bài giảng sức bền vật liệu, chương 2 potx

Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp... Những ứng suất chính cò

Chương 2: Phương chính và ứng suất

chính.

Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng

không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp)

Mặt cắt nghiêng () là mặt chính khi uv = 0 (3-6) Gọi 0 là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (3-6) và (3-3), ta có:

uv   x

y sin2

2 0 xy cos 2 0

 0

(3-7)

 tg2 0 




2xy

2xy

x
 y




Đặt tg

 
x

 y   0  k2 2

, k
z

Ha

y



 01







 

2

  


02 2 2

nha

u

Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của 0 là 01

và 02 chênh lệch

  

2 Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau Lần lượt thay 01, 02 vào (3-2) ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm Những ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp

ở mặt đó triệt tiêu

Thực

vậy

d

u d





2

x

 y 2

sin 2
2xy cos 2


2uv d

u

uv = 0 , cũng có nghĩa

là



0 d

Như vậy, khi

thay

cos 2

c1 ,

cos 2 c

2 ,

sin 2 c1

và sin 2 c 2 , suy từ (3-7)

với sự biến đổi cos 2

 

tg2

1 tg 2 2



và sin 2 



1

1 tg 2 2

 , ta có được hai giá trị ứng suất

chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là max, min

Ta có

max/

min

 x y  1

2 2

(

x



y ) 2  42

(3-8)

dấu + ứng với max, dấu
ứng với min

3.2.3 Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr)

Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng:

u và uv đều là hàm của góc nghiêng  Do đó giữa chúng chắc

sẽ có một mối liên hệ nào đó

Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:

x

u
  y

2

  x

y cos 2



y

sin 2

  x
y sin 2  cos 2

uv 2

xy

2 2

Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các

vế lại ta sẽ được:

 x 

 y




2
 x
 y


u


 

uv 


2



co2
xy sin 2


2

Sau khi thu gọn ta

được:



x





 2

y sin 2

 

y

2



cos 2




x 

 y
 2
 x
y
2



u



2


uv
2
xy
 (3-9)

Trong hình học giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính

R: (x-a)2 + (y-b)2 = R2; (a,b) tọa độ tâm vòng tròn đó

Nếu lập hệ trục mà trục hoành là u và trục tung uv thì (3-9) chính là phương trình của một vòng tròn trong đó: u, uv -Tọa độ của những điểm trên vòng tròn



 x  y


,0
- Tọa độ của tâm vòng tròn

2




 x
y
2



2



 

xy - Bán kính của vòng tròn.

Ta có thể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr)

Cách dựng vòng Mohr như sau:

Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương

Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox,

Oy là bất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất x, y, xy = -yx , với giả thiết x > y > 0; xy> 0

Ta lập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng với 1KN/cm2)

* Trục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp

* Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp

y y

yx



x

xy

 x

 x y

uv

D

xy

x

yx

O A C B u





 y

Hình 3.8:Phân tố ứng suất

phẳng

y

x y

2 x

Hình 3.9: Vẽ vòng tròn Mohr

Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn

OA   y ; OB  x

Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:

 xy

OC OA  OB  

y   x

* Tìm bán kính vòng Mohr:

Ứng với điểm A ta lấy D có

tung độ

2

AD 

xy

2

nằm về phía dương của trục tung

(vì giả thuyết xy> 0) CD chính là bán kính

của vòng Mohr, vì:

2

CD 2  AC2

 AD2

x

=




 y

2

2


Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr

D (y, xy ): Gọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C

và bán kính CD.Ta hoàn toàn có thể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9)

Chúng ta chú ý đến điểm Mo (x, xy), hình 3.11, tức là tọa

độ của nó thể hiện ứng xuất pháp x, ứng suất tiếp xy trên mặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm Mo gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr

Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất sau:

- Nếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và CMo là 2, thì tọa độ điểm M đó sẽ là u, uv trên mặt cắt có pháp tuyến u xiên góc  với trục x (xem hình 3.11)

y

xy



x

y

yx

u u



uv

xy

 xy

uv D

M

 M O 2

















xy

x



yx

 y

O A C T B u

y

Hình 3.10:

Ứng suất trên

mặt cắt xiên



x

Hình 3.11: Cách dựng vòng tròn ứng suất

Theo hình ta tính

được: OT OC CT  OC CM cos(  2)

= OC CM cos .cos 2
CM sin .sin 2



Vì CM cos 

CM 0





cos  CB  x y

2

Và CM sin  CM 0 sin   BM0  xy

OT x 

 y 2

 x

 y 2 cos 2
xy sin 2

So sánh với (3-2)

=

>

Tương tự

OT   u

TM  uv

Nối DM =>

MDM 0 =  => DM // u

* Chú ý: a) Khi biểu diễn các giá trị x, y, xy trong hệ

trục (, ) cần lưu ý dấu b)  > o, khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x

Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng

một góc  = 300 so với trục x

* Tính theo phương pháp đồ thị:

Lập hệ trục  // x;  // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm2

7 2

x

Trên trục  lấy OA 

 y  4; OBx   8

Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M Đo tọa độ , ta nhận được:

u = x(M) = 5,3 k/cm ; uv - y(M)==

2,7k/cm

KN


2


u

2 300

D 30

A 4

C B M1
kN



 uv

8

cm

2


Hình 3.12:

Xác định

ứng suất

tại mặt

xiên

* Tính theo phương pháp

giải tích:

Hình 3.13: Cách tìm ứng suất trên mặt xiên bằng vòng Mohr

u 84

2

 8
4 2

cos 600

2 sin 600

 5,268

KN cm 2

uv 84

2

sin 600

 2c0s60 0

 2,732

kN cm2

chín

h

* Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất

Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp Do đó

để xác định phương

2

chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không Đó là hai điểm M1, M2, các phương này hợp với phương ngang những góc 1 và 2 Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc  là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ Giá trị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (, )

Đó là các đoạn

OM1 và OM 2 ; OM1  max ; OM 2  min , (xem hình 3.15) Nhờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:

x  y
x
y
2

 min  OC

M 2 C  2


2
 xy




x  y
x
y
2

 max  OC  CM1  2 

2
 xy


 



2 xy

2





Viết

gộp: 

max/

min

  x

  y



2

x







 y

2

2


 (3-10)

dấu + ứng với ma x, dấu

ứng với min

1

y

 y

y

x 



D

y M2 M1 1 

y

y

x y

O

2 

A C B

1

Hình 3.14:Phân

tố ứng suất phẳng

2  x   y

2



x 1

Hình 3.15: Xác định ứng suất chính bằng vòng Mohr

Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự :

1 = max, 2 = min, 3 = 0 Gọi: 1- Góc giữa phương chính có max với phương ngang

2- Góc giữa phương chính có min với phương ngang thì từ vòng Mohr ta

rút ra:

tg

1

tg

2




AD AM 1


 A

D


xy

 max
y

 xy

2

 xy  y
max

AM 2  y
min

xy Viết gộp: tg 1/2  (3-11)

 y
 max / min Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất Dựa vào vòng Mohr, ta có:

  



 x
y
2 max CM3



2



 xy

 x
y
2

 min  CM 4 


 2

 xy

Viết gộp:

 max/ min  

x





 

2



 y
