Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Một nhánh của C cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B.. Tìm điểm M thuộc nhánh còn lại sao cho diện tích tam giác MAB bằng 3.. Biết SC=a , các mặt
Trang 1SỞ GD &ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
Môn thi : Toán – lớp 12 Thời gian : 150 phút
==============================
Câu I.( 2 điểm )
Cho hàm số y x 1
x 1
(C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Một nhánh của (C) cắt Ox,Oy lần lượt tại A,B Tìm điểm M thuộc nhánh còn lại sao cho diện tích tam giác MAB bằng 3
Câu II.( 2 điểm )
1 Giải phương trình : cos5x sin 5x 2cos3x 2sin 3x cos x sin x 0
2 Giải hệ phương trình :
2
Câu III.( 1 điểm )
Tính tích phân :
9
2
e 2 3 e
ln xdx I
x ln x 1
Câu IV.( 1 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy AD và BC , BAC 90 0 và AC=AD Biết SC=a , các mặt phẳng (SAC) , (SBC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và tạo với nhau góc 600,góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V.( 1 điểm )
Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác Tìm gia trị lớn nhất của
3 3 3
a b c 15abc S
a b a c b a b c c a c b
+ + +
=
Câu VI.( 2 điểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I(4;4) Biết điểm M(5;6) thuộc AB và điểm
9 3
N ;
2 2
thuộc BC Viết phương trình các cạnh của hình vuông
2 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: 1 2
x 3 2t x 5 6a
d : y 3 2t ;d : y 2 3a
z 3 t z 2a
ì = + ì =- +
ï = + ï =- +
ï = + ï =
Gọi I là giao điểm của d1 và d2 Tìm toạ độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng 41
42 .
Câu VII.( 1 điểm )
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( x x)18
2- +4
Trang 2ĐÁP ÁN
ĐIỂM
I.1
+TXĐ
+ Tính y’ đúng ,tiệm cận
+BBT
+Đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25
I.2
Tìm được tọa độ của A(1;0),B(0;-1) Þ phương trình của AB : x-y-1=0
Do MÎ (C) nên tọa độ M x;x 1 , x 1
x 1
æ - ÷ö
çè + ø , A, B thuộc nhánh các điểm có hoành độ lớn hơn -1 nên M thuộc nhánh đồ thị có các điểm có hoành độ x<-1
x 1
-+
+
2 2
2
x x 6 x 1
x 3 y 2 M( 3; 2)
x 7x 6 0(loai)
0,25
0,25
0,5
II.1
PTÛ - 2sin 3x sin 2x 2cos3x sin 2x 2cos3x 2sin 3x+ + - =0
(cos3x sin 3x sin 2x 1) ( ) 0
k x
sin 2x 1
4
ê
ê
0,25 0,25
0,5
II.2 Cách 1
Nhận thấy hệ có 1 nghiệm x0,y0 Với x 0, chia phương trình 1 cho x , phương
trình 2 cho x khi đó:2
Trang 3Hệ
2 2
2
2 2
2 1
2 1
x
2 12 6 3 4 2 10 4 0 2; 1
2
+ Với y thay vào PT 2 1 ta được: 2
x x x x
+ Với 1
2
0 2
x PTVN
Kết luận: Nghiệm của hệ: 0;0 ; 1; 2 ; 2; 2
Cách 2: Từ phương trình 1 ta có: 2
2 1
y x
thay vào 2 ta được:
4x 12x 10x 6x 4x 0
2x x 1 x 2 2x 1 0 x 0;x 1;x 2
thay vào phương trình 1 ta được các
giá trị tương ứng của y
Từ đó ta có được căp nghiệm của hệ: x y ; 0;0 1;2 2; 2
0,25
0,25
0,25
0,25
III
t ln x 1 ln x t 1 3t dt
x
x=e Þ =t 1, x= Þ =e t 2
7 4
÷
5493
40
=
0,25
0,25
0,5
IV
( ) ( ) ( )
ü
ï
ü
^ ïï Þý ^ ï
^ ïþ
( ) ( )
(·SAC , SAB ) ACB· 60 , SB, SAC0 (· ( ) ) ASB· 450
Đặt AC=x>0 ta có AB=x 3,SA= a2+x2
0,25
Trang 4Do tam giác SAB vuông cân tại A nên x 3 a2 x2 x a
2
S.ABCD ABCD ABC ACD
0,5
V Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c khi đó S=3
Ta chứng minh
S 3£ Û a + + -b c 3abc=3 a b a c b a b c c a c b 6abc+ + + + + - (*)
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
3 a b a c b a b c c a c b 6abc+ + + + + - =3a b c- +3b a c- +3c a b
-( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1
2
0,25
450
600
x 3 x
a
S
Trang 5Do vai trò a,b,c như nhau nên có thể giả sử
a³ b³ cÞ 5a b c 5b a c 5c a b- - ³ - - ³ - - và 5a b c 0- - >
+Nếu 5c-a-b>0 thì (1) luôn đúng dấu bằng xảy ra khi a=b=c
+Nếu 5c-a-b<0 thì (5b a c- - ) (+ 5c a b- - )=4b 4c 2a+ - > Þ0 5b a c 0- - >
Vì ( )2 ( )2 ( )2
a b- £ a c- + -b c nên
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
4a 4c 2b b c 4b 4c 2a a c 0
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
0,25
0,25
0,25
VI.1
Lấy M’,N’ lần lượt đối xứng với M,N qua I thì M’(3;2)Î CD và N ' 7 13; AD
2 2
æ ö÷
ç ÷Î
çè ø Gọi tọa độvecto pháp tuyến của AB là ( ) 2 2
nr= a; b ,a + >b 0
PT của AB: a x 5( - )+b y 6( - )= và BC : 0 b x 9 a y 3 0
æ ö÷ æ ö÷
ç - ÷- ç - ÷=
Do I là tâm hình vuông nên d I; AB( )=d I; BC( )
b 5a
a b
2a 4b 5a b
ê
Với a=b PT của các cạnh là :
AB : x y 11 0; BC : x y 3 0
CD : x y 5 0; DA : x y 3 0
Với 7a=-5b PT các cạnh là :
AB : 5x 7y 17 0; BC : 7x 5y 39 0
CD : 5x 7y 1 0;DA : 7x 5y 57 0
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.2 Ta có d1 và d2 có các vecto chi phương lần lượt là uur1=(2; 2;1 ; u) uur2=(6;3; 2)
Trang 6Gọi α là góc giữa d1 và d2 thì α nhọn và 1 2
1 2
u u 20 cos
21
u u
ur uur
ur uur nên
sin 1 cos x
21
Vì tam giác IAB cân tại I nên IA=IB , 2
IAB
1
2
5 5 7 1 1 5
A d A 3 2t;3 2t;3 t , IA 1 A ; ; A ; ;
3 3 3 3 3 3
13 10 16 1 4 12
B d B 5 6a; 2 3a; 2a , IB 1 B ; ; B ; ;
Từ đó , suy ra 4 cặp điểm
0,25
0,25
0,25
VII
( x x)18 18 i ( 18 i x) 2xi 18 i ( 18 3i x)
Số hạng không chứa x thì (3i 18 x- ) = " Û =0, x i 6
Þ Số hạng không chứa x là : 6
18
C =18564
0,5
0,25 0,25