bài giảng sức bền vật liệu, chương 16 ppsx

Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm: f = vmax b Thì điều kiện cứng thường chọn là: Do đó: tg   d y dzVậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng.. Đ

1

2 3

HỒI CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG

THẲNG

Để tính thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngangphẳng, ta dùng công thức tính thế năng riêng biến dạng đàn hồi của một phân tố trong trạng thái ứng suất phức

tạp

:

u 12E



2  2

 2

2 

1 2

 2 3

  31 

2

2

,

3

d U  F u

dz dFThay trị số của u vào và chú ý dz là hằng số đối với biểu thứctích phân, ta có:

đặt: 2 bc dF  x2 

1 M 2 dz

U 0 2EJ 1 Q 2 dz

x  0  2GFNếu dầm có độ cứng hay mô men uốn và lực cắt thay đổi trong từng đoạn thì:

Trong đó li là chiều dài của đoạn thứ i và n là số đoạn

Đối với mỗi dạng mặt cắt ngang, ta có hệ số  khác nhau Hệ

số này được gọi là hệ số điều chỉnh sự phân bố không đều của ứng suất tiếp

Mặt cắt ngang hình chữ nhật : = 1,20

C CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN.

5.13 KHÁI NIỆM ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.

Khi dầm bị uốn, trục của dầm bị uốn cong Đường cong củatrục dầm sau khi bị

uốn gọi là đường đàn hồi, (hình 5.32)

Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng Saukhi dầm bị biến dạng,

điểm K sẽ di chuyển đến vị trí mới K'

Khoảng cách KK' được gọi là chuyển vị dài của điểm K Ta

sẽ phân tích chuyển vị này làm hai thành phần:

- Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y)

- Thành phần u song song với trục dầm (song

song với trục z) Trong điều kiện biến dạng của

vuông góc với trục thanh (hình

5.32) Chuyển vị v được gọi là

độ võng tại K của dầm và nó là

hàm số đối với hoành độ z

của mặt cắt ngang Vậy phương

chế không cho độ võng lớn nhất của dầm vượt quá một giới hạnnhất định, điều kiện đó được gọi là điều kiện cứng Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm:

f = vmax

(b) Thì điều kiện cứng thường chọn là:

Do

đó:

tg  

d

y dzVậy: đạo hàm của đường đàn hồi là góc xoay của mặt cắt khi dầm bị biến dạng

5.14 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI.

Trong chương 5 này ta đã thành lập được liên hệ giữa độ cong củatrục dầm sau khi biến dạng và mômen uốn như sau [xem công thức (5-1)]:

Từ (a) và (b), ta có được buểu

Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi Taphải chọn dấu sao cho hai vế của đẳng thức trên đều thỏa mãn.Các mẫu số EJx và (1 + y'1)3/2 đều là những số dương, nên sựliên hệ về dấu giữa vế phải và vế trái của phương trình (c) phụthuộc vào sự liên hệ về dấu giữa Mx và y" Để xét sự liên hệ vềdấu, ta khảo sát một đoạn dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như trên hình 5.33

a A

)

Mx

Mx

Phương trình vi phân có dạng gần đúng như sau:

T

Để có được phương trình của góc xoay và đường đàn hồi

ta phải tích phân phương

trình vi phân (5.24) Vế phải của phương trình (5.24) chỉ là mộthàm số của biến số z, nên phương trình vi phân đó là một phương trình vi phân thường

Lấy tích phân lần thứ nhất phương trình (5.24) ta được

phương trình góc xoay:

Mx

  y' 

 E JTrong đó C là hằng số tích

phân

dz 

l



r c

Lấy tích phân lần thứ hai phương trình (5-25) ta được

phương trình của đường

đàn

hồi:

26)

M

Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình vi phân của

đường đàn hồi như sau:

y  P

E Jx

z 2

P6EJx



z 3

 Cz D

f 3EJx

;

max



Pl 22EJ x

Các giá trị này đều dương, điều đó chứng tỏ rằng độ võnghướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới) và mặtcắt ngang tại đó có góc xoay thuận chiều kim đồng hồ

Ví dụ 7: Một dầm chịu lực như hình 5-35.Biết độ cứng chống

uốn EJ không đổi Tìm độ võng fc tại C và góc xoay  tại A, B ?

Giải: Phương trình mô men uốn tại mặt cắt ngang có hoành

độ z là:

M  q lz
z 2 x 2 (a)Thay biểu thức đó vào (5-24), ta có phương trình của đường đàn hồi như sau:

y  q2EJx

Với dầm như đã cho, các điều kiện biên của dầm được

xác định như sau: Khi z = 0, y = 0 (*) ; z=l ,

 = y' = q
z3



lz 2
 ql32EJ x
3 2
24EJ x

y  q
z4

 lz

 ql3 z (d)2EJ x
12

qlEJx

 0 ; A

 ql24EJ

x  0;

B

 ql  024EJ x

như vậy là hệ trục ozy đã chọn

dQ  q;dz

2

dM  QdzRút ra

2Còn đối với đường đàn hồi ta có phương trình vi phân:

d 2

y dz2


M

(b) EJ

Đối chiếu hai phương trình (a) và (b), chúng ta thấy có sự tương tự nhau:

dy y' dz2

dM  Qdz2



M EJ

y  MgtTrong đó: qgt - Tải trọng giả tạo

Qgt - Lực cắt giả tạo

Mgt - Mô men uốn giả tạo

Tóm lại, chúng ta thấy rằng muốn tính góc xoay y' và độvõng y thì chỉ cần vẽ

biểu đồ lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn giả tạo Mgt do tải trọngphân bố giả tạo qgt tác dụng trên một dầm giả tạo nào đó gây ra

Điều kiện: y' = Qgt ; y = Mgt phải được thỏa mãn ở mọi điểm trong cả hai dầm thực đã cho và dầm giả tạo hay nói cáchkhác, biểu đồ độ võng và góc xoay trong dầm thực phải hoàn toàntrùng với biểu đồ mô men uốn giả tạo và lực cắt giả tạo trongdầm giả tạo Tức là:

- Ở một mặt cắt ngang nào đó trong dầm thực, góc xoay và

độ võng (do tác dụng của tải trọng đã cho) phải bằng lực cắt giảtạo và mô men uốn giả tạo ở mặt cắt ngang tương ứng của dầm giả tạo (do tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo)

Muốn các điều kiện trên được thỏa mãn thì bắt buộc phải có sự tươngđương giữa dầm thực và dầm giả tạo về điều kiện biên Để làm sáng

tỏ vấn đề chọn dầm giả tạo, chúng ta xét một ví dụ sau

’

Trên hình 5.36 biểu diễn một dầm thực AB, đầu mút A được tự

do và đầu mút B bị ngàm Đối với dầm thực này, độ võng và góc

xoay ở đầu mút A đều khác không, nhưng ở đầu mút B đều bằng

không (vì bị ngàm)

Do đó, mô men uốn giả tạo Mgt

và lực cắt giả tạo Qgt ở

đầu mút A tương ứng của

dầm giả tạo phải khác không

0Mgt

0

dầmthực

a)

giả tạo tương ứng Trong bảng 5.1 biểu

M, như vậy nếu tung độ của biểu đồ mômen uốn nằm ở phía dưới

đường chuẩn thì tải trọng phân bố giả tạo qgt phải hướng xuống

dưới, và ngược lại Hay nói cách khác, tải trọng phân bố giả tạo

luôn luôn hướng về phía các thớ căng của dầm thực (hay hướng

theo tung độ của biểu đồ mômen uốn M)

y= 0

gt0

Mgt







Mgt

=

gt0Mgt

0

Mgt

0Qgt0

Mgt=

0Qgt0

Mgt=

0Qgt0

Mgt0Qgt0

’=

0Đườngcong

ậc 2

Mgt=

0Qgt=0Diện tích

Zc

111

Mgt=0Qgt=0

Đường cong

n 2Khi xác định lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo, chúng ta

cần biết diện tích và

trọng tâm của một số biểu đồ dạng đường cong bậc hai và bậc cao

Trên bảng 5.2 có ghi diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ

Theo (5-27) và bảng 5.1, tải trọng

giả tạo và dầm giả tạo được biểu diễn như P

trên hình 5.37c Pl

Để tính góc xoay và độ võng ở đầu

b)mút tự do A của dầm thực, chúng ta sẽ tính

Pl lực cắt giả tạo Qgt và mô men uốn

giả tạo EJ Mgt ở ngàm A trong

dầm giả tạo: c)

Biểu đồ M

Pl 22EJ

3

Hình 5.37: Xác định độ

võng và góc xoay bằng

2

2

của một trục chịu lực như hình 5.38

Bài giải: Biểu đồ mô men uốn M trong dầm thực được biểu

diễn trên hình 5.38b Dựa (5-27) và bảng 5.1 chúng ta sẽ tínhtải trọng phân bố giả tạo và chọn dầm giả tạo như hình 5.38c

Để tính lực cắt giả tạo và mô men uốn giả tạo ở A, chúng ta

sẽ chia dầm giả tạo thành ba đoạn như trên hình 5.38d

Phản lực ở B và C của dầm giả tạo

giữa bằng:

Vgt(B)=Vgt(C)

 1 2  3Pa  a Pa  a  Pa 4EJ 2EJ  EJ

Góc xoay và độ võng ở A trong dầm thực là lực cắt giả tạo và

mô men uốn giả tạo

ở A trên dầm giả tạo:

  Q  V
1 

Pa  a =Pa2

Pa2

2EJPa3

2Pa3

y(A) = Mgt(A) = -Vgt(B).a + EJ.2 .a.3a 
EJ  =3E


J3EJ

Pa

EJ

b)

p a

2E

J

Pa

Pa

EJ

3Pa 4EJ

Pa EJ

VgtB

c)P

C

E J

a

VgtC

Kết quả góc xoay mBang d4ấEuJ cộng, nghĩa là mặt cắt 4nEgJang ở A xoay thuận theo chiều kim đồng hồ và độ võng ở A

mang dấu trdừ), tức là võng lên trên

(5-ta dùng phương pháp thông số ban đầu, một phương pháp được sửdụng rộng rãi trong cơ học công trình.Trong điều kiện xuất hiện các phép tính, thông qua sự phát triển của công nghệ thông tin, thìphương pháp này rất thuận lợi

Xét dầm nằm ngang có n đoạn, gọi tên các đoạn bắt đầu từ 1theo chiều trục z từ trái sang phải Xét đoạn thứ nhất có gốc tọa độnằm ở mút bên trái (hình 5.39) Trong trường hợp tổng quát, ở mút này có:

- Độ võng y0

- Lực tập trung P0 với chiều dương hướng lên trên.

- Lực ngang phân bố cường độ q0 với chiều dương hướng lêntrên, các đạo hàm

của cường độ lực phân bố là q0', q0" P

Dấu dương của các lực phù hợp

với 0 dấu quy ước dấu trong các

quan hệ vi phân và q bước nhảy

z 

y'"(0) z

 yIV (0) z

 y V(0) z

5!

y"'

Q ; EJ

y IV 

q ; EJ

y V 

q' EJ


M

0 ; EJ

y 




Q(0)P0




Nếu tải trọng phân bố là hàm bậc nhất thì q"= 0 và ta dừng lại

ở số hạng yV(0) vừa viết Thay các giá trị này vào (5-28) ta có :

Biểu thức này cho phép tính độ võng tại tọa độ z của đoạn thứ nhất qua các thông số ban đầu y0, 0, M0, P0 Một phần cácthông số này là biết trước và một phần sẽ được xác định theo các điều kiện biên còn lại của dầm

Sau khi có biểu thức độ võng trong đoạn thứ nhất, ta xét các đoạn tiếp sau Để lập được các biểu thức tổng quát, ta khảo sát haiđoạn dầm liên tiếp thứ i và thứ i+1 tại tiết diện phân cách ở tọa độ z

= a có các ngoại lực Ma, Pa và lực phân bố với các gián đoạn:

(qa)ph - (qa)tr;
q'a = (q'a)ph - (q'a)tr 30) (qa)ph , (qa)tr, (q'a)ph , (q'a)tr tương ứng là cường độ vàđạo hàm cường độ tải trọng ở

(5-bên phải và ở (5-bên trái tiết diện z = a Khi biết tải trọng tác động trêndầm, những đại lượng

này là xác định Dấu dương của các đại lượng này quy ước chỉ định trênhình 5.40

 (a

Kí hiệu yi và yi+1 là biểu thức độ võng của đoạn thứ i vài+1; yi đúng với z  a, và

yi+1 đúng với z  a

Nếu kéo dài yi với z a thì

sẽ mắc saisố:
yi(z) = yi+1(z) - yi(z)

Độ võng trong đoạn yi+1 sẽbiết nếu

biết độ võng của đoạn bên trái

yi và gia số

yi: yi+1(z) = yi(z) +
yi(z)

(5-31)i+1

số
yi(z)tại điểm z = a , ta có:

yi(z) =

yi(a) [z

a]5+
y"'i(a)


y IV(a)3!


y V(a)4!

 ,5!

Với ý nghĩa :
yi(a) = yi+1(a) - yi(a) =
ya

y'i(a) = y'i+1(a) - y'i(a) =
y'a =
a

 Qi 1 (a) Qi(a)
Qa Pa

y'''i(a) = y'''i+1(a) - y'''i(a)

ya,
a sẽ bằng không trong trường hợp dầm cấu tạo liên tục vàkhông có những liên kết

đặc biệt tại tọa độ z=a Trong trường hợp dầm có những liên kết đặcbiệt thì hai đại lượng

này có thể khác không, chẳng hạn tại z=a dầm có khớp nối thì đạilượng
y'a 0 (hình

5.41b) M, Pa là tải trọng tập trung tại z=a;
qa,
q'a là bước

nhảy của cường độ và đạo hàm cường độ tải trọng phân bố tại tiết diện z=a

Thay thế các đại lượng
vào (5-31) ta nhận được:

yi+1 = yi +
ya +
a[z-a]


1 
MA [z
a]2 
Qa [z
a]3 
q a [z

a]4 
q'a [z
a]5 

ya,
a,
Ma = Ma,
Qa = Pa hoặc đã biết, hoặc được

xác

định theo điều kiện liên kết của dầm

Biết y1(z) theo biểu thức (5-29), ta sẽ xác định được y2(z)

và lần lượt xác định được độ võng của tất cả các đoạn Khi độ cứng chống uốn của tiết diện EJ không phải là hằng số trong từngđoạn, thì với cách lập luận tương tự, ta cũng có thể lập được biểuthức tính độ võng của dầm cho từng đoạn Bạn đọc có thể tự tìmhiểu và tự xây dựng như ở trên

Sử dụng phương pháp thông số ban đầu, ta có thể giải trực tiếp được một số bài tóan siêu tĩnh của dầm chịu uốn Các ví dụsau sẽ minh họa cho việc sử dụng phương pháp này

* Ví dụ 10: Tìm độ võng tại khớp B của dầm cho trên hình

5.42 có độ cứng chống uốn EI bằng hằng số

Bài giải: Chọn trục z nằm

ngang, hướng sang phải và có

gốc ở mút trái A Dầm được

chia thành hai đoạn AB và

BC Điểm phân cách có tọa độ

võng và góc xoay bằng

đầu, trong đó ghi rõ các giá trị

q = (-q) - 0= -q;
q' = 0Tại z = 1, ta có:
y = y1 = 0;
 = 1  0;
M =
Q =
q =

y2 = y1 +
1(z-l) , với (l  z  4l)Các thông số chưa biết 0 và
1 xác định theo điều kiệnliên kết: