CHƯƠNG 8: ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN ppt

Sự cân bằng của biến dạng thẳng ban đầu được gọi là không ổn định.. P P Q 6 KHÁI NiỆM CHUNG - Như vậy, nếu P > Pth, thì thanh cân bằng không ổn định, thanh sẽ chuyển sang hình thức biến

BÀI GiẢNG MÔN HỌC

SỨC BỀN VẬT LiỆU

GV: TRẦN HỮU HUY

Tp.HCM, tháng 10 năm 2009

(Lưu hành nội bộ)

2

ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN

CHƯƠNG 8:

CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

KHÁI NiỆM CHUNG

Một trong những nhiệm vụ cơ bản của môn Sức bền vật liệu là đề ra phương pháp tính toán độ ổn định của các bộ phân công trình dưới tác dụng của ngoại lực

Có thể hiểu, ổn định là khả năng duy trì hình thức biến dạng ban đầu khi bị nhiễu Trong thực tế, nhiễu có thể là các yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính như độ cong ban đầu, sự nghiêng hoặc lệch tâm của lực tác dụng

4

- Quả cầu đặt ở mặt lõm, nếu ta đẩy nó rời khỏi vị trí cân bằng thì nó sẽ trở lại vị trí ban đầu ngay sau khi ta bỏ lực

đi Ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng ổn định

Để có khái niệm về ổn định, ta hãy xét ví dụ sau:

- Quả cầu đặt ở mặt lồi, khi ta đẩy nó ra khỏi vị trí cân bằng thì nó không trở về vị trí ban đầu nữa Ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng không ổn định

- Quả cầu nằm trên mặt phẳng, quả cầu đến vị trí mới và giữ nguyên ở vị trí đó khi rời khỏi vị trí cân bằng cũ, ta nói quả cầu ở trạng thái cân bằng phiếm định

KHÁI NiỆM CHUNG

- Nếu lực P < Pth, thanh sẽ phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng ban đầu Sự cân bằng của trạng thái biến dạng thẳng ban đầu được gọi là ổn định

Điều tương tự cũng xảy ra đối với một hệ đàn hồi:

- Nếu P > Pth, chuyển vị ngang δ sẽ tăng lên và thanh sẽ cong thêm Sự cân bằng của biến dạng thẳng ban đầu được gọi là không ổn định

- Nếu lực P = Pth, thanh sẽ giữ nguyên chuyển vịδ

và biến dạng cong sau khi bị nhiễu Sự cân bằng của biến dạng ban đầu được gọi là phiếm định

P P Q

6

KHÁI NiỆM CHUNG

- Như vậy, nếu P > Pth, thì thanh cân bằng không ổn định, thanh sẽ chuyển sang hình thức biến dạng mới bị uốn cong, khác trước về tính chất, bất lợi về điều kiện chịu lực

- Các kết cấu khác đều có thể bị mất ổn định như thanh chịu nén, dầm chịu uốn, tấm vỏ chịu nén hoặc xoắn

- Khi xảy ra mất ổn định dù chỉ một thanh cũng dẫn đến sự sụp đổ của toàn bộ kết cấu Tính chất phá hoại do mất ổn định là đột ngột và nguy hiểm

- Trong chương này chỉ giới thiệu bài toán ổn định thanh chịu nén đúng tâm

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN

Thanh hai đầu khớp

Xét thanh thẳng hai đầu liên kết khớp chịu lực nén đúng tâm Pth Khi bị nhiễu, thanh sẽ bị uốn cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất Ta xác định lực tới hạn đó

y(z)

L

1 1 P

th

1-1 y(z)

P

z

th

P th

M

8

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN

Thanh hai đầu khớp

- Từ điều kiện cân bằng của đoạn thanh, ta xác định được mômen uốn trên mặt cắt đó:

- Giả thiết rằng khi thanh mất ổn định, vật liệu thanh làm việc trong giai đoạn đàn hồi và chuyển vị là bé Gọi độ cứng chống uốn trong mặt phẳng uốn cong là EImin

( ) ( )

x th

M z =P y z

- Phương trình vi phân đường đàn hồi:

( ) x( )

min

M z

y '' z

EI

= −

(a)

(b)

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp

- Thay (a) vào (b) ta được:

Đặt:

( ) th ( ) ( ) th ( )

min min

2 th min

P EI

α =

(c)

Ta viết lại phương trình trên như sau:

( ) 2 ( )

y '' z + α y z =0

Nghiệm tổng quát của phương trình (c) có dạng:

y z =C sin z C cos zα + α (d)

10

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp

Trong đó, C1và C2là các hằng số tích phân:

- Với: z 0= ⇒ y z( )=y 0( )= ⇒0 C1=0

- Với: z L= ⇒y z( )=y L( )= ⇒0 C sin L 02 α =

Nếu C2= 0 thì y(z) = 0 với mọi biến z, điều này sai

Do đó: sin L 0α = ⇒ α = πL n Với n = 1, 2, 3, …

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh hai đầu khớp

L

π

min

P EI

α =

2 2

th min 2

n EI

L

π

Với n = 1, 2, 3, …

Trong thực tế, khi lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ nhất, ứng với n=1 thì thanh đã bị cong Do đó, các giá trị ứng với n>1 không còn ý nghĩa Nên, công thức viết lại như sau:

Với n = 1, 2, 3, …

2 min

th 2

EI P

L

π

(8.1)

12

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh có liên kết khác

Khi xác định lực tới hạn cho các thanh có liên kết khác nhau ở hai đầu bằng phương pháp bên trên, ta đều thu được công thức có dạng chung giống công thức (8.1)

2 2 min

th 2

n EI P

L

π

=

Với n là số nửa sóng hình sin của đường đàn hồi khi thanh bị mất ổn định

1 n

2 min

th 2

EI P

L

π

μ

Trị sốμL được gọi là chiều dài quy đổi của thanh

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Thanh có liên kết khác

Sau đây là một số dạng mất ổn định và hệ số quy đổi của thanh có liên kết khác nhau thường gặp:

14

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Ứng suất tới hạn

Ứng suất trong thanh thẳng chịu nén đúng tâm bởi lực

Pthgọi là ứng suất tới hạn được xác định theo công thức:

2 2 2

th min min

min min

I i

A

=

Trong đó:

(8.4)

Bán kính quán tính của tiết diện theo phương có độ cứng chống uốn là nhỏ nhất

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Ứng suất tới hạn

Đặt:

min

L i

μ

λ =

2

th 2

E π

σ = λ

Công thức (8.4) được viết lại như sau:

Gọi là độ mảnh của thanh

(8.5)

Độ mảnh của thanh không có thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết biên và đặc trưng hình học của tiết diện, thanh có độ mảnh càng lớn thì càng dễ mất ổn định

16

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Giới hạn sử dụng công thức Euler

Công thức Euler được xây dựng trên cơ sở phương trình

vi phân đường đàn hồi, vì vậy chỉ áp dụng được khi vật liệu còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, tức là ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỷ lệ:

2

th 2 tl

E π

λ

2

tl

E π

λ ≥ σ

hay

Đặt

2 0

tl

E π

λ =

LỰC TỚI HẠN CỦA THANH CHỊU NÉN Giới hạn sử dụng công thức Euler

Trong đóλ0 được gọi là độ mảnh giới hạn và là một hằng

số đối với mỗi loại vật liệu:

- Đối với thép xây dựng λ0= 100

- Đối với gỗλ0= 75

- Đối với gang λ0= 80 Nếu thanh cóλ > λ0thì được gọi là thanh có độ mảnh lớn Do đó, công thức Euler chỉ áp dụng được cho thanh

có độ mảnh lớn

18

ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Giới thiệu

Khi ứng suất tới hạn trong thanh lớn hơn giới hạn tỉ lệ thì cần thiết phải có công thức khác để tính lực tới hạn

Iasinski

σ

ch

σ

0

σt l

λ

λ1 λ0

Euler

ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI Công thức thực nghiệm Iasinski

Nếu thanh có độ mảnh vừa λ1< λ < λ0, thì áp dụng công thức sau:

th a b

σ = − λ

Với a và b là hằng số phụ thuộc vào vật liệu, được xác định bằng thực nghiệm

- Đối với thép a = 33,6(kN/cm2); b = 0,147 (kN/cm2)

- Đối với gỗ a = 2,93 (kN/cm2); b = 0,0194 (kN/cm2)

- Độ mảnh λ1 được xác định từ công thức:

tl 1

a b

− σ

σ =

20

ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI

Công thức thực nghiệm Iasinski

Nếu thanh có độ mảnh béλ < λ1, lúc này thanh không bị mất ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại của vật liệu

Vì vậy:

- Với σ = σth b Đối với vật liệu giòn

- Với σ = σth ch Đối với vật liệu dẻo

ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI

Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến

Ta có đường cong quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

Môđun đàn hồi tiếp tuyến được định nghĩa là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong quan hệ ứng suất và biến dạng

t

d E d

σ

= ε

E

ch

σ

0

σt l

ε B

E

1

th

σ

A

22

ỔN ĐỊNH NGOÀI MiỀN ĐÀN HỒI

Công thức lý thuyết môđun đàn hồi tiếp tuyến

Khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi thì môđun tiếp tuyến là một hàm theo ứng suất:

Bằng cách thiết lập công thức giống như cách của Euler nhưng môđun đàn hồi E được thay bằng môđun đàn hồi tiếp tuyến Et

( )

2

t min

th 2

E I P

L

π

= μ

Ứng suất tới hạn được xác định qua công thức:

2 t

th 2

E π

σ =

λ

PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính:

Một thanh chịu nén cần thỏa mãn hai điều kiện:

- Điều kiện bền:

[ ]n

g

P A

σ

σ =

- Điều kiện ổn định:

[ ]od

P A

σ

n: hệ số an toàn về bền Ag: diện tích giảm yếu của t/diện

k: hệ số an toàn về ổn định A: diện tích nguyên của t/diện

24

PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính:

Để thuận tiện cho tính toán thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hoặc hệ số giảm ứng suất ϕ được định nghĩa như sau:

[ ] [ ]odn th0

n k

0

1

σ <

n 1

k <

Từ đó ta được:

nên ϕ <1

[ ]σ od = ϕ σ[ ]n hay P [ ]n

A

ϕ

ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Bảng hệ sốϕ = ϕ(E, λ, k)

0,31 0,16

0,43 0,51

0,60 100

0,38 0,20

0,55 0,62

0,69 90

0,48 0,26

0,65 0,70

0,75 80

0,60 0,34

0,72 0,76

0,81 70

0,71 0,44

0,79 0,82

0,86 60

0,80 0,54

0,83 0,86

0,89 50

0,87 0,69

0,87 0,89

0,92 40

0,93 0,81

0,91 0,92

0,94 30

0,97 0,91

0,95 0,95

0,96 20

0,99 0,97

0,97 0,98

0,99 10

1,00 1,00

1,00 1,00

1,00 0

Gỗ Gang

Thép CΠK Thép số 5

Thép số 2, 3, 4

Trị số ϕ đối với

Độ mảnh λ

26

PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Bảng hệ sốϕ = ϕ(E, λ, k)

0,08 0,13

0,16 0,19

200

0,09 0,14

0,17 0,21

190

0,10 0,15

0,19 0,23

180

0,11 0,17

0,21 0,26

170

0,12 0,19

0,24 0,29

160

0,14 0,21

0,26 0,32

150

0,16 0,23

0,29 0,36

140

0,18 0,26

0,33 0,40

130

0,22 0,30

0,36 0,45

120

0,25 0,35

0,43 0,52

110

Gỗ Gang

Thép CΠK Thép số 5

Thép số 2, 3, 4

Trị số ϕ đối với

Độ mảnh λ

PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính:

Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản:

[ ]n

P A

- Bài toán kiểm tra ổn định:

[ ]P ≤ ϕ σA[ ]n

- Bài toán xác định tải trọng cho phép:

Trong hai bai toán trên, vì tiết diện thanh đã biết bên có thể tính được Imin, rồi từ đó tìm được λ, rồi tra bảng tìm được ϕ

28

PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Phương pháp tính:

Đối với bài toán ổn định cũng có ba bài toán cơ bản:

[ ]P n

ϕ σ

- Bài toán xác định kích thước tiết diện:

[ ]

P

ϕ σ

Việc tìm A phải tìm đúng dần, vì ta có hai biến A vàϕ chưa biết Ta có thể tiến hành như sau:

Giả thiết ϕ0= 0,5, tính được:

Từλ0tra bảng được λ0’ Nếu λ0 khác λ0’ thì giả thiết lại λ1:

[ ]

'

'

P A

2

λ + λ

ϕ σ

ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý

Theo công thức tính lực tới hạn:

( )

2 min

EI P

L

π

= μ

- Trong miền đàn hồi:

Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước,

để tăng Pthta có các cách sau:

( )

2

t min

E I P

L

π

= μ

- Ngoài miền đàn hồi:

30

PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lý

- Chọn vậy liệu có môđun đàn hồi lớn, việc này chỉ áp dụng đối với thanh làm việc ngoài miền đàn hồi

- Cấu tạo mặt cắt ngang rỗng để tăng mômen quán tính của tiết diện nhưng phải đảm bảo không để mất ổn định cục bộ

- Nếu tiết diện có liên kết hai phương giống nhau thì cấu tạo tiết diện có Ix= Iy Đồng thời, nếu liên kết hai phương là khác nhau thì nên cấu tạo sao cho λx= λy

Nếu như chiều dài là liên kết hai đầu thanh đã biết trước,

để tăng Pthta có các cách sau: