Cho phương trỡnh x2−2m−1x+2m− =4 0 trong đú mlà tham số a Chứng minh rằng phương trỡnh đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt.. Một đường thẳng quay quanh B cắt cỏc đường trũn , O1 O2 theo
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010
Môn: Toán ( Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
(Đề thi có 01 trang)
Cõu 1(2 điểm) Cho phương trỡnh x2−2(m−1)x+2m− =4 0 (trong đú mlà tham số)
a) Chứng minh rằng phương trỡnh đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt
b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trỡnh Tỡm để biểu thức 2 2
1 2
P x= +x đạt giỏ trị
nhỏ nhất
Cõu 2(2 điểm)
a) Giải phương trỡnh: x3+ +x2 3x+ +3 2x = x2+ +3 2x2+2x
b) Giải hệ phương trỡnh:
Cõu 3(2 điểm).
a) Chứng minh với mọi số a b c, , đụi một phõn biệt ta cú: 1
b) Cho ba số a b c, , đụi một phõn biệt Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Cõu 4(3 điểm) Hai đường trũn ( ), ( )O1 O2 cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A B, Đường thẳng vuụng gúc với AB tại B cắt lại ( )O1 tại C và cắt lại ( )O2 tại D Một đường thẳng quay quanh B cắt cỏc đường trũn ( ),( )O1 O2 theo thứ tự tại giao điểm thứ hai E F,
a) Chứng minh tỉ số AE
AF khụng đổi
b) Cỏc đường thẳng EC DF, cắt nhau tại G Chứng minh rằng tứ giỏc AEGF nội tiếp c) Chứng minh rằng, khi đường thẳng EF quay xung quanh B thỡ tõm đường trũn ngoại
tiếp tứ giỏcAEGF luụn thuộc một đường trũn cố định
Cõu 5(1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho ba điểm bất kỳ trong chỳng là đỉnh
của một tam giỏc cú diện tớch khụng vượt quỏ 1 Chứng minh rằng tất cả cỏc điểm đó cho nằm trong một tam giỏc cú diện tớch khụng lớn hơn 4
——Hết——
Chỳ ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ tờn thớ sinh SBD
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
Đề chính thức
Trang 2KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Chuyên Tin học)
1
a)
(0.5đ)
+ Phương trình đã cho có
+ Do đó, với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm
b)
(1.5đ)
+ Gọi x x là hai nghiệm của phương trình Khi đó, theo định lý Viet, ta có1, 2
1 1 2 1 , 1 2 2 4
2
2 3
" "
2
m
− + = − + = − ÷ + ≥
= ⇔ =
0.5
2
a)
(1đ)
+ Điều kiện
3 2
2 2
0
3 0
x
x x
+ + + ≥
≥
+ ≥
+ ≥
0.25
+ Viết lại phương trình (x+1) (x2+ +3) 2x = x2+ +3 2x x( + ⇔1) ( 2x− x2+3) ( x+ − =1 1) 0 0.25
2x− x + = ⇔3 0 x −2x+ =3 0 vô nghiệm
b)
(1đ)
= +
− + + + = ⇔ = − − 0.25 + Nếu y=2x+1, thay vào phương trình thứ hai, được
0
2
x
x
=
= −
Với x=0 thì y=1 Với 1
2
x= − thì y=0
0.25
+ Nếu y= − −2x 1, thay vào phương trình thứ hai, được
0
2
x
x
=
− − − + − − = ⇔ + ⇔
= −
Với x=0 thì y= −1 Với 1
2
x= − thì y=0
0.25
Vậy hệ đã cho có các nghiệm ( ; ) (0; 1 ,) 1;0
2
Trang 3a)
(1đ)
VT
a b b c a c
=
a b b c a c
=
1
a b b c a c
VP
a b b c a c
b)
(1 đ)
2
2
P
2
2
P
2
2.1 2
P
b c c a a b
= + + ÷ + ≥
Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại a = -1; b = 0; c = 1, vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 đạt
I
G
F
D C
A
B
2
E
0.25
Xét hai tam giác ACD AEF, ta có
• ·AEF= ·AEB ACB ACD=· = · (cùng chắn cung »AB của ( )O )1
• ·AFE=·AFB=·ADB= ·ADC (cùng chắn cung »AB của ( )O )2
Suy ra AEF∆ : ∆ACD
0.5
2
R
const
Trang 4(1đ)
Do CD⊥AB nên AC là đường kính của ( )O và 1 AD là đường kính của ( )O2 0.25
90
AFG=AFD= (góc nội tiếp chắn nửa đường
Từ đó, tứ giác AEGF có ·AEG=·AFG=900 do đó nội tiếp trong đường tròn đường
c)
(1đ)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEGF Khi đó I là trung điểm AG 0.25 Suy ra IO CG IO1|| , 2||DG
AO I =ACG= −ADG= −AO I Từ đó, do O O khác phía với1, 2
AI suy ra tứ giác AO IO nội tiếp, hay 1 2 I∈(AO O1 2) cố định
0.5
B' C'
A
P P'
Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích
Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn nên một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ) Khi đó
' ' ' 4 4
S = S ≤ Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' '
A B C
0.25
Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác A B C' ' ', chẳng hạn như trên
hình vẽ Khi đó d P AB( ; ) >d C AB( ; ) , suy ra S PAB >S CAB, mâu thuẫn với giả thiết
tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
0.25
Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không
Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.