SKKN : Binh phuong bieu thuc thi khong am- Cach nhin va ung dung

Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS.. Nhằm phát huy trí lực , kĩ năng giải toán , khả năng t duy sáng tạo , độc lập , có óc khái quát và tổng hợp.. Đặc biệt là

A _ Đặt Vấn Đề.

Trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS Nhằm phát huy trí lực , kĩ năng giải toán , khả năng t duy sáng tạo , độc lập , có óc khái quát và tổng hợp Đặc biệt là cung cấp cho học sinh phơng pháp suy nghĩ , cách nhìn nhận một vấn đề , một bài toán với phẩm chất toán học của nó

Với khả năng có hạn , bằng vốn kinh nghiệm , qua đọc và nghiên cứu sách , cộng với sự học hỏi ở các đồng nghiệp , tôi mạnh dạn viết vài dòng trình bày một vấn đề có thể không còn mới mẻ Nay tôi đem đến cho các bạn cùng nhìn nhận và tham khảo

B Nội dung

“ Bình phơng của một biểu thức thì không âm – cách nhìn và ứng dụng” Khởi đầu ( a- b)2 ≥0 với ∀a, b

Dấu “=” xảy ra khi a= b

1 Từ a2 – 2ab + b2 ≥0

⇔a2 +b2 ≥(a +b)2 (1) 2 2

2

a +b ≥ab với∀a, b

2(a2 +b2 ) ≥(a+b)2

2 Với a, b ≥0 Chia 2 vế của (1) cho ab ta có

a b 2

b a+ ≥ (2)

3 Cộng 2 vế của (1) và 2ab ta có (a+b)2 ≥4ab (3)

2

  ≥ ab

Với a,b ≥0 Khai phơng 2 vế ta có

2

( Bđt cụ si với 2 số không âm )

4 Chia 2 vế của (3) cho ab(a+b)>0 Ta có

a b 4

+ (4) Hay

+

1 1 1

4a+ 4b≥ a b

+

5 Chia hai vế của (4) cho a>0 ta có a2 b 2a

b>0 (5)

a +b2 2b

6 a, b>0 Lấy nghịch đảo và đổi chiều 2 vế của (5) ta có:

1 21 2

2ab ≥ a b

+ (6)

1 1 2 2

a b

+

+ ( nhân 2 vế với a+b )

1 1 1 2 2

2

a b

+

⇔  + ÷≥

+

7 Bít mçi vÕ cña (6) cho ab ta cã a2 – ab +b2 ≥ab(a+b) (7)

8 a2+b2 ≥2ab

2(a2+b2) ≥(a+b)2 (céng mçi vÕ víi a2 +b2)

2

2 2

≥  ÷ (chia mçi vÕ cho 4)

9 (a- b)2 ≥0

(a- c)2 ≥0 ⇒ 2(a2 + +b2 c2 ) ≥ 2ab +2ac +2ca

(b- c)2 ≥0 (a,b,c>0)

⇒ 3(a2 +b2+ c2) ≥(a+b+c)2

Bµi tËp ¸p dông

Bµi 1:

a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh tam gi¸c ( p lµ nöa chu vi)

+ + ≥  + + ÷

Gi¶i

Tõ (4) ta cã 1 1 4

+

T¬ng tù : p a1− + p b1− ≥ 2p a b− −4 =4c

1 1 4 4

2

p c1− + p a1− ≥ 2p a c− −4 =4b

2VT 4 1 1 1

a b c

≥  + + ÷

VT

1 1 1 2

a b c

≥  + + ÷

Bµi 2

Cho a,b ,c >0 CMR

2 2 2 2 2 2

Gi¶i

Tõ c«ng thøc (5) ta cã :

2 2 2

2 2 2

a

c b

a c

b

+ ≥

+ ≥ + ≥

T¬ng tù : a2 b2 c2 a b c

c + a + b ≥ + + (1)

a2 b2 c2 b c

Céng (1) víi (2) ta cã : 2 2 2 2 2 2

a b c

+ + + + + ≥ + +

Bµi 3

Cho a, b ,c >0 CMR : 2 2 2

2

b c c a a b

+ +

Gi¶i

Tõ (5) ta cã : +

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

( ) 2 2 4 2

( ) 2 2 4 2

( ) 2 2 4

a

b c b

a c c

b c

+

+

+

4a2 4b2 4c2 2(a b c)

Chia 2 vÕ cho 4 ta cã ®pcm

Bµi 4

Cho x>0 ∈Q* CMR ( )2

2

1 2

+  + + ≥÷

Gi¶i

Tõ (3) ta cã (1+x)2 ≥4x

2

  + + = + ≥÷

 

⇒®pcm.

Bµi 5

Cho a, b, c >0 CMR :

2

Gi¶i

Tõ (3) cã (a+b)2 ≥4ab

Chia 2vÕ cho ab(a+b)2> 0 Ta cã

T¬ng tù : +

( ) ( ) ( )

2

2

2

≥ +

≥ +

≥ +

( ) (2 ) (2 )2

4

( ) (2 ) (2 )2

2

4

a b a c b c

Bài 6

CMR: 2(a3 + +b3 c3)≥ab a b( + +) bc b c( + +) ac a c( + )

Giải

Từ (7) ta có : +

( ) ( )

3 3

3 3

2(a3 + +b3 c3)≥ab a b( + + ) bc b c( + + + ) (a c)

Bài 7

Cho (x,y)là nghiệm của hpt : ax-by=0

x +y =1

Tìm Max :xy

Giải

Tính x, y ax=by (có thể sd t/cdãy tỉ số băng nhau :a y =b x ax+ay = ay+by

a(x+y) = y(a+b)

a =y(a+b)

y a

a b

= +

Khi đó ( )2

1 4

ab xy

a b

+

Max 1

4

xy= ⇔ =a b Khi đó 1

2

x= =y

Bài 8

Cho a, b, c >0

Giải

a b ≤ + ⇒a b a b ≤ a+ b

2 (4 ) 21 1

≤ +

T¬ng tù :

+ +

+ +

Céng vÕ víi vÕ 3 b®t trªn råi rót gän ta cã ®pcm

Bµi 9

a, b,c >0 Tho¶ m·n 2 1 1

b = +a c

CMR : 4

+ + + ≥

Gi¶i

Tõ (gt) 2 a c

+

= ⇒ b = a c

ac

+

2

a b

a b+ =

−

2 2 2

ac a

a c ac a

a c

+ +

− +

+ = +

T¬ng tù : 3

+ = +

−

VÕ tr¸i = 3 3 3 2 3 2

+ + + = + + +

=3( 2 2) 2 3.2 2 8 4

Bµi10.

a, b,c ≥ 0 , a+b+c =1

CMR : a+b+c ≥4(1-a)(1-b)(1-c)

Gi¶i

Tõ a+b+c=1 ⇒ b+c=1-a

0 ≤ ≤c 1 ⇒c2 ≤ ⇒ ≥ − ≥ 1 1 1 c2 0

VÕ ph¶i = 4(b+c)(1-b)(1-c) [ ]2

(b c) (1 b) (1 c)

=(1 +c) (1 2 − = −c) (1 c2 ) 1 ≤ + = + +c a b 2c

Bµi 11.

a,b,c lµ 3 c¹nh cña tam gi¸c

Gi¶i §Æt x= b+c-a

y= c+a-b ⇒x+y+z=a+b+c

z= a+b-c

a+b+ c = x+y+z

- a+b+b = x

2a =y+z

2

y z

⇒ =

Tơng tự

2

x z

,

2

x y

1

1 (2 2 2) 3 2

VT

≥ + + =

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z ⇒a=b=c

Tức ABC đều

Bài 12

a,b,c la 3cạnh của tam giác CM

abc ≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Giải Tơng tự bài 11 ta có

x y+ ≥2 xy

2 2

+ ≥

x y y z z x

Bài 13

Cho a,b,c >0

CM : a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c

+ + + + + ≥ + +

Giải

Theo (8) ta có : 2(a2 +b2) ≥(a+b)2

2 2

2

a b

+ ⇒ đpcm.

Bài 14.

Cho a,b,c > 0 CM : a b2 2 b c2 2 c a2 2 1 1 1

+ + + + + ≤ + +

Giải

Theo (6) ta có : 2 2 1 1 1

2

a b

+ ≤  + 

+   ⇒đpcm.

Bài 15.

Cho a,b >0 và a+b=1

CMR :

5

 +  + +  ≥

Giải

Từ (8) có 2(a2+b2) ≥(a+b)2

2

2 2

2

a b

+ ≥  ữ

2 2

a b a b

a b

b a

≥ + + + ÷ = + + ÷

= + + ÷ ≥

⇒®pcm.

Bµi 16

Cho a,b,c >0 CMR

a b c

+ +

Gi¶i

Tõ(4) 1 1 4

+ 1 11 14(a b)

a b

+

T¬ng tù céng vÕ víi vÕ ta cã ®pcm

Bµi 17

a,b,c >0 CMR:

2

Gi¶i C¸ch 1

Theo (2) a b 2

b a+ ≥

2 2 2 6

3

3 2

2

M

N

a b c

b c c a a b

b c c a a b

x y z

= + + = + + + + + ÷≥ + + =

= + + ÷ = + ÷ + ÷ + −÷

=  + + + + +   + + + + + −

= + +  + + ÷−

1

2

.9 3

3 15 6

M N

Cách2.(Rất ngắn)

Xét 2 VT biến đổi

Bài 18.

Cho 2số dơng a,b có a+b=1 CMR

2 2

a

b

+

+

Giải

a, Từ (3) có 4 ( )2

ab

≤ +

≤

1 4

ab

⇒ ≥ (vì a,b >0)

2

a b

+ ≥

+

+

Dấu “=”xảy ra khi a=b=1

2

b, Tơng tự nh trên ta có

( )

2

3

2

a b

+

Bài19

Cho a,b ,c,d >0 CMR:

a c b d c a d b 4

+ + + + + + + ≥

Giải

Sử dụng công thức (4)

Bài 20.

Cho a +b=2 CMR : a4+b4 ≥2

Gi¶i

Tõ (8) 2(a2+b2) ≥(a+b)2= 4

L¹i cã : 2(a4+b4) ≥ (a2+b2)2 =4

⇒a4+b4 ≥2

Bµi 21

Gi¶i hpt

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x y x y z y z x z

= +

= +

= +

Bµi 22

Cho 2sè x,y kh¸c 0 CMR

A x22 y22 3 x y 4 0

= + −  + ÷+ ≥

Bµi 23.

Cho |a| ≤ 1 , |b| ≤ 1 vµ|a+b|= 3

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña 1 a− 2 + 1 b− 2

(§Ò thi vµo líp 10 THPT H¶i D¬ng)

Gi¶i

Ta cã : A= 1 a− 2 + 1 b− 2 ≥0

XÐt A2=

| | 1

A

≤ − + + − + −

= − + ≤ − + =

⇒ ≤

⇒ − ≤ ≤ 1 A 1

GTLN cña A lµ 1 khi a=b

2 2

| | 3

3 4 3

| | 2 3 2

a a a a a

⇒ =

⇔ =

⇔ = ±

3

2

a b= = −

⇒ 3

2

a b= =

Cho x, y, z là số nguyên dơng thoả mãn

1 1 1x+ +y z (1) CMR

(Đề thi đại học khối A năm 2005 )

Giải

Cách 1: Ap dụng bđt (a-b)2 ≥ 0

(a-b)2 ≥4ab

1 4

a b

+

≤

4

Đẳng thức xảy ra khi a=b

Ta có :

2x y z1 (x y)1(x z) 14 x y1 x z1 161 1 1 1 1x y x z

Đẳng thức xảy ra ⇔x=y=z (x+y =x+z , x=y, x=z )

Tơng tự :

≤  + + + ữ

≤  + + + ữ

Cộng 3 vế với bđt ta đợc đpcm

Cách 2

Ta có :

+ +

+ +

Cộng vế với 3 bđt trên ta có đpcm

Kết luận

Trên đây tôi đã trình bày vài bài tập sử dụng công cụ rất đơn giản mà học sinh đã đợc trang bị ở lớp dới Từ đó phát triển và hình thành cho học sinh

ph-ơng pháp t duy và suy nghĩ cực kỳ sáng tạo Tôi đã áp dụng trong việc bồi d-ỡng học sinh khá giỏi đợc các em phấn khởi và đem lại hiệu quả rất rõ rệt Kính mong các bạn đọc và bổ sung ; phát triển thêm