫn thu đợc ảnh rõ nét của vật trên màn M
Giải
2 2 2 ' 1
1
f d d
f
d A 1 B 1 A 2 B 2
AB → →
Trong đó:
d'2 = 60cm
2 2
2 2 ' 2
f d
f d d
−
20 60
20 60
=
− d'1 = l0 - d'2 = 25 - 30 = - 5cm d1 = 10cm
Tiêu cự của thấu kính L1:
f1 = '
1 1
' 1 1
d d
d d
5 10
) 5 (
10
−
=
−
−
2) Gọi l là khoảng cách giữa hái thấu kính.
Trang 7Sơ đồ tạo ảnh: '
3 2 3 ' 1
1
f d d
f
d A 1 B 1 A 3 B 3
AB → →
Cách 1: Tính theo sơ đồ tạo ảnh
d1 = 10cm d'1 = - 5cm d3 = l - d'1 = l + 5 d'3 = dd ff 205( 205) 20( 155)
2 3
2 3
−
+
=
− +
+
=
l l
l
Để ảnh A3B3 của AB hiện rõ trên màn thì:
d'3 + l = l0 + d'2
15
) 5 ( 20
−
+
l
l + l = 25 + 60
l2 - 80l + 1375 = 0 Phơng trình có hai nghiệm: l1 = 25cm và l2 = 55cm.
Vậy vị trí thứ hai của thấu kính cách thấu kính L1 khoảng l = 55cm hay phải dịch chuyển thấu kính L2 một khoảng ∆l = 55 - 25 = 30cm ra xa thấu kính L1.
Cách 2: áp dụng nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng.
Do vật AB và thấu kính L1 không thay đổi vị trí nên ảnh A1B1 không thay đổi
Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng ta có:
d3 = d'2 = 60cm Vậy thấu kính L2 dịch đi một đoạn ∆l = d3 - d2 = 60 - 30 = 30cm ra xa thấu kính L1 (về phía màn)
Bài 5: Cho hệ hai thấu kính đồng trục L1 có tiêu cự f 1 = 20cm và L2 có tiêu cự f2 = - 30cm
đặt cách nhau khoảng l = 40cm Xác định vị trí của vật sáng AB trớc hệ sao cho khi giữ
vật cố định, hoán vị hai thấu kính cho nhau thì hệ luôn cho ảnh thật tại cùng một vị trí Giải
Sơ đồ tạo ảnh cho vật AB trớc và sau khi hoán vị hai thấu kính:
' 2 2 2 ' 1
1
f d d
f
d A 1 B 1 A 2 B 2
' 4 1 3 ' 3
2
f d d
f
Trong đó:
1 1
1 '
1
f d
f d d
−
= = d20d20
1
1
− d2 = l - '
1
d - 40 - d20d20
1
1
− = 20dd 20800
1
1
−
−
2 2
2 2 '
2 d f
f d d
−
= = 3050(d20d1400800)
1
1
−
−
−
Cách 1: Tính theo sơ đồ tạo ảnh
d3 = d1
2 3 '
3 d f
f d d
−
= = d3030d1
+
−
Trang 8d4 = l - d'3 = 70dd 120030
1
1 + +
d 20(5070dd 6001200)
1
1 '
4
+
+
=
Do hai ảnh của vật nằm tại cùng một vị trí nên:
' 4 '
2 d
d =
1400 d
50
) 800 d 20 ( 30
1
1
−
−
− = 2050(70dd 6001200)
1
1 + +
0 480 d 16
1 − − = Phơng trình có hai nghiệm: d1 = 31,3cm và d1 = - 15,3cm
Vì vật AB là vật thật nên khoảng cách từ vật tới thấu kính L1 là d1 = 31,3cm
Cách 2:
Vì sau khi hoán vị hai thấu kính, vị trí ảnh không thay đổi nên theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng, ta có:
d1 = d'2 d1 = 3050(d20d1400800)
1
1
−
−
−
d 2 16 d1 480 0
1 − − = Phơng trình trên cho nghiệm d1 = 31,3cm thoã mãn bài toán
Bài 6: Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một gơng cầu lõm tiêu cự f2 = f,
cách gơng đoạn 3f Trong khoảng giữa vật và gơng ngời ta đặt một thấu kính hội tụ có tiêu cự f1 = 5f/12 cùng trục chính với gơng Xác định vị trí của thấu kính để ảnh cuối cùng của vật AB qua hệ ở cùng vị trí của vật Xác định độ phóng đại ảnh khi thấu kính ở vị trí này
Giải
3 1
3 ' 2 2 2 ' 1
1
f d d
f d d
f
Cách 1: Tính theo sơ đồ tạo ảnh:
HD: Tính '
3
d theo d1 (chú ý khoảng cách thấu kính - gơng l = 3f - d1) Cho d1 = '
3
d
Giải phơng trình tìm d1: d1 = 0,5f và d1 = 2,5f
Cách 2:
Theo nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng: vì ảnh A3B3 của vật AB vị trí vật AB nên: d1 = '
3
1
d = d3 và '
2
d = d2 Hay nếu A3B3 là vật thì A2B2 là ảnh của A3B3 qua thấu kính Do đó khi A3B3 ở vị trí của vật Ab thì A2B2 sẽ ở vị trí của A1B1 Nói cách khác A1B1 ở cùng vị trí với A2B2
Mặt khác A2B2 là ảnh của A1B1 qua gơng, gơng cầu lõm chỉ cho ảnh ở vị trí vật khi:
* Vật ở tâm gơng
* Vật ở sát gơng
* Trờng hợp 1: Nếu A1B1 ở sát gơng:
Trang 9d2 = 0 ⇒ '
1
d = 3f - d1 Mà:
1
d
1 + ' 1
d
1 = 1
f 1
⇒
1
d
1
+
1
d f 3
1
− = 125f
=
=
f 5 , 0 d
f 5 , 2 d
1
1
(thoã mãn vì 0 < d1 < 3f)
Trờng hợp 2: Nếu A1B1 ở tâm gơng:
d2 = 2f2 = 2f ⇒ '
1
d = 3f - d2 - d1 = f - d1 Mà:
1
d
1 + ' 1
d
1 = 1
f 1
⇒
1
d
1
+ f 1d 125f
1
=
−
1
d - 12fd1 + 5f2 = 0 Phơng trình vô nghiệm
Vậy có hai vị trí của thấu kính cách vật các khoảng d1 = 0,5f và d1 = 2,5f cho ảnh ở
vị trí vật
Độ phóng đại ảnh trong hai trờng hợp:
k =
3
' 3 2
' 2 1
' 1
d
d d
d d
d
Nh vậy, các bài toán kiên quan đến nguyên lý thuận nghịch của chiều truyền sáng thờng gắn với các bài toán mà vật và ảnh có vị trí không đổi khi dịch chuyển dụng cụ quang học (thờng là thấu kính và gơng) Các vị trí cố định của ảnh thờng là vị trí cố định của màn hứng ảnh hoặc ảnh của vật qua hệ ở vị trí vật.
Trong trờng hợp đó, vật và ảnh bao giờ cũng có thể hoán vị vị trí cho nhau, và lẽ dĩ nhiên sau khi hoán vị thì độ phóng đại ảnh có giá trị bằng nghịch đảo độ phóng đại ảnh trớc khi dịch chuyển
B Bài tập tơng tự
Bài 1: Vật sáng AB cách màn một khảng L = 50cm Trong khoảng giữa vật và màn, thấu
kính có thể đặt ở hai vị trí để trên màn thu đợc ảnh rõ nét Tính tiêu cự của thấu kính, biết
ảnh này cao gấp 16 lần ảnh kia
Đáp số: f = 8cm
Bài 2: Hai nguồn sáng cao bằng nhau và cách nhau một đoạn L = 72cm Một thấu kính
hội tụ đặt trong khoảng giữa hai nguồn ở vị trí thích hợp sao cho ảnh của nguồn này nằm
ở vị trí của nguồn kia và ngợc lại Biết ảnh này cao gấp 25 lần ảnh kia Tính tiêu cự f của thấu kính
Đáp số: f = 10cm.
Bài 3: Vật sáng AB và màn hứng ảnh cố định Thấu kính đặt trong khoảng giữa vật và
màn ở vị trí 1, thấu kính cho ảnh có kích thớc a1 ở vị trí 2, thấu kính cho ảnh có kích thớc a2 Hai vị trí của thấu kính cách nhau đoạn l Tính tiêu cự của thấu kính
Trang 10áp dụng: a1 = 4cm ; a2 = 1cm ; l = 30cm.
Đáp số: f = 20cm
Bài 4: Một vật ság và một màn M đợc đặt cố định, khoảng cách từ vật đến màn là 60cm.
Trong khoảng giữa vật và màn, ngời ta đặt hai thấu kính hội tụ L1 và L2 sao cho khi hoán
vị hai thấu kính cho nhau thì ảnh của vật vẫn hiện rõ nét trên màn Hai vị trí này cách nhau 20cm Khi vật AB ở trớc thấu kính L1, ngời ta thấy ảnh trên màn ngợc chiều vật có
độ cao bằng 3/4 vật Xác định tiêu cự f1 và f2 của thấu kính L1 và L2
Đáp số: f1 = 30cm ; f2 = 16cm
Bài 5: Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính phân kỳ L1 và
cách quang tâm O1 của thấu kính một khoảng 60cm Sau L1 ngời ta đặt một màn vuông góc với trục chính của L1 và cách L1 70cm Trong khoảng giữa L1 và màn ngời ta đặt một thấu kính hội tụ L2 có tiêu cự 20cm cùng trục chính với L1 và tịnh tiến L1 trong phạm vi này thì thấy có hai vị trí của L2 cho ảnh rõ nét của vật trên màn, hai vị trí này cách nhau 30cm
1) Tính tiêu cự của L1
2) Tính độ phóng đại ảnh ứng với mỗi vị trí của L2
Đáp số: 1) f1 =
-28cm 2) k = - 0,14 và k = - 0,57
Bài 6: Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một gơng cầu lõm G, cách gơng
90cm Trong khoẩng giữa vật và gơng đặt một thấu kính hội tụ L đồng trục Giữ vật và
g-ơng cố định, di chuyển thấu kính trong khoảng giữa vật và gg-ơng ngời ta nhận thấy có hai
vị trí của thấu kính cho ảnh cuối cùng qua hệ trùng với vật, lần lợt cách vật 30cm và 60cm và một vị trí của thấu kính cho ảnh ảnh cuối cùng ở vị trí vật, bằng và ngợc chiều vật, vị trí này cách vật 40cm
Xác định tiêu cự thấu kính và gơng
Đáp số: fL = 20cm ;
fG = 5cm
