II .GIẢI TÍCH :1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm MxM ; yM.. 2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến với đồ thị.. 8.Dạng 8 :Tìm giá trị lớn nhất
Trang 1II GIẢI TÍCH :
1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xM ; yM)
B1 : k = f ‘(x)
B2 :Phương trình tiếp tuyến : y – yM = k(x – xM )
2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến với đồ thị.
B1: Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x)
B2: Điều kiện tiếp xúc :
) ( ' ) ( '
) ( ) (
x g x f
x g x f
* Chú ý :
Phương trình đường thẳng d qua A(xA ; yA) có dạng : y – yA = k(x – xA)
Nếu đường thẳng d có dạng : ax + by + c = 0 thì :
o d //d1: ax + by + m = 0 ( m c)
o d d1: bx – ay + n = 0
3.Dạng 3:Đường cong : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi :
ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt
yCĐ yCT < 0
4.Dạng 4:Tìm điểm cố của hàm số y = f(x)
B1:Đưa về dạng : y = f(x) Am = B m
B2:Điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ
0 0
B A
5.Dạng 5:Tìm tọa điểm uốn :
B1: y’’ = 0 có nghiệm xo yo = f(xo)
B2: Tọa độ điểm uốn : U(xo;yo)
6.Dạng 6:Tìm điều kiện của tham số để hàm số :
Đạt cực tiểu tại xo
0 ) ( '
0 ) ( ' 0 0
x y x y
; Đạt cực đại tại xo
0 ) ( '
0 ) ( ' 0 0
x y x y
7.Dạng 7:Điều kiện để hàm số tăng khi y’ > 0 Điều kiện để hàm số giảm khi y’< 0
8.Dạng 8 :Tìm giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Trên khoảng (a ; b) thì ta lập bảng xét dấu của y’ và yCĐ là giá trị lớn nhất ; yCT là giá trị nhỏ nhất Trên đoạn [a ; b] thì ta giải phương trình :y’ = 0 có nghiệm x1 ; x2 ; … thuộc [a ; b]
Tính y(x1) ; y(x2) ; … ; y(a) ; y(b) Số lớn nhất là giá trị lớn nhất ; số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất
9.Dạng 9:Điều kiện để hàm số có cực trị là y’ = 0 có nghiệm phân biệt
Có 1 cực trị khi y’ = 0 có 1 nghiệm phân biệt hoặc có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép
Có 2 cực trị khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép
Có 3 cực trị khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hoặc có 3 nghiệm đơn và một nghiệm kép
10.Dạng 10:Chứng minh đồ thị hàm số nhận điểm M(xM ; yM) làm tâm đối xứng :
B1: Đặt
Y y
y
X x
x
M M
thay vào hàm số y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X)
B2: Ta chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ (tức là F(-X) = - F(X) ) trên tập xác định nên nhận
M M
y y x x Y
X
0 0
làm tâm đối xứng
11.Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu (cực trị)
a) Hàm phân thức : y =
e dx
c bx ax
2
= g f((x x))
Phương pháp :
B1: Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
B2:Giả sử có hai nghiệm xCĐ ; xCT thì yCĐ = ''(( ))
CD
CD
x g
x f
và yCT = ''(( ))
CT
CT
x g
x f
Trang 2
GV: Nguyễn Bá Trình
B3:Kết luận :Đường thẳng qua cực trị là : y = g f''((x x))
b) Hàm đa thức :y = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Phương pháp :
B1:Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
B2:Chia đa thức :Lấy y chia y’ Kết quả có dạng :y = y’(x) [ x b a
9 3
1
] +
a
cb ad x a
b ac
9
9 9
) 3
(
2 2
B3:Giả sử có hai nghiệm xCĐ ; xCT thì yCĐ =
a
cb ad x
a
b ac
CD 9
9
9
) 3
(
2 2
yCT =
a
cb ad x
a
b ac
CT
9
9
9
) 3
(
B4:Kết luận :đường thẳng qua cức đại và cực tiểu là :y =
a
cb ad x a
b ac
9
9 9
) 3
(
2 2
12.Dạng 12:Vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối
1) Hàm số y = f(|x|)
Phương pháp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
B2: Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm )
2) Hàm số y = |f(x)|
Phương pháp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
B2: Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm )
3) Hàm số y = |f(|x|)|
Phương pháp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
B2: Giữ nguyên phần x dương , lấy đối xứng phần x dương qua trục tung (bỏ phần x âm )
B3: Giữ nguyên phần y dương , lấy đối xứng phần y âm qua trục hoành (bỏ phần y âm )
13.Bài toán tìm quỹ tích
Phương pháp :
B1: Tìm toạ độ quỹ tích M
) ( ) (
m g y
m f x
B2:Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích
B3:Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra điều kiện của x và y
14.Bài toán : Tìm 1 cấp số cộng biết đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng
Phương pháp :
B1:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax4 + bx2 + c = 0 (1)
Đặt t = x2 (điều kiện :t > 0) Khi đó phương trình (1) trở thành : at2 + bt + c = 0 (2)
Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
0 0
P S
B2:Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có 4 nghiệm là : m; n; n; m
Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì m n 2 n m = 9n (3)
B3:Aùp dụng định lí viet :
P m n
S m n
Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n Từ đó suy ra cấp số cộng : m; n; n; m
Trang 315.Bài toán :Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị sao cho khoảng cách đó là ngắn nhất
Phương pháp :
B 1: Từ y = g f((x x)) đổi hệ trục toạ độ Y = X a (với a là hằng số )
B2: Lấy A
a
a
; với 0 ; 0
B.Nguyên hàm và tích phân
T
T Nguyên hàm của hàm sơ cấp
n 1
2 k.dx k.ln | x | C
3 k dx k.ln | ax b | C
x (n 1).x
(ax b) a.(n 1).(ax b)
6 sin(ax b).dx 1.cos(ax b) C
a
7 cos(ax b).dx 1.sin(ax b) C
a
8 k2 dx k.tgx + C
k
.dx k.cot gx C
10 tgx.dxln | cos x | C
11 tg(ax b).dx 1ln | cos(ax b) | C
a
12 cot gx.dx ln | sin x | C
13 cot g(ax b).dx 1.ln | sin(ax b) | C
a
a
15 2k dx k.ln | x x2 k | C
x x
Trang 4GV: Nguyễn Bá Trình
Các dạng toán tính tích phân :
Dạng 1 : Tích phân trực tiếp :
Phương pháp : * Dùng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm giả sử là F(x)
* Áp dụng công thức để tính :
b
b a a
f (x).dx F(x) | F(b) F(a)
Thường sử dụng các các kiến thức sau :
2
2
1 sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2 1 cos a.cos b cos(a b) cos(a b)
2 1 sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2 1 sin a 1 cos 2a
2 1 cos a 1 cos 2a
2
Dạng 2:Tính tích phân đổi biến :
b
a
If (x).dx
Phương pháp 1:B1: Đặt x = g(t) dx = g '(t) dt
B2: Đổi cận : x = a t =
x = b t =
B3:Tính I u(t).dt
Phương pháp 2: B1: Đặt t = g(x) dt = g '(x).dx
B2 : Đổi cận : x = a t =
x = b t =
B3: Tính I u(t).dt
Một số chú ý khi tính tích phân đổi biến :
o Nếu có dạng 2 2
a x (không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) Ta đặt x = asint
o Nếu có dạng 2 2
a x (không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) Ta đặt x = atgt
o Nếu có dạng 2
x k (không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn)
Ta đặt t = x + a2 x2
o Những dạng khác , ta đặt ẩn phụ bởi cả căn , lnf(x) , hoặc cả biểu thức dưới mẫu … sao cho khi vi phân thì ra biểu thức còn lại
Dạng 3: Tính tích phân từng phần : I =
b
a
h(x).g(x).dx
Phương pháp : Đặt dv g(x).dxuh(x) duv G(x)h '(x).dx
Trang 5Tính : I =
b b a a u.v | v.du
Những dạng toán thường gặp khi tính tích phân từng phần (với f(x) là hàm đa thức):
o
b
a
f (x).sin(ax b).dx
b
a
f (x).Cos(ax b).dx
b
ax b a
f (x).e dx
Đặt u = f(x) còn lại là dv
o
b
a ln(ax b).f (x).dx
Đặt u = ln(ax + b) còn lại là dv
o
b
ax b a
sin(ax b).e dx
b
ax b a
cos(ax b).e dx
.Đặt u = eax+b còn lại là dv ( phải đặt 2 lần ).
C.Đại số tổ hợp :
1) Quy tắc cộng :Nếu có m1 cách chọn x1 , m2 cách chọn x2 , , mn cách chọn xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn nào của đối tượng xj thì có m1 + m2 + … + mn cách chọn 1 trong các đối tượng đã cho
2) Quy tắc nhân : Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp , bước 1 có m1 cách , bước 2 có m2 cách , … , bước n có mn cách thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.m2…mn cách khác nhau
3) Hoán vị : Cho tập hợp A có n phần tử (n > 1 , n N) Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó KH : Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1
Chú ý : 0! = 1
4) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (0 < k < n) , phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A
KH : kn
n!
A
(n k)!
(với k , n N và n > 1)
5) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (0 < k < n) phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho
KH : k
n
n!
C
(n k)!.k!
(với k , n N và n > 0)
6) Công thức nhị thức Niutơn
(a + b)n = 0
n
C an + 1
n
C an – 1.b + 2
n
C an – 2.b2 + + n
n
C bn
Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng : Tk + 1= k
n
C an – k.bk
2n = (1 + 1)n = 0
n
C + 1
n
C + 2
n
C + + n
n
C
0 = (1 - 1)n = 0
n
C - 1
n
C + 2
n
C + + (-1)n n
n
C