3.1.2 Các công thức toán học liên quan 3.1.2.1 Hệ tọa độ Tay máy là một chuỗi động học hở gồm một chuỗi liên tiếp nhau của các khâu, trong đó mỗi khớp chỉ liên kết với hai khâu kế tiếp
Trang 13 ĐỘNG HỌC TAY MÁY
3.1 GIỚI THIỆU VỀ TAY MÁY
Chương này sẽ đưa ra một vài lý thuyết cơ bản về tay máy Đầu tiên là phần giới thiệu về các loại tay máy và nguyên lý làm việc của chúng Sau đó, chúng ta sẽ nói sơ lược cách tính toán động học tay máy
Một tay máy thường gồm có 5 thành phần sau:
- Cánh tay cơ khí
- Khâu tác động cuối Nó có thể là một đầu hàn, một đầu phun sơn hay một tay kẹp…
- Động cơ để di chuyển các khâu Đa số là các động cơ điện servo hoặc các động cơ thủy lực
- Bộ điều khiển
- Các cảm biến được gắn vào tay máy và được nối với bộ điều khiển, nó tạo ra tín hiệu phản hồi giúp cho tay máy hoạt động chính xác hơn
Với những thành phần trên, tay máy có thể hoạt động, và tùy theo chuẩn động của tay máy mà người ta phân loại chúng
3.1.1 Phân loại tay máy theo chuyển động
Để hiểu được cánh tay làm việc như thế nào thì ta phải biết cách nó di chuyển Có hai chuyển động cơ bản của một tay máy:
Trang 2• Quay
Ngoài ra người ta còn dựa trên số bậc tự do của tay máy để phân loại
chúng Mỗi một chuyển động quay hay chuyển động tịnh tiến có trong tay máy
là một bậc tự do được tính Số bậc tự do của một tay máy là thước đo mức độ
phức tạp của tay máy cũng như khả năng điều khiển chúng Nếu một tay máy
có hơn 3 bậc tự do thì sẽ có nhiều cách khác nhau để đưa khâu tác động cuối đến một điểm xác định cho trước
3.1.2 Các công thức toán học liên quan
3.1.2.1 Hệ tọa độ
Tay máy là một chuỗi động học hở gồm một chuỗi liên tiếp nhau của các
khâu, trong đó mỗi khớp chỉ liên kết với hai khâu kế tiếp Để khảo sát chuyển
động của các khâu, người ta dùng phương pháp hệ tọa độ tham chiếu hay hệ tọa
độ cơ sở Bằng cách gắn cứng lên mỗi khâu động cơ thứ k một hệ trục tọa độ
vuông góc (oxyz)k, gọi là hệ tọa độ tương đối Với phương pháp này ta có thể
khảo sát chuyển động của một khâu bất kỳ trên tay máy hoặc chuyển động của
một điểm bất kỳ thuộc khâu
Tọa độ của điểm M thuộc khâu bất kỳ, được xác định bởi bán kính vectơ
r(0)
M với các thành phần hình chiếu của nó trong hệ tọa độ cơ sở (oxyz)0 lần lượt
là (x(0)
M , y(0)
M , z(0)
M), gọi là tọa độ tuyệt đối của điểm M Tọa độ của một điểm M thuộc khâu thứ k được xác định bởi bán kính vectơ
Mk
r với các thành phần tương ứng của nó trong hệ tọa độ (Oxyz)k – gọi là tọa độ
tương đối của điểm M
X
0
r
M0
r
0k
Mk
Yk
Zk
Tọa độ của điểm M được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
Trang 3
=
0 M
0 M
0 M 0
M
z y
x
=
k M
k M
k M k
M
z y
x r
Như vậy ta có thể coi tay máy là một chuỗi các hệ tọa độ liên tiếp có chuyển động tương đối với nhau
3.1.2.2 Chuyển đổi hệ tọa độ
Phép biến đổi hệ tọa độ được sử dụng để biến đổi các thành phần của vectơ khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác
Trong hệ tọa đô vuông góc (Oxyz) có các vectơ đơn vị lần lượt là i, j, k tương ứng trên các trục x, y, z Gọi hình chiếu của vectơ a theo hướng i, j, k lần lượt là ax, ay, az, khi đó:
Trong đó ax, ay, az được xác định bằng cách chiếu (3-1) lên lần lượt các trục
x, y, z tương ứng ta được:
) x , a ( Cos a
ax =
) y , a ( Cos a
ay =
) z , a ( Cos a
az = Khi biết được các thành phần của vectơ a theo các trục x, y, z ta có thể tính thành phần của nó theo hướng u bất kỳ Để làm điều này ta chiếu cả hai vế của phương trình (3-1) lên hướng u ta được:
) z , u ( Cos a ) y , u ( Cos a ) x , u ( Cos a
Như vậy thành phần của vectơ a theo một phương bất kỳ có thể biểu diễn qua các thành phần của nó trên các trục của một hệ tọa độ vuông góc và phép biểu diễn này là tuyến tính
Gọi ϕ là góc giữa các hướng của vectơ a và u, thế (3-1) và (3-2) ta được:
) z , u ( Cos ) z , a ( Cos ) y , u ( Cos )
y , a ( Cos ) x , u ( Cos ) x , a ( Cos ) u , a ( Cos
)
(
Như vậy ta nhận được công thức của hình học giải tích cho cosin của góc ϕ giữa các hướng a và u
3.1.3 Phân tích động học tay máy bằng phương pháp ma trận
Trên cơ sở những kiến thức về phép chuyển đổi hệ tọa độ ở trên, phần tiếp theo đây sẽ khảo sát cách thực hành để áp dụng phương pháp ma trận trong việc khảo sát động học các cơ cấu tay máy Có hai trường hợp là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay Nhưng ở đây chúng ta chỉ khảo sát trường hợp hai hệ tọa độ (Oxyz)1 và (Oxyz)0 có chuyển động tương đối là chuyển động quay
Xét hai hệ tọa độ (Oxyz) và (Oxyz) như hình vẽ
Trang 4(axo, ayo, azo) Ta sẽ đi tìm các thành phần là ax1 , ay1, az1 của vectơ a trong hệ tọa độ (Oxyz)1
j k
M'
i
a
a M
z1
O1
x1
y0
0
x
Z0
Gọi l=0001 Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp l = 0 Lúc này 00 ≡ 01
Trong hệ tọa độ (Oxyz)0 ta có
o zo o yo o
xoi a j a k a
Trong hệ tọa độ (Oxyz)1 ta có:
0 0
0 1
1
0 0
0 1
1
0 0
0 1
1
k k a j k a i k a k a
k j a j j a i j a j a a
k i a j j a i i a i a a
í zo í
yo í
xo z
í zo í
yo í
xo y
í zo í
yo í
xo x
+ +
=
=
+ +
=
=
+ +
=
=
(3-4)
Trong đó, các đại lượng ax1, ay1, az1 tìm được có quan hệ tuyến tính với các thành phần hình chiếu ax0, ay0, az0 Ngoài ra các hệ số ảnh hưởng của các đại lượng này là tích vô hướng giữa các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ(Oxyz)0 và (Oxyz)1 và cũng là cosin của các góc tạo bởi các trục tọa độ tương ứng
Từ (3-4) các thành phần trong hàng thứ nhất
) z , x ( Cos k
i
) y , x ( Cos j
i
) x , x ( Cos i
i
0 1 0
1
0 1 0
1
0 1 0
1
=
=
=
(3-5)
Biểu diễn hình chiếu của vectơ đơn vị ií trên các tọa độ x0, y0, z0 hay cũng chính là cosin chỉ hướng của trục x1 trong hệ tọa độ (oxyz)0
Biểu diễn dạng ma trận:
Trang 5
=
o í o í o í
o í o í o í
o í o í o í ba
k k j k i k
k j j j i j
k i j i i i M
hay
=
) z , z cos(
) y , z cos(
) x , z cos(
) z , y cos(
) y , y cos(
) x , y cos(
) z , x cos(
) y , x cos(
) x , x cos(
o o
o
o o
o
o o
o ba
1 1
1
1 1
1
1 1
1
M
Ma trận Mba gọi là ma trận cosin chỉ hướng
Gọi a(o) và a(1) là các ma trận cột với các phần tử là các hình chiếu của chúng trên các hệ trục tọa độ (Oxyz)0 và (Oxyz)1
=
=
) z
) y
) x ) )
o ( z
) o ( y
) o ( x ) o (
a a
a a
; a a
a a
1 1
1 1
Như vậy (3-4) có thể viết lại:
a(1) =Mba a(0) Phương pháp ma trận cho phép ta thể hiện một cách ngắn gọn việc chuyển hình chiếu của vectơ a trong hệ trục tọa độ (Oxyz)0 sang hệ trục tọa độ (Oxyz)1 Trong đó ma trận Mba được gọi là ma trận quay trong phép chuyển đổi các thành phần của vectơ a từ hệ trục tọa độ 00 sang 01
Tương tự, ta xác định được ma trận quay trong phép chuyển đổi từ hệ trục tọa độ 00 sang 01, ta có:
=
1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0
k k j k i k
k j j j i j
k i j i i i
Do tính chất vô hướng của tích hai vectơ i0, i1 ma trận Mab nhận được chính là ma trận chuyển vị của ma trận Mba
Khi giải bài toán động học của cơ cấu không gian nhiều bậc tự do, trong đó bao gồm các cơ cấu tay máy, ta sẽ căn cứ vào tính chất động học của từng loại khớp để bố trí sao cho các hệ trục tọa độ tương đối của hai khâu kế tiếp nhau có một trục trùng nhau hoặc song song nhau ở mọi vị trí trong không gian hoạt động của cơ cấu nhằm đơn giản hóa các quá trình tính toán
Trường hợp l ≠ 0 Khi liên kết giữa các khâu trên cơ cấu tay máy gồm các khớp bản lề và các khớp tịnh tiến thì việc mô tả chuyển động tương đối giữa các khâu bằng phương pháp nêu trên sẽ gặp trở ngại Vấn đề xuất hiện ở chỗ là ma trận (3x3) không thể mô tả chuyển động tịnh tiến giữa hai khâu liên kết bằng khớp trượt loại 5, tương ứng với l ≠ 0
Trang 6Nói cách khác là phương pháp này chỉ phù hợp cơ cấu tay máy liên kết hoàn toàn bằng khớp bản lề Khắc phục nhược điểm này người ta đưa ra một phương pháp khác tổng quát hơn, đó là phương pháp tọa độ thuần nhất
3.1.4 Mô tả chuyển động với phương pháp tọa độ thuần nhất
3.1.4.1 Giới thiệu phương pháp tọa độ thuần nhất
Phương pháp này được đưa ra bởi FOREST năm 1969 Theo phương pháp này một không gian n chiều được trình bày trong n+1 chiều Ví dụ trong không gian 3D một điểm P được xác định bởi vectơ rp với các thành phần xp, yp, zp được biểu diễn thành (hxp, hyp, hzp) với h là một số tùy ý Trong khảo sát động học tay máy, h thường bằng 1, thể hiện sự không thay đổi về giá trị kích thước của từng phần tử trong phép chiếu từ không gian n sang n+1 chiều, hoặc ngược lại Tọa độ được thêm vào h, được dùng như một hệ số tỷ lệ nhằm khắc phục mức giới hạn trong đồ họa điện toán
Các tọa độ thuần nhất có thể được xem như tọa độ thêm vào của mỗi vectơ sao cho vectơ sẽ không thay đổi bằng cách cho các phần tử nhân với một hằng số Ví dụ vectơ v = a i + b j + c k sẽ được biểu diễn dưới dạng ma trận cột trong tọa độ thuần nhất là:
=
=
=
1 c b a
w cw bw aw
w z y
x
Để khắc phục một vấn đề nữa của phương pháp ma trận, người ta dựa vào
ma trận Mab(3x3) để định nghĩa một ma trận chuyển đổi (4x4) mô tả đồng thời các chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến giữa các hệ tọa độ như sau:
=
) 1 1 ( )
3 1 (
) 1 3 ( )
3 3 (
x
lệ Tỷ x
chuẩn trực đổi
tiến tịnh đổi Chuyển x
quay đổi Chuyển T
Trong phần khảo sát động học cơ cấu tay máy, ta chỉ quan tâm đến việc mô tả đồng thời các chuyển đổi quay và chuyển đổi tịnh tiến không làm thay đổi hướng của các vectơ, do đó các phần tử trong chuyển đổi trực chuẩn là (0,0,0) với tỉ lệ là 1, như vậy:
=
1 0 0 0
3 3 3 3 T
Vậy một điểm p trong không gian 3D (R3) có tọa độ (x, y, z)T sẽ được biểu diễn theo tọa độ thuần nhất là (x, y, z, 1)T trong không gian (R4)
Trang 7Trên cơ sở, Denavit – Hartenberg đưa ra ý tưởng sử dụng tọa độ thuần nhất để mô tả chuyển đổi hệ tọa độ khi khảo sát chuyển động hở trên tay máy, cho nên các ma trận này gọi là ma trận DH
3.1.4.2 Ma trận DH tuyệt đối
Trên tay máy gồm n khâu, ta xét chuyển động của khâu 1 so với hệ tọa độ
cơ sở, ta có:
(3-6)
1
0 1 1
0(t) c (t) A (t).r
Trong đó :
=
) (
) (
) (
)
(
t
z
t
y
t
x
t
r
o
o
o
o Tọa độ của một điểm trên khâu 1 so với hệ tọa độ cơ sở(O,x,y,z)o
=
)
(
) (
)
(
)
(
1
1
1
1
t
c
t
b
t
a
t
c Chuyển vị tịnh tiến góc 01 so với hệ tọa độ cơ sở
=
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
(
1 1
1
1 1
1
1 1
1
0
1
t c t b t a
t c t b t a
t c t b t a
t
A
z z
z
y y
y
x x
x
Ma trận quay của khâu 1 xung quanh góc 01
=
1
1
1
1
z
y
x
r Tọa độ của điểm đang xét trên khâu 1 so với hệ tọa độ (Oxyz)1 tương
đối
Từ (3-6) ta được:
=
1
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
1
)
(
)
(
)
(
1 1 1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
z y x t c t b t a
t c t b t a
t c t b t a
t
z t
y
t
x
z z
z
y y
y
x x
x
o
o
o
Nếu gọi
=
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
(
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
t c t b t a
t c t b t a
t c t b t
a T
z z
z
y y
y
x x
x o
Thì trong không gian (R4) ta có thể mô tả chuyển động của một điểm thuộc khâu 1 như sau:
1
1( ) )
(t T t r
o = ×
Trang 8Và ma trận được gọi là ma trận DH tuyệt đối của khâu 1 cho phép mô tả đồng thời chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay 1
T
o
3.1.4.3 Ma trận DH tương đối
Ma trận DH tương đối ký hiệu là để mô tả chuyển động tương đối giữa hai khâu i và j Nếu như xem khâu i là giá thì là ma trận DH tuyệt đối của khâu j
i j
A
i j
A
Ta có mối quan hệ giữa ma trận tuyệt đối và tương đối
k k
n k n
oT 1A 1
0 +
−
=
π
=
3.1.4.4 Ma trận DH quay
Cách thể hiện ma trận DH trong trường hợp chuyển động tương đối là chuyển động quay quanh 1 trục bất kỳ, là kết quả tổng hợp của chuyển động quay đồng thời 3 trục tọa độ x, y, z một góc ϕ nào đó
Trường hợp quay quanh trục x một góc ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= ϕ
1 0 0
0
0 cos sin
0
0 sin cos
0
0 0 0
1 ) , (x Rot
Trường hợp quay quanh trục y một góc ϕ
ϕ ϕ
−
ϕ ϕ
= ϕ
1 0 0 0
0 cos 0 sin
0 0 1 0
0 sin 0 cos )
, (y Rot
Trường hợp quay quanh trục z một góc ϕ
ϕ ϕ
ϕ
− ϕ
= ϕ
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
) , (z Rot
3.1.4.5 Ma trận DH tịnh tiến
Trong trường hợp tổng quát chuyển động tịnh tiến tương đối giữa hai khâu làm thay đổi đồng thời tọa độ trên 3 trục với các lượng dịch chuyển trên 3 trục lần lượt là px, py, pz thì ma trận DH để mô tả trong hệ tọa độ thuần nhất có dạng:
Trang 9
=
1 0 0 0
p 1 0 0
p 0 1 0
p 0 0 1 A
) p , p , p (
Trans
z y
x 1
i j z y x
3.2 BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC THUẬN
Nội dung của bài toán này được phát biểu như sau: ”Cho trước số khâu, số khớp, loại khớp và các kích thước động di của các khâu thành viên trên tay máy,
ta phải xác định vị trí và hướng của khâu tác động cuối, trong hệ trục tọa độ vuông góc gắn liền với giá cố định khi cho trước vị trí của các khâu thành viên thông qua các tọa độ suy rộng (qi) dùng để mô tả chuyển động tương đối giữa chúng”
Cụ thể hơn, ở bài toán này các biến dịch chuyển là các góc quay tương đối
θi (i=1-5) đã cho biết trước Ta phải xác định tọa độ tuyệt đối của điểm trên khâu tác động cuối và hướng của nó
Một điểm p bất kỳ trong không gian được xác định trong hệ tọa độ thứ i bằng bán kính vectơ r i , và trong hệ tọa độ cơ sở sẽ được xác định bằng bán kính vectơ ro Ta có quan hệ:
p i i o 1 i i
1 2
0 1
o A A A T r
Trong đó
=
1
o
o
o
o z
y
x
r biểu diễn các thông số cần tìm của điểm p trong hệ tọa độ cơ sơ.û
=
1
pi
pi
pi
i z
y
x
r biểu diễn tọa độ điểm p trong hệ tọa độ tương đối thứ i, ma trận
đã biết
Như vậy theo (3-7) ta phải đi tìm các ma trận chuyển đổi thì bài toán được giải quyết, và bài toán này có duy nhất một nghiệm Vì ứng với một vị trí của các khâu thành viên ta chỉ có duy nhất một tọa độ của khâu cuối
1
− i i
A
Trang 103.3 BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC
Nội dung bài toán này được phát biểu như sau: “Cho trước số khâu, số khớp, loại khớp, kích thước động di của các khâu thành viên, và cho trước vị trí, hướng của khâu tác động cuối trong hệ tọa độ Descarters Ta phải xác định vị trí của các khâu thành viên thông qua các tọa độ suy rộng qi của chúng sao cho khâu tác động cuối đạt được vị trí và hướng yêu cầu“
Nếu như so với bài toán thuận có một đáp số duy nhất thì ngược lại bài toán ngược có vô số đáp số, lý do là sự mô tả vị trí tương đối giữa các khâu thành viên chỉ là ánh xạ theo chiều thuận mà không có chiều nghịch Để giải quyết vấn đề này nhằm chọn ra nghiệm tối ưu, người ta đưa ra các ràng buộc về động học bên trong vùng không gian hoạt động của nó Hoặc đặt vấn đề phải tối ưu hóa hoạt động của tay máy theo một hàm mục tiêu cụ thể nào đó để chọn lời giải tối ưu nhất Để giải bài toán ngược trước tiên ta đưa ra bài toán mục tiêu và giải bài toán đó với các ràng buộc
3.4 KẾT LUẬN
Chương này chúng ta đã trình bày khái quát một số lý thuyết tính toán động học cho tay máy Và dựa trên những lý thuyết này, chương sau chúng ta sẽ tiến hành việc tính toán cụ thể cho tay máy chế tạo
