Chứng minh rằng A,E,F thẳmg hàng.. b Trong hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2.. Tính bán kính đòng tròn nội tiếp tam giác.
Trang 1Trờng THPT hoàng mai
Tổ :Toán - Tin
Đề thi học sinh giỏi trờng năm học:2009-2010
Môn :Toán 10
Câu 1 (6 điểm)
a) Giải phơng trình : x− x2 − + 1 x+ x2 − = 1 2
b) Giải bất phơng trình : 2 3x− + 2 x+ ≥ 2 3 3 4( x− 2) (x+ 2)
Câu 2 (6,0 điểm)
a) Tìm m để Phơng trình sau có nghiệm:
(m− 3) x+ −(2 m x) + − = 3 m 0
b) Tìm m để hệ phơng trình:
2 2 2 4
x y
x y m
− =
có nghiệm
Câu3(2,5 điểm)
Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn diều kiện : x - 2y + 4 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= x2 +y2 − 6x− 12y+ 45 + x2 +y2 − 10x− 16y+ 89
Câu4 (5,5 diểm)
a) Cho tam giác ABC , gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AC ; E ,F lần lợt là các điểm thoả mãn : 1
3
ME= MN
uuur uuuur
3
BF = BC
uuur uuur
Chứng minh rằng A,E,F thẳmg hàng
b) Trong hệ toạ độ 0xy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 Biết A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng (d) : 3x- 6y - 8=0 Tính bán kính đòng tròn nội tiếp tam giác
.Hết
Trang 2
Hớng dẫn và biểu điểm chấm
Môn : Toán 10 Câu Nội dung Biểu
điểm Câu1
1.a Giải phơng trình :
x− x − + x+ x − = (1)
ĐK:x≥ 1
Nhận xét : x− x2 − 1. x+ x2 − = 1 1
Đặt : t= x− x2 − 1 (t≥ 0)
PT (1) có dạng: t 1 2 t 1
t
+ = ⇔ =
PT (1) ⇔ x− x2 − = ⇔ = 1 1 x 1
1.b Giải BPT:2 3x− + 2 x+ ≥ 2 3 3 4( x− 2) (x+ 2) (1)
Giải: TXĐ: [ ;2 )
3
D= +∞
Trên D x+ > 2 0,ta cha hai vế cho x+ > 2 0
+ + Đặt : 4
3 2
; 0 2
x
x
−
+
2
0
x
x
−
+
• Với 4 3 2
2
x
x
−
+
Vậy tập nghiệm của BPT là : [ ;2 34] [2; )
3 47
Bài 2
2.a Tìm m để Pt sau có nghiệm :(m− 3) x+ −(2 m x) + − = 3 m 0 (1)
Giải:
Đk: x≥ 0 Đặt: t= x t; ≥ 0
PT (1) trở thành : (2 −m t) 2 +(m− 3)t+ − = 3 m 0 (2)
PT(1) có nghiệm khi và chi khi Pt(2) có nghiệm thoả mãn : t≥ 0
+Nếu: m≠ 2
• TH1:PT(2) có nghiệm : t=0 ⇔m=3
• TH2: PT(2) có nghiệm : 1 2
0 5
3 0
P
∆ ≥
>
• TH3: PT(2) có nghiệm:t1 < < 0 t2 ⇔ < < 2 m 3
+Nếu m=2thì PT (2) có 1 nghiệm t=1 (t/m)
2
Trang 3Vậy PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 5 3
3 ≤ ≤m
2.b
Tìm m để hệ PT:
2 2 2 4
x y
x y m
− =
Hệ Pt:
2 2 2 4
x y
x y m
− =
2 2
4 0
y x m
x x m
4 0
x m
x x m
≥
− − + =
+Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi PT: 2 ( )
f x =x − −x m+ = có
nghiệm trong [ ;m +∞ ) (*)
Ta có :∆ = 4m+ 17 nên f(x) = 0 PT có nghiệm khi: 17
4
m≥ −
2
m
x= − ± +
Suy ra f(x)=0 có nghiệm thoả mãn (*)
2
m
17
4
m
+ ≤
Cách 2: Nhận xét : Từ PT: x2 +y2 = 4
Hệ PT :
2 2 2 4
x y
x y m
− =
2
4 0(*)
y x m
x x m
− − + =
Hệ (1) có nghiệm 2 2 ( ; ) [ 2; 2]
4 (*)
y x m
x y
x x m
⇔ − − + = có nghiệm trên [-2;2].
Xét đồ thị hàm sốy x= 2 − +x 4 trên [-2;2] và đồ thị hàm số y = m
Ta có; nghiệm của PT :x2 − + =x 4 m trên [-2;2] là giao điểm của hai đồ thị hàm số
Vậy; 17 2
Bài 3 Tìm GTNN của P= x2 +y2 − 6x− 12y+ 45 + x2 +y2 − 10x− 16y+ 89
Giải:
2 2 6 12 45 2 2 10 16 89
P= x +y − x− y+ + x +y − x− y+
Biến đổi; ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
P= x− + −y + x− + −y
Trong mặt phẳng toạ độ với hệ 0xy ta gọi ∆ là đờng thẳng có phơng trình: x - 2y + 4 = 0 và các điểm M(x;y), A(3;6), B(5;8) thì P= MA+MB Bài toán trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc ∆ sao cho tổng MA+MB
đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 4Rõ ràng A,B nằm về cùng một phía với ∆.
Ta tìm đợc điểm A’(5;2) , đối xứng A qua ∆
Với M thuộc ∆ ta có :MA + MB = MA’+ MB ≥ A’B (không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A’,M,B thẳng hàng hay M chính là giao
điểm của ∆ với dờng thẳng A’B
Tìm đợc PT đờng thẳng A’B là x – 5 = 0
Giải hệ PT: − + =x x2− =y5 04 0
5 9 2
x y
=
Kết kuận:Min P = 6
5 9 2
x y
=
Bài4
4.a
Chứng minh A,E,F thẳng hàng
Biến đổi: 1 1
AE= AB+ AC
uuur uuur uuur
2 1
AF = AB+ AC
uuur uuur uuur
Vậy; ta có ;uuurAF = 2uuurAE ( ĐPCM)
4.b Gọi C(a;b) 1
2
S= AB CH
Ta có :AB= 2
Phơng trình AB: x – y -5 =0 ( , ) 5
2
a b
CH d C AB − −
Do đó:(1) 3 1. 5 2
a b− −
2
a b
a b
− =
Toạ độ: 5; 5
G + −
8 0
C
Chu vi tam giác ABC: 2P AB BC CA= = = = 2 + 65 + 89
3
S r P
⇒ = =
C
Chu vi tam giác ABC:2 2 2 5 3
2 2 5
P= + ⇒ =r
+
4