Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngành Toán

Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngành Toán

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA

TS NGUYÊN GIA ĐỊNH - PGS.TS TÔN THẤT TRÍ PGS.TS NGUYEN HOANG - TS NGUYEN VAN TOAN

Lời nói đầu

Đây là tuyển tập gôm các bài tập về Đại số và Giải tích đành cho

sinh viên Đại học từ xa của Đại học Huế ôn tập để chuẩn bị thì tốt nghiệp

Vì đối tượng của tài liệu này là những sinh viên tự học, nên bài

tập ở đây nghiêng về các kỹ năng tính toán và vận dụng lý thuyết để giải toán hơn là các bài tập mang tính lý thuyết Nội dung các bài tập

đều bám sát nội dung các giáo trình dành cho sinh viên Đại học từ xa

Tuyến tập gôm 2 phân: Phân Đại số gồm 5 chương, trình bày các khái niệm, các kết quả và những bài tập cơ bản của đại số đại cương

mà mọi sinh viên ngành toán đều được học Đó là các chương về Nhóm, Vành, Vành đa thức, Mô—-đun và Trường Phân Giải tích gỗm:

Hàm nhiều biến va Phương trình vi phân

Trong mỗi chương, phân lý thuyết được trình bày một cách ngắn gon, cô đọng, phân bài tập gôm các bài tập cơ bản, có hướng dẫn và

một số bài tập để sinh viên tự rèn luyện

Vì tài liêu được viết gấp để kịp phục vụ cho sinh viên ôn tập thi tốt nghiệp năm này nên không khỏi còn nhiều thiếu sót, chúng tôi mong

nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các bạn đông nghiệp

để lần tái bản sau được hoàn thiện hơn

Các tác giả

CHUONG I

HAM NHIEU BIEN

I Dao ham va vi phân của hàm nhiều biến

L1 Dạo hàm riêng cấp một

Đạo hàm riêng của hàm z = ƒ(z, ) theo biến z là:

Ôz _ \ fle+Az,y) - flay) _

và khi tính ta xem + là hằng số

Đạo hàm riêng của hàm z = ƒ(z, y) theo biến g là:

Oz lim ƒ(z, + Aw) - ƒ(Œ,u) _

Be = u‘.2cosy.(—siny) = —u* sin 2y

3 Chitng minh rang ham z = y= sin # thoả mãn phương trình:

„2 ỦZ + Oz

v Op ry — 2y = yz.

z—z_— sm— +z—=* Inysin— + ry—y cos— = yy* sin = yz

Ta goi hiéu Az = f(x + Az,y + Ay) — f(z, y) 1a 86 gia toàn phan

cua ham z = f(x,y) tai diem M(z, y)

Ham z = f(x,y) được gọi là khả vi tại điểm M(z, y) néu tai diém

này số gia toàn phần có thể biểu diễn dưới dạng

Az = AAr + BAy + o(p),

ở đây 0= Ax? + dy?, va A, B khong phu thudc vao Az, Ay |

Khi do biéu thire dz = AAx + BAy duoc gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f(z, y)

Vi phân toàn phần của các biến độc lap trùng với số gia của các

bien d6, nghia la dr = Az,dy = Ay

3

Vi phân toàn phần của hàm z = ƒ(z;) được tính theo công thức

Tương tự, vi phân toàn phần của hàm ba biến w = ƒ(z,1,z) được tính theo công thức

Đối với hàm khả vì z = f(z, y), khi p = Az? + Ay? du bé ta có

công thức tính gần đúng

Az x dz hay f(e + Az,y + Ay) © f(x,y) + dz

7 Cho z =-arctan ro Tim dz

Giai Tim cac dao ham riéng

Các đạo hàm riêng (nếu có ) của các đạo hàm riêng cấp một được

gọi là các đạo hàm riêng cấp hai

Ta ký hiệu các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z = ƒ(z, ) như sau:

Oy (Sa) _ 9z2Ôw ~ frryl®s 9)»

Nếu các đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp f"" y(#,1), ƒv„(z, y) liên tục

13 Cho z= ylnz Tìm ƒ;„(z, ), ƒ„v(#; 9), fuy(#› 9)-

Giải Trước hết, tìm các đạo hàm riêng

Oz _y O

Ox x’ Oy

&

= Ìnz.

Taco:

y fex(ts¥) = —75

= z3 sìn2(2y jay ¥ cos (2y/x) zx) — zsIn(2/z)l (2y/x)|

15 Cho z = x*y Tim d®z

d°z = Odx® + 3.2dx7dy + 3.0.drdy? + 0dụ? = 6dz dụ

16 Cho u = 4z + 3z” + 32y? — y? Tim oe

17 Cho u = sin(z + cosy) Tim ae

Khi đó đạo hàm của hàm hợp z = ƒ(w(#),()) được tính theo

công thức

dz Oz dx + Oz dụ

dt ‘Ox dt Oy dt’

Nếu z = f(z,y), voi = ¿(z) thì đạo hàm toàn phần của z theo

z được tính theo công thức

4z — Oz | Oe dy

dt Ox Oy dt

Nếu z = ƒ(z,), với z = w(£,”), = P(E,n) thì các đạo hàm

riêng của z theo £,r được tính theo công thức

= 2ae? + (y cost — xsint)

et ty" 2x(—asint) + er ty 2ya cost

Thay + = acos, y = asint, ta được

TẾ 2ae" (asint cost —acostsint) = 0

20 Cho z = ln(zˆ — ), ở đây = e* Tìm s, oe

21 Cho z= Fay ở đây = 3z + 1 Tìm

22 Cho z= zÌn *,o day u = tanˆz, 0 = cot“z Tìm ae

23 Cho u =In(2* + y’), & day « = én, y= S Tim 5e an

Lỗ Dao ham theo hướng

Đạo hàm của hàm z = ƒ(z, ) tại điểm M(z, y) theo hướng vectơ don vi € = (e1, €2) là giới hạn

Oz | f(a +te,,y + ter) — f(z,y)

Trong trường hợp hàm 3 biến u = ƒ(z, g,z) đạo hàm theo hướng

cũng được định nghĩa tương tự Công thức tương ứng có dạng

= — COSŒ + —— cos ổ + — cosy

o day cosa, cos 6, cosz là các cosin chỉ phương của vectơ ể

25 Tìm đạo hàm của hàm z = z? — ˆ tại điểm Ä⁄(1, 1) theo hướng

e, tạo với hướng dương của trục Óz một góc œ = 60”:

Giải Tìm giá trị của các đạo hàm riêng tại điểm M

Ox — 2#, Oy — —2y,

ei @ = ‘Ox M Oy] 4

11

V] cosœ = cos 609 = 3ì sina = sin60° = v3 nén

II Cực trị của hàm hai biến

Hàm z = ƒ(z,) có cực đại (cực tiểu) tại điểm Ä,(z¿,„), nếu giá trị của hàm tại điểm này lớn hơn (bé hơn) giá trị tại một điểm

bất kỳ khác M(z,y) trong mét lan can nào đó của điểm Äạ, nghĩa là

f(,,e) > Ï(œ;9) (tương ứng ƒ(œ,,we) < ƒ(>,v)) đối với mọi điểm

M(z, y) thoả mãn điều kién |M,M]| < 6, & day 6 la mot số dương đủ

bé

12

Cực đại hoặc cựe tiểu của hàm được gọi là cực trị của nó Điểm

M, mà tại đó hàm có cực trị được gọi là điểm cực trị

Néu ham kha vi z = f(z,y) dat cực trị tại điểm M,(z„,„) thì

các đạo hàm riêng cấp 1 của nó băng 0 tại điểm này, nghĩa là

؃(o, 9a) Of (Lo, Yo)

Ox = 0, Oy = 0 Các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là các

điểm dừng Không phải mọi điểm dừng đều là điểm cực trị

Giả sử hàm z = ƒ(z,) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2

trong lân cận điểm M,(25, yo) va M, la diém dimg của hàm z = f(z,y)

A= O f(to1Yo) Bx 2ƒ s,wa) C= O" f(0sYo)

va

A = AC — B?

Khi dé:

-* Nếu A >0 thì hàm có cực trị tại M,, cu thé là có cực đại khi

A <0 (hoặc Œ < 0) và có cực tiểu khi A4 > 0 (hoặc Ở > 0);

* Nếu A < 0 thì điểm A⁄, không phải là điểm cực tri

15

Các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm và

34 Tìm cực trị của hàm z = (zˆ + y2 (en le +9") — 1)

3ð Tìm cực tri cua ham z = V{aT— #)(a — 0)(z + w~ s)

Ill Tích phân hai lớp

THỊ 1 Dịnh nghia va cach tinh

Gia su ham f(x,y) xac định trong tập đóng, đo được và bị chặn

D của mặt phẳng zOy Chia miền D thành + miền tùy ý, có điện tích AS), ASo, , AS, va duong kinh d,,d2, ,dn Lay trong moi mién con mot điểm tùy ý ÄM⁄4(€;¿,?›) và nhân giá trị của hàm tại điểm M; với

điện tích của miền này

Tổng dạng

Tì

»_/(6 m)AS

i=]

dirot goi la tổng tích phân của hàm f(x,y) trén mién D

Giới hạn của tổng tích phân khi đường kính lớn nhất của các miền con tiến đến 0, nếu có, được gọi là tích phân 2 lớp của ham ‘f(z, y) trên miền D va được ký hiệu:

| [1 y)dxdy = male iS Nn )AS

Luc nay, ta noi ham f(z, y) kha tich trén mién D

Néu ham f(z, y) liên tục trên miền đóng, đo được và bị chặn thì hàm f(z, y) kha tich trên miền D

Các tính chất cơ bản của tích phân 2 lớp

1) / [teu + ge.y))aedy = | / f(«,y)dedy + / / glx, y)dndy

2) pe y )dxdy = J f(x, y)dxdy (c la hang số)

) Nếu miền 2 phân thành 3 miễn Dị, D; thì

| | fla, y)dedy = I J fla, y)dedy + / | fw, y)dedy

15

Cách tính tích phân 2 lớp

1 Giả sử miền D xác định bởi các bất đẳng thức

aS#< b, yi(x) sys po(x),

trong đó các ham @1(#), @z(z) liên tục trên đoạn [a, b| Khi đó nếu hàm

z = ƒ(z, 0) liên tục trên miền D thì:

& I1(7)

2 Giá sử miền D xác định bởi các bất đằng thức

cSy<d, wily) St < poly),

trong đó các hàm 1(), Óa(9) liên tục trên đoạn [{c, d] Khi dé néu ham

z = ƒ(z, ) liền tục trên miền D thi:

= Sh lylny —y]j = 8(e —-e+ 1) =8

37 Tinh [{(« — y)dxdy, véi D la mién gidi hạn bởi các đường =

39 Đối thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau

THỊ9 Dối biến trong tích phân 9 lớp

Cho z = ƒ(z, ) là một hàm liên tục trên miền đóng, đo được và

bị chặn D C RZ, có biên là một đườg cong trơn từng khúc Nếu D là

anh của miền G qua anh xa 1-1

x=a2(E,n), y=y(lE,n)

trong dé cdc ham z(€,7), y= y(E,7) khả vi liên tục trên miền Œ và

J(E,n) = ne #0 VW(E,n) EG

thì ta có

[ye y)drdy = J fet6n).v6ondia& ae

Một trường hợp đặc biệt và hay gặp là đổi biến từ tọa độ Descartes

vuông góc sang toa độ cực Công thức đối biến có dang

# —=TCOSÚW, y=rsiny,

45 Tinh ff (1 _ 2) dzdụ, với D là hình tròn z2? + 2 < zÊ

Giải Đặt z = rcos¿, = rsin¿ Phương trình đường cong đã cho trong hệ tọa độ cực là

50 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi đường z + Ÿ = azg

51 Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường z = y? — 2U, z+=Ô0®

IV Tích phân 3 lớp

Giả sử hàm = ƒ(z, , z) xác định trên miền đóng đo được và bị

chặn TC R3 Chia miền T thành re miền con Tì, Tạ, , 7„ với đường kính dị, dạ, , dạ và thể tích AW¡, AW¿, , AW+ Trong mỗi miền con lấy 1 điểm tùy ý P;(&,r, 6;) và nhân giá trị của hàm ƒ(z, g,z) tại điểm

P, với diện tích của miền này

So FE ni OAV, i=l

được s goi là tống tích phân của hàm s E I f(z 9 U: z) trén mién 7’

Tổng dạng

Giới hạn của tổng tích phân khi đường kính lớn nhất của các miền

con tiến đến 0, nếu có, được gọi là tích phân 3 lớp của hàm ƒ(z, 0, z)

trên miền ‡ và được ký hiệu:

max d; 70

lJ ƒ(z,0,z)drdudz = lim » SE AV

T

22

Luc nay, ta noi ham f(z, y,z) khả tích trên miền 7

Nếu hàm ƒ(z, g, z) liên tục trên miền đóng, đo được và bị chặn 7

thì ham ƒ(z,, z) khả tích trên miền 7

Các tính chất cơ bản của tích phân 3 lớp cũng tương tự như của

Giả sử miền 7' xác định bởi các bất đẳng thức

œŠz SÙ, U1(#) € € 9a(z), zI(,) € z <Š 2(z,09)

trong đó các hàm (7), 2(#), zI1(#, ), z2(z, ) là các hàm hiên tục Khi đó nếu ham u = ƒ(z,,z) liên tục trên miền 7 thì:

b 2(z) z2(7,9)

a yi(z) z1(2,y)

Cho u = f(z,y,z) la mot ham lién tuc trén mién déng, do dugc

va bị chặn T C R?, có biên là một mặt cong trơn từng khúc Nếu 7 là

anh cua mién V qua anh xa 1-1

e=2(u,v,w), y=y(u,v,w), 2z=2(u,v,w)

trong đó các hàm z(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v, w) kha vi lién

[] [Fore y(u,v,w), z(u,v, w))|J(u, v, w)|dudvdw

Hai trường hợp đặc biệt và hay gặp là:

23

1 Đối biến từ tọa độ Descartes vuông goc (z, y, z) sang toa do trụ

(r,y,z) Céng thire déi biến có dạng

L=PTcosy,

'Z= 2, voir >0, y € [0,27] Luc dé

2 Đổi biến từ tọa độ Descartes vuông góc (z, 1,2) sang tọa độ:

cầu (r,@,Ø) Công thức đối biến có dạng

z =rcos¿@®InØ, y=rsinysin6,

52 Tính JJ[zdzdudz, với T là miền xác định bởi các bất đăng thức

Giải Dùng tọa độ trụ Phương trình mặt trụ đã cho có dạng:

r* cos’ yp +r? sin’ »y = 2y cosy, hay r = 2cosy

Vi vay, trong mien T cac toa dé r,y,z thay d6i nhuw sau:

O<7 <2cosy, OS YS 5,052 K<a

Giải Dùng tọa độ trụ Phương trình mặt trụ 5z = z + ˆ có dạng:

V Tich phan đường loại 2

Cho các hàm P(z,y) và Q(z,) xác định và liên tục trên cung

AB của đường cong trơn C Chia cung 4B thành œ cung nhỏ bởi

các điểm chia A = Ao, Ay, A2, -An = B Goi Ai(zi,yi), Avi =

#+1 — Fi, AYi = Yir1 — Yi, va 65; la do dai cung Aj41A; Trên moi

cung 4;+¡ 4; lấy 1 điểm M,(€;,?;)

Giới hạn của tông tích phân khi max As¿ — 0, nếu có, được gọi

là tích phân đường loại 2 của biểu thức P(z,1)dz + Q(z, y)dy theo cung định hướng 4P và ký hiệu là

n

[Pe y)dx + Q(z, y)dy = fe » ni)Azi + Q(Ei, ni )Ayil

Nếu đường cong AB là kín, tức là A = B thi ta gọi hướng dương

của đường cong kín AB là hướng mà người quan sát đi dọc theo sẽ

thấy miền giới hạn bởi đường cong 4 năm về bên trái của mình

Tích phần đường loại 2 lấy theo, hướng dương của đường cong kín C

được ký hiệu là

#rứ, )dz + Q(z, y)dy

C

Các tính chất cơ bản của tích phân đường loại 2

1 Tích phân đường loại 2 đổi dấu khi đổi hướng của đường cong lấy tích phân:

[ Pleude + Qe, widy == Í PŒz,)dz + Q(z,)áy

Nếu cung 4P có phương trình = ƒ(z), a< z < b thì

b

[ Pe wde + Qe, dy = [ (Ps, f(0)) + Qe), fla)" @)lde

Cong thirc Green

Néu mién D cé bién là đường,cong kín trơn C va cac ham P(z, y), Q(z, 9) có các đạo hàm riêng `, KH liên tục trong miền ÖD thì

I= flomini, a + sintVcost aie =—

60 Tinh I = $—2*ydr+zy’dy, trong dé C là đường tròn z“+ˆ = rỶ

61 Tinh I= ƒ (z? — y?)dz + zudụ, trong đó AB là đoạn thắng nối 2

CHUONG II

PHUONG TRINH VI PHAN

I Phương trinh vi phan cap 1

L1 Các khái niệm cơ bản

Phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm của biến độc lập đó

và đạo hàm các cấp của hàm này được gọi là phương trình vi phần

Cấp cao nhất của đạo hàm tham gia trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình đó Ví dụ

z“w' + 5z = 7 là phương trình vi phân cấp 1,

U'3 + “ự"”" = x là phương trình vi phân cấp 3

Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình vi phân có dang

F(z,y,y') = 0,

'hay đã giải ra đối với t/

y’ = f(z, y)

Nghiệm của phương trình vi phân là hàm y = ¿(z) sao cho khi

thể vào phương trình ta được đồng nhất thức

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 ' = ƒ(z,)

trong mién D la ham y = (z, C) có các tính chat sau day:

1 Với mỗi C cố định nó là nghiệm của phương trình đã cho;

2 Với điều kiện đầu bất kỳ, (zo) = yo, trong dé (x9, yo) € D,

tôn tại duy nhất Ở = Cp sao cho y = y(x,Cpo) thoả mãn điều kiện đầu

đã cho

Nếu nghiệm tổng quát được cho dưới dạng an

-®(z,,C)= 0

thì nó được gọi là tích phân tổng quái

Mỗi nghiệm y = (z,Cc) nhận được từ nghiệm tổng quát =

p(x, C) voi gia tri cu thé C = Co được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm của phương trình vi phần mà không phải là nghiệm riêng đượe gọi là nghiệm kỳ dị

L2- Pkương trình vi phan véi bién phân ly

30

Phương trình vi phân với biến phân ly là phương trình vi phân có dạng:

Nếu tồn tại các gid tri a,b sao cho ƒạ(ø) = 0, ø¡(ð) = 0 thì z =

œ ( # b) và = b (z # a) sẽ là nghiệm của phương trình đã cho Các

nghiệm này có thể là nghiệm kỳ di

Tích phân tổng quát có dang

Phương trình vi phân:

M(z.u)dz + N(z,u)dụ =0

được gọi là phương trình thuần nhất nếu ÄMí(z,), Ñ(z, w) là những hàm thuần nhất cùng bậc

Để giải phương trình thuần nhất ta đưa nó về phương trình với

biến phân ly bằng phếp thé y = uz, trong đó + là hàm mới phải tìm

69 Giải phương trình (z2 + 2z + ?)dư + (ụˆ + 2z — z?)dụ = 0 Giải Đặt — uz Khi đó dụ = udz + zdu Thể vào phương trình

đã cho ta được

(u? +” +w+ 1)d+ + (u? + 2u — 1)xzdu = 0

Tích phần phương trình biến số phân ly này ta được

Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1 có dang:

Giải Theo công thức, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

yae JF lo+s veh = © pet,

76 Giải phương trình zdz+ + (y2 — 2z)dụ = 0

II Phương trình vỉ phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số

lL1 Phương trình + phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất uớt hệ số hãng

1 Phương trình đặc trưng eó 2 nghiệm thie ky # ko Khi do nghiệm tổng quát của phương trình (1) là

y= OF hit + Coe*?*

2 Phuong trinh dac trung c6 nghiém kép kj = ky = k Khi do nghiệm tổng quát của phương trình (1) là

y = (Cy + Coxe’

3 Phuong trinh dac trung co 2 nghiém phite ky 2 = a £28 Khi

đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) là

y = e**(C; cos Bx + C2 sin Br)

77 Giai phuong trinh y” + 2y' + 2y = 0

Giải Dễ thấy phương trình đặc trưng tương ứng

78 Giải phuong trinh y” + 2y' + 2y = 0

IL9 Phương trình tì phân tuyến tính cấp 2 khéng thuần nhất với

34

nhất Để tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần

nhất ta có thể áp dụng phương pháp biến thiên hằng số

Trong một số trường hợp ta có thể tìm nghiệm riêng của phương

trình tuyến tính không thuần nhất (3) một cách đơn giản hơn Ta lần lượt xét các trường hợp đó

1 f(x) = e**#P,„(z), ở đây P,›(z) là đa thức bậc rm của z (m > 0) Nếu œ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng

thì (3) có nghiệm:riêng dạng:

U7(z) = e “Qm(z)

trong dé Q(z) là đa thức bậc m với các hệ số cân xác định

Nếu œ là nghiệm bội ; của phương trình đặc trưng (4) thì (3) có

nghiệm riêng dạng:

y*(x) = xe"? Q(x)

trong đó Q„„(z) là đa thức bậc rn với các hệ số cần xác định

2 f(x) = e**[P,„(z) cos 8z + Q„(z) sin Øz], ở đây P„„(z) Qa(z)

là các đa thức bậc mm, ø tương ứng của z Giả sử

p = max(m,n)

Khi dé, néu a + 78 khong phai là nghiệm của phương trình đặc trưng

(4) thì (3) có nghiệm riêng dạng:

”(z) = e“”[Qp(z) cos Br + Sp(z) sin đz|

trong dé Q,(x), Sp(x) la cdc đa thức bậc p của z với các hệ số cần xác

định

Nếu œ + ¿đ là nghiệm của phương trình đặc trưng (4) thì (3) có

nghiệm riêng dang:

y*(r) = re®*[Q,(x) cos Bx + S,(x) sin Bx]

trong đó Q;(z), S;(z) là các đa thức bậc p của + với các hệ số cần xác định

390

Trong tất cả các trường hợp trên muốn xác định hệ số của các đa

thức cần tìm ta thay nó vào phương trình (2) rồi đồng nhất các hệ số

theo lũy thừa của x

3 f(x) = fi(z)+ faz(r)+ + f2(z), trong đó f,(?) (2 = 1, ,n)

có l trong các đạng đã xét ở trên

Gia, sử 1(2),2(#), - ¿Ua(+) là các nghiệm riêng ứng với ƒfi(z),

†J(z)., , fa(z) Khi đó (3) có nghiệm rieng

UY) = /1(2) + 02(#) + + 0a(z)

79 Giải phương trình y” — y'’ = e* + eet 4 yr,

Giải Phương trình thuần nhất tương ứng có dạng

Dễ thấy phương trình đặc trưng tương ứng

Thế vào phương trình thứ nhất và ước lược ta được

y=C, + Cre® + 56°" + we* — Sa" — 2

80 Giai phương trình y” + y = sinz + cos 2z

Giải Phương trình thuần nhất tương ứng có dạng

Vi ky =7 la nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình

y +y=sine

có nghiêm riêng dạng

ị = z(A sinz + Boose)

Thế vào phương trình trên và ước lược ta được

U3(z) = Acos2z + Bsin2z

Thế vào phương trình và ước lược ta được

1

A= at B=0, va y3(2) = = 5 cos 2a

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là

84 Giải phương trình “ — 2” + 2y = e”(2cos z — 4z sin z)

S5 Giải phương trình ” + = sinz cos 3z

38

CHUONG III

KHONG GIAN METRIC

§1 Khai niém mêtric Tập mở, tập đóng

Dinh nghĩa 1

Gia sử X là một tập hợp khác trống cho trước Hàm số d :

X x X >R dược gọi là mềtric nếu nó thoả mãn 3 tiền đề:

1 đ(z,)>0, d(z,g) = 0 khi và chị khi z = 0

2 đ(z,u) = dy, 2)

3 d(z,z) < d(z,0) + d(u,z), với mọi z, , z € X

Khi đó cặp (X, đ) được gọi là một không gian mê tr1c

Cho X là một khong gian métric, a € X, r > 0 Ky hiéu B(a,r) =

{xe X: d(x,a) <r} la hinh cau mở tâm ø bán kính r

Định nghĩa 2 Tập A C X được gọi là mở nếu Vz€ A dr >0:

Tập 4A được gọi là đóng nếu 4° = X \ A là mở

Định lý 1 Trong một không gian mềtric X bất kỳ ta có:

Chú ý: z c X la diém dinh (t.w., điểm tụ) của tập A khi va chi

khi ton tai mot day (tn)n C A (t.w., (tn)n C A, tn F Fm, 1 #mM) hOi

tụ về x

Định lý 2 Tập A đóng khi va chỉ khi A chứa mọi điểm tụ (hoặc

oN , ~ ,

điểm dính ) của nó

Hệ quả 1 Tập 4A đóng khi và chỉ khi với mọi dấy (z„)„ C Á mà

z„ — z thì z phải thuộc A._

39

Định nghĩa 4 Phần trong của mot tap con A cua X là hợp của tất các các tập con mở của A Nó cũng chính là tập mở lớn nhất chứa trong A

Bao dong cua tap A là giao của tất cá các tập đóng chứa A Nó

cũng là tập đóng bé nhất chứa A

Dinh ly 3 Moi tap mở trên R bằng hợp một số hữu hạn hay đếm được các khoảng mở rời nhau

§2 Ánh xa liên tục

Dinh nghĩa 1 Cho X, Y la hai khong gian métric Anh xa

f : X — Y được gọi là lién tuc tai zo € X néu moi e > 0 tôn tại

6 > 0 (phu thuộc vào e, zọ) sao cho đ(ƒ(z), ƒ(w) < e với mọi z € X

ma d(x, to) < 6

Néu f lién tuc tai moi zp € X ta goi f lién tuc trén X

f goi la liên tục đều trên tập 4 C X néu (Ve > 0), (46 > 0) sao cho Vz,yE A: d(z,y) < 6 thi d(f(z), f(y)) < <

Định lý 1 (Tiêu chuẩn qua dãy.)

Anh xạ ƒ liên tục tại zo € X khi và chỉ khi mọi dãy (z„)„ C X,

nếu #„ — zọ thì ƒ(z„) — ƒ(zo)

Định lý 2 Cho X, Y là hai không gian mêtric và ƒ : ÄX — Y là một ánh xa Các mệnh đề sau đây là tương đương:

a ƒ liên tục ở trên X

b Với mọi tập đóng #'C Y thì ƒ~!(F') là tập đóng trong X

c Với mọi tập mở Œ C Y thì tập ƒ~}(G) là tập mở trong 3 Định nghĩa 2 Cho X, Y là hai không gian mêtric Song anh

ƒ: X — Y được gọi là phép đồng phôi từ X lên Y nếu ƒ và ƒ~ đều

là các ánh xa liên tục

Định nghĩa 3 Cho dị, d; là hai mê tric trên cùng tập X "Ta gọi

dị, dạ là hai mê tric tương đương nếu ánh xạ đồng nhất ?đd : (X, dị) —

(X, dz) la phép dong phôi

40

$3 Không gian mêtric đầy đủ

Dinh nghia 1 Day (z„)„ trong không gian mê tric X được gọi là

day co ban (hay day Cauchy) néu lim đ(z,„,z„) = 0 Không gian

1n, Tì—

mé tric X duoc goi la day du néu moi day co bản của nó đều hội tụ

trong X

Chú ý các không gian đầy đủ IR", C[a, 6]

Định lý 1 Không gian mê tric X là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi

dãy hình cầu đóng, thắt lại trong X đều có một điểm chung duy nhất Dịnh nghĩa 2 Cho X là một không gian mê tric Ánh xa ƒ: ÄX >

X được gọi là co nếu tồn tại œ € [D, 1) sao cho với mọi z, € X ta có

d( f(x), fly)) < ad(x,y)

Dinh ly 2 (N euyén lý anh xa co Banach) Gia str X là một không

gian mê tric đầy đủ và ƒ: X — X là một ánh xạ co Khi đó ƒ có một điểm bất động duy nhất (nghĩa là có duy nhất zọ € X sao cho

Ƒ(#o) = Lo)

84 Tap hợp compact

Dịnh nghĩa 1 Tập A chứa trong không gian mê tric X được gọi

là compact nếu mọi dãy (2n)n C A déu ton tai mdt day con (rz, )n C -

(z„)„ hội tụ về một điểm z € A

Dinh ly 1 Moi tap compact trong khong gian mé tric la mot tap

dong va hoan toan bi chan Nguog lai, moi tap dong va hoàn toàn bị chan trong khéng gian mé tric day du déu la compact

Hệ quả 1 Trong khong gian R” voi mé tric thong thudng, moi

tap déng va bi chan déu la tap compact

Dinh ly 2 Tap A chira trong khong gian mé tric X la compact

nếu và chỉ nếu với mọi họ các tập mở (G„)œe¡ sao cho (J G4 5A

œ€Ï

Tì

thi ton tai họ con hữu hạn Œ„,, ,G„„ sao cho ÁC |) Ga,

Dinh ly 3 Gia su X, Y là hai khong gian mé tric, f: X > Y la

anh xa lién tuc va A la tap compact trong X Khi do f(A) la mot tap

compact trong Y

41