CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG docx

Nếu f có ma trận A khi đó: A.x=λx và cũng gọi x là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ của ma trận A.. Khi đó x≠θ là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ của f khi và chỉ khi Lλ{x} là một không

Chơng 6

cấu trúc của tự đồng cấu

trị riêng và véc tơ riêng

A Tóm tắt lý thuyết

1 Không gian con bất biến

E là một không gian tuyến tính trên trờng K và f∈L(E,E)

Định nghĩa: Không gian con U⊂ E gọi là không gian con bất biến đối với f, hay f là tự đồng cấu bất biến trên U nếu f(U)⊂U

Hệ quả : Trên cơ sở W={ξ1,ξ2, ,ξn} ma trận của tự đồng cấu f

có dạng đờng chéo khi và chỉ khi các không gian con L{ξ1},L{ξ2}, ,L{ξn} đều là không gian con bất biến của f Giả sử trên một cơ sở đã cho tự đồng cấu f có ma trận A, nếu

ta tìm đợc một cơ sở W mà trên W ma trận của f có dạng đờng chéo khi đó ta nói f hay A chéo hoá đợc

2 Trị riêng và véc tơ riêng

Định nghĩa: Số λ∈K gọi là trị riêng của f nếu ∃x≠θ của E sao cho: f(x)= λx , x gọi là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ của f Nếu f có ma trận A khi đó: A.x=λx

và cũng gọi x là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ của ma trận A

Hệ quả : Gọi Lλ{x} là không gian con sinh bởi véc tơ riêng ứng với trị riêng λ Khi đó x≠θ là véc tơ riêng ứng với trị riêng

λ của f khi và chỉ khi Lλ{x} là một không gian con bất biến của f trên E

3 Điều kiện để ma trận của tự đồng cấu có dạng đờng chéo

Định lý: Cho E là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều

trên trờng K, ma trận của f∈L{E,E} trên cơ sở W={ξ1,ξ2, ,ξn}

có dạng đờng chéo khi và chỉ khi ξ1,ξ2, ,ξn là các véc tơ riêng

của f Khi đó ma trận đờng chéo B của f trên W có các phần tử trên đờng chéo là các trị riêng tơng ứng:

B=

λλ

λ

1 2

=+

+

−+

=+

++

−

0)(

0

)(

0

)(

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

n nn

n n

n n

n n

x a

x a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

λ

λ

λ

với ma trận các hệ số là (A- λI)

Để hệ có nghiệm không tầm thờng (x≠θ) ta phải có:

det((A- λI)=

λ

λλ

−

−

−

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 1

2 22

21

1 12

11

=0

det(A- λI) là một đa thức bậc n của λ, ký hiệu PA(λ)=det(A- λI):

PA(λ)=(-1)nλn+b1λn-1+ +bn-1λ+bn

Định nghĩa: Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f, khi đó đa

thức: PA(λ)=det(A- λI) gọi là đa thức đặc trng của f hay đa thức đặc trng của A và phơng trình

PA(λ)=det(A- λI) =0

gọi là phơng trình đặc trng của chúng

Hệ quả

1 λ là trị riêng của A khi và chỉ khi : PA(λ)=det(A- λI) =0

2 Đa thức đặc trng của f không phụ thuộc vào cơ sở của E,

hay đa thức đặc trng của các ma trận đồng dạng bằng nhau

det(B- λI) = det(A- λI)

3 Theo định lý Viet về nghiệm của đa thức ta có:

Vet(A)=∑

=

n

i ii

Chú ý: E là không gian tuyến tính n chiều trên trờng K khi đó:

1 Nếu K là trờng số phức C thì ∀f∈L(E,E) đa thức đặc trng của f luôn có đủ n nghiệm kể cả nghiệm bội trên C

2 Nếu K=R thì chỉ những nghiệm thực của phơng trình det(A-λI) =0

mới là trị riêng của f

Định lý: Giao của hai không gian con sinh bởi các véc tơ

riêng tơng ứng với hai trị riêng khác nhau của f bằng{θ}

Định lý: Nếu λ∈K là nghiệm của phơng trình đặc trng

det(A-λI)=0 và hạng của (A-λI)=r thì có m =n-r véc tơ riêng độc lập tuyến tính ứng với cùng trị riêng λ

Định lý: Giả sử phơng trình đặc trng det(A-λI)=0 của ma trận

A có p nghiệm λ1,λ2, ,λp∈K và r(A-λiI)=ri (i=1, ,p) Nếu:

(n-r1)+(n-r2)+ +(n-rp)=n thì trong E có hệ cơ sở gồm n véc tơ riêng của A và khi đó ma trận A có thể chéo hoá trên K

Chú ý: Phơng trình đặc trng det(A-λI)=0 có thể có đủ n nghiệm (kể cả nghiệm kép) trên K nhng nếu

(n-r1)+(n-r2)+ +(n-rp)<n thì sẽ không tồn tại hệ cơ sở gồm n véc tơ riêng do vậy ma trận

A không thể chéo hoá

Hệ quả: Nếu λ=0 là nghiệm của phơng trình đặc trng thì Ker(f)≠{θ} và véc tơ riêng tơng ứng là x≠θ bất kỳ thuộc Ker(f).

5 Thuật toán chéo hoá ma trận

1 Giải phơng trình đặc trng det(A-λi I)=θ

Giả sử phơng trình đặc trng có các nghiệm λ1,λ2, ,λp , và λi

(i=1,2, p) là nghiệm bội ni trên K

Nếu số các nghiệm, kể cả nghiệm bội n1+n2+ +np<n thì A không thể chéo hoá đợc trên K

2 Nếu n1+n2+ +np=n với i=1,2, ,p lần lợt tính

B=T-1AT Đó là công thức chuyển cơ sở của ánh xạ f có ma trận A trên cơ

sở ban đầu sang cơ sở gồm các véc tơ riêng của f

2 Trong R3 cho ánh xạ: f(x,y,z)=(z,y,x)

a Không giải phơng trình đặc trng, tìm các không gian con bất biến của f

b Chứng tỏ ma trận của f có thể chéo hoá đợc, tìm ma trận chéo hoá

3.Tìm các không gian con bất biến của tự đồng cấu

a f(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x2, 2x1+x2,x3-x4, x3+x4 )

b f(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x2, 2x1+x2,x3+x4, x3+x4 )

c f(x1,x2,x3,x4)=(x1+3x2, 3x1+x2,x3+x4, x3-x4 )

4 Tính các trị riêng, kiểm tra công thức tính det(A) và Vet(A)

của ma trận bằng định nghĩa và công thức tính qua các trị riêng

21000

00310

00121

00013

5 Tìm trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận trên R

101910

6127

2300

0011

0012

0010

0100

1000

9 T×m c¸c trÞ riªng cña c¸c ma trËn

a

0

00

16

226

62345

265

34

i i

i i

i

i i

010

121

11 Chứng tỏ A,B có thể chéo hoá Tìm đa thức đặc trng của

0

00

0

0

00

0

00

1

2

2 1

a

a

a a

12 Cho f(a0+a1t+a2t2)=(a0+2a1+2a2)+(a1+a2)t+a2t2

Tìm các trị riêng và các véc tơ riêng tơng ứng của f

b Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t2}, f có chéo hoá

đ-ợc không? Nếu đđ-ợc hãy chéo hoá f

16 Trên P2(t) cho

f(a0+a1t+a2t2)=(2a0+a1)+(a0+2a1+a2)t+(a1+2a2)t2

a Chứng tỏ f là một tự đồng cấu

b Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t2}, f có chéo hoá

đ-ợc không? Chéo hoá f và tìm ma trận chuyển cơ sở

b Lập ma trận của f trên cơ sở {1,t,t2,t3}, f có chéo hoá

đợc không? Chéo hoá f và tìm ma trận chuyển cơ sở

19 Chứng minh rằng mọi không gian con bất biến với ánh xạ

không suy biến f thì cũng bất biến với f -1

20 Chứng minh rằng mọi tự đồng cấu f trong không gian

tuyến tính n chiều trên cơ sở e1, e2, , en có dạng ma trận khối

B

θθ

21 Cho E là không gian các đa thức bậc ≤n trên trờng hữu tỉ

Q f:E→E là phép lấy đạo hàm của đa thức Tìm đa thức đặc trng của f, ma trận của f có chéo hoá đợc không?

22 Chứng minh rằng ma trận vuông A giao hoán đợc với mọi

ma trận cùng cấp có thể chéo hoá đợc

23 Với mỗi ma trận vuông A cấp n chứng minh rằng A và

chuyển vị AT có cùng đa thức đặc trng do đó có cùng các trị riêng

24 Với mỗi ma trận vuông A chứng minh rằng

a det(A)=0 khi và chỉ khi 0 là một trị riêng của A

b det(A)≠0 khi và chỉ khi mọi trị riêng của A đều khác không

c. Nếu det(A)≠0 và λ là một trị riêng của A thì λ

1

là trị riêng của A-1

λ (λi (i=1,2, ,n) là các trị riêng của A).

25 Với mỗi trị riêng λ của ma trận vuông A cấp n, và mỗi số nguyên dơng k, chứng minh rằng λk là trị riêng của ma trận Ak Hơn nữa, nếu u thuộc Rn là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng

λ thì u cũng là trị riêng của Ak ứng với trị riêng λk

26 Ma trận vuông A gọi là luỹ linh nếu và chỉ nếu A k=θ với

số nguyên dơng k nào đó Chứng minh rằng trị riêng của ma trận luỹ linh A bằng 0

27 Gọi Pn là không gian mọi đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n Xác định Trị riêng và véc tơ riêng của các ánh xạ sau

b a

A cho

f(A)= + + + + + 

+

d c b a c b a

b a a

b a a

43

2

a Tìm ma trận của f

b f có chéo hoá đợc không? Nếu đợc hãy chéo hoá ma trận của f

31 Chứng minh rằng nếu f có n trị riêng khác nhau λ1,λ2, ,λn

ứng với n véc tơ riêng ξ1,ξ2, ,ξn, gọi Ei=L{ξi} (i=1,2, ,n) khi

đó: E=E1⊕ E2⊕ ⊕En là tổng trực tiếp của các không gian con bất biến một chiều, và mọi x∈E đều có duy nhất các biểu diễn:

x=x1ξ1+x2ξ2+ +xnξn =(x1,x2, ,xn) f(x)=λ1x1ξ1+λ2x2ξ2+ +λnxnξn=(λ1x1,λ2x2, ,λnxn)

C Lời giải, hớng dẫn hoặc đáp số

ξ3=

010

là các không gian con bất biến của f Vậy các không gian con bất biến của f là:

1100

0012

0021

Det(A-λI)= λ

λλ

11

.12

21

1 , trên c.s ξ1=

1100

0030

0001

nên các không gian con bất biến của f là:

1100

0012

0021

, có các trị riêng:

1

1 =−

λ , λ2 =3, λ3 =0, λ4 =−2 Với các véc tơ riêng tơng ứng:

0

4

ξ

Mọi không gian con sinh bởi họ bất kỳ các véc tơ riêng trên đều

là không gian con bất biến

0013

0031

210

0

4

ξ

Mọi không gian con sinh bởi họ bất kỳ các véc tơ riêng trên đều

là không gian con bất biến

4 Ta có phơng trình đặc trng

det(A- λI)=

λλ

12

1

01

21

01

0

32

2

=(2-λ)(1-λ)2=0

có 2 nghiệm λ1=2, λ2 =1 bội hai trên R

Với λ1 =2 ma trận A-2I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất

1 2 3

Với λ2=1 ma trận A-I có hạng r=1 nên hệ thuần nhất

1 2 3

đó là hai véc tơ riêng ứng với cùng trị riêng λ2=1

Gọi B là ma trận chéo, T là ma trận chuyển cơ sở, ta có:

010

321

và B=T –1AT

b Phơng trình đặc trng

det(A-λI)=

λλ

01

0

32

1

=(2-λ)(1-λ)2=0

có 2 nghiệm λ1=2, λ2 =1 bội hai trên R

Với λ1 =2 ma trận A-2I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất

1 2 3

Với λ2=1 ma trận A-I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất

1 2 3

01

0

32

=-λ (2-λ)(1-λ)=0

1 2 3

đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ1=0

Với λ2=1 ma trận A-I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất

1 2 3

Với λ3=2 ma trận A-2I có hạng r=2 nên hệ thuần nhất

1 2 3

đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ3=2

010

321

4

−

=λCác véc tơ riêng tơng ứng là:

173

173

2

0

0

0

20

0

01

1100

0110

0001

0

3

ξ

0020

0001

Vậy các không gian con bất biến là các không gian con sinh bởi

hệ con của {ξ1,ξ2,ξ3} và L{ξ3,e3}

8.a Phơng trình đặc trng

ϕλ

sincos

sin

0.sin

sin

y i

x

y x

i

ϕϕ

ϕϕ

cho véc tơ riêng =−i

1

1

ξVới λ2 = cosϕ -i.sinϕ hệ phơng trình:

sin

0.sin

sin

y i

x

y x

i

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

sincos

0

0sin

.cos

i

i

T=−i i

11

b Phơng trình đặc trng:

det(A-λ.I)=(1- λ)(λ2+λ+1)=0

có các nghiệm λ1=1, λ2=e=cos(2π/3)+i.sin(2π/3), λ3=e2

Hiển nhiên trên R không thể chéo hoá đợc A

Với λ1=1 ma trận( A-λ1.I) có hạng r=2 nên hệ phơng trình

1 2 3

Với λ2=e ma trận (A-λ2.I) có hạng r=2 nên hệ phơng trình

0 1

x x x

1 2 3

Với λ3=e2 ma trận (A-λ3.I) có hạng r=2 nên hệ phơng trình

1 2 3

0

04

0

00

0

01

01

x x

y

x x

x I

A

=

x y

0

0

+

x y

y

x y

x x

Ta đợc phơng trình đặc trng:

k y

εα

αεαλ

.1

k

k

ππ

ε =cos2 + sin2 (k=0,1, ,n-1)

1 1

2 1

a a

a

a a

a I

n

=

1 3

2

1 1

2 1

'

a a a

a a a

n n

n

n x a a x a x

Gọi xi (i= n1 ) là căn bậc n của 1, do:,

xif(xi)=an+a’1xi+ +an-1 n−1

2

1 1

2

1 1

2 1

1

11

−

−

n n n

n

x x

x

x x x

=f(x1) f(xn)

1 1

2

1 1

2 1

1 11

−

−

n n

n

n

x x

x

x x x

Vậy

A−λI =

1 3 2

1 1

2 1

'

a a a

a a a

n n

i

x )Lần kợt thay xi(i= n1 ) ta đợc:,

1 2

k n k

k a a ε a ε

n

k i n

k

k

ππ

ε =cos2 + sin2 (k=0,1, ,n-1)

c λ1=0, λ2=1, λ3=8

10 C¸c kh«ng gian con bÊt biÕn lµ Im(f) vµ Ker(f) vµ c¸c

kh«ng gian con sinh bëi hÖ con bÊt kú c¸c vÐc t¬ riªng cña f a.L{(2,2,-1)},L{(-1,0,1)},L(1,1,0)},L{(-1,0,1),(1,1,0)}, L{(2,2,-1),(-1,0,1)}, L{(2,2,-1),(1,1,0)} ker(f)= {θ}, im(f)=R3

β b.L{(1,0,0)},L{(1,0,1},L{(1,0,0),(1,0,1)}

χ ker(f)={θ},im(f)=R3

c L{(1,0,1)}, L{(0,1,0)} L{(1,0,-1), L{(1,0,1),(0,1,0)}, L{1,0,1),(1,0,-1)}, L{0,1,0),1,0,-1)}, ker(f)= {θ}, im(f)=R3

n 1

)1(

00

0

0

0

1 1

1

)1(

00

0

0

0

110

221

Ph¬ng tr×nh

det(A-λI)=

λλ

11

0

22

1

= (1-λ)3=0

cã nghiÖm λ=1 béi 3 trªn R

Với λ=1 nên hệ thuần nhất

0

10

0

22

x x

1 2 3

Đó là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ=1

210

101

Phơng trình đặc trng

λλ

21

0

101

222

111

010

001

021

002

không chéo hoá đợc

001

020

001

121

012

0220

00

220

111

0210

0021

0002

0310

0021

0001

0300

0020

0001

0123

0026

0006

19 Giả sử U có sơ sở {u1, ,um} là không gian con bất biến của f và f tồn tại f -1 Khi đó {f(u1), ,f(um)} cũng là một cơ sở của U Với mọi y∈U, khi đó:

y=y1f(u1)+ +ymf(um)=f(y1u1+ +ymum)=f(x)

Nh vậy với mọi y∈U, ∃x=y1u1+ +ymum∈U để y=f(x), hay x=f -1(y)∈U Vậy f -1 bất biến trên U

20 Gọi U=L{e1, ,ek} và V=L{ek+1, ,en}

a Nếu f bất biến trên U hiển nhiên ma trận của f có dạng a ngợc lại, dễ dàng kiểm tra f(x)= A B

000

0

200

0

010

n

n n

a a a

a a a

a a

2 22 21

1 12 11

00

0

00

0

01

0

0

0

0

0

1

21 11

00

0

00

00

0

00

0

00

a

in nj

00

0

0

0

0

22 11

Hay A chéo hoá đợc

23 Ta có:

λ

λ

λλ

n

n n

a a a

a a

a

a a

a I A

2 22

21

1 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

T

nn n

n

n

n

λλ

2 22

12

1 21

0

0

2 1

22 21

nn n

a

a a

a I A

a Nếu det(A)=0 hiển nhiên λ=0 là nghiệm và ngợc lại

b Nếu det(A)≠0 hiển nhiên mọi trị riêng λ≠0 và ngợc lại, vì nếu có trị riêng λ=0 thay vào phơng trình ta thấy det(A)=0

c Nếu det(A) ≠0 và λ≠0 là một trị riêng của A Giả sử x véc tơ riêng ứng với trị riêng λ, khi đó: A.x=λx, do tồn tại A-1 nên có: x=λA-1x, hay A-1x= x

λ

1 Vậy λ

1

là một trị riêng của A-1

d Nếu A có n trị riêng λi (i=1,2, ,n), khi đó:

00

0

0

0

0

2 1

25 Aku=Ak-1(Au)= λAk-1u= =λku

26.Giả sử x là véc tơ riêng ứng với trị riêng λ, khi đó:

Akx=λkx=θx=θ=0.x

Vậy λ=0

27 a Các trị riêng λ1=λ2= =λn+1=0 véc tơ riêng x=(1,0, ,0) b.Các trị riêng λ1=0,λ2=1, ,=λn+1=n các véc tơ riêng là

0111

0011

0001

không chéo hoá đợc

0021

0001

chéo hoá đợc

31 Vì dim(E)=dim(E1)+ +dim(En)=n và Ei∩Ek=∅(i≠k) nên: E=E1⊕ E2⊕ ⊕En Vì {ξ1,ξ2, ,ξn } là cơ sở của E nên nếu x=x1ξ1+x2ξ2+ +xnξn thì biểu diễn là duy nhất Ta có:

f(x)=λ1x1ξ1+λ2x2ξ2+ +λnxnξn

vì λk là trị riêng của véc tơ riêng ξk (k= n1 ).,