bài giảng sức bền vật liệu, chương 23 potx

Chương 23: THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜIVỚI KÉO HAY NÉN ĐÚNG TÂM Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo hay nén đúng tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thàn

Chương 23: THANH CHỊU UỐN ĐỒNG THỜI

VỚI KÉO (HAY NÉN) ĐÚNG TÂM

Một thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là: Các mô men uốn Mx, My và lực dọc Nz (không xét đến lực cắt)

Ví như ống khói vừa chịu uốn do tác dụng của gió, vừa chịu nén do trọng lượng bản thân, hoặc cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo không thẳng góc trục thanh, thành phần thẳng góc trục thanh gây ra uốn, thành phần theo phương trục thanh gây

ra nén

7.4 ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG.

Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén)

đúng tâm có các thành phần nội lực: Mx, My và Nz

Theo nguyên lý độc lập tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ (x, y) thuộc

mặt cắt

ngang là :   M x y  M y

x  N z

(7-13)

J x J y F Dấu của Mx, My như qui ước trong uốn

xiên

Để tranh nhầm lẫn, ta dùng công thức:

   | M x | | y |  | M y | |

x | | N z |

(7-14)

Việc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy theo các thành phần nội lực tương ứng gây

nên ứng suất kéo hay nén tại điểm (x, y)

* Ví dụ 5: Tính ứng suất pháp tại các

điểm góc A, B, C, D trên mặt cắt ngang chữ

nhật chịu lực như hình 7.8

Với Mx = 2,4 kNm, My = 1,5 kNm,

Nz = 60 kN Kích thước mặt cắt ngang hình

chữ nhật 1220 (cm2)

Bài giải:

+


A Mx B

Nz M y



Hình 7.8: Tính ứng suất

3

Ta

có: J  12

 20

x 12  8.000cm3

3

J  20  (12)

y 12  2880cm3 (Lực dọc NZ gây ra ứng suất kéo trên toàn mặt cắt)

2,410 2

10

1,5102  6 60

A




 

8000

288

12 20

 0,2625 KN / cm 2

B




2,4

10 800 0

 10

1,5 10

 6 2880

 60

12 20


0,3625 KN / cm 2

C = 0,3 - 0,3125 + 0,25 = 0,2375 KN/cm2

D = 0,3 + 0,3125 + 0,25 = 0,6825 KN/cm2

Tại điểm D ba thành phần nội lực đều gây ra kéo nên ở đây có giá trị  lớn nhất

7.5 THANH CHỊU KÉO (HAY NÉN) LỆCH TÂM

1.Định nghĩa: Một thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là một

thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có một thành phần lực song song với trục thanh nhưng điểm đặt lực nằm ngoài trọng tâm của mặt cắt đó.

Ví như trường hợp chịu lực của một cần cẩu cố định Các lực đặt lên cần cẩu là những lực song song với trục giá cần cẩu, hợp lực của chúng phải là một lực nào đó song song trục giá (hình 7.9a) hoặc là bulông lệch tâm (hình 7.9b)

Ta thấy rằng thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm là trường hợp đặc biệt của thanh

e P

ce

y C c

Hì)nh 7.9: Ví

dụ về

)lệch

tâm

Hình 7.10:Sơ đồ bài toán lệch

tâ m

chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm Thật vậy ví như trên hình 7.10, tại điểm

C lệch tâm có một lực N song song với trục z tác dụng Nếu chuyển N về trọng tâm O

của mặt cắt ngang ta sẽ được:

- Lực dọc đúng tâm NZ = N

- Mô men uốn M = Ne

Như vậy, chúng ta đã đưa bài toán thanh chịu kéo (hay nén)

lệch tâm về bài toán chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng

tâm Mặt phẳng tác dụng của mô men uốn M cắt ngang theo đường

OC Giống như trong uốn xiên OC là đường tải trọng

Chúng ta phân tích M ra 2 thành phần: Mô men uốn quay

quanh trục x và quay quanh trục y:

M Mx = M sin = Ne sin = Nyc = Mx

My = M cos = Ne cos = Nyc = My

2.Điều kiện bền: Nói chung, đối với thanh chịu uốn đồng thời

với kéo (hay nén) đúng tâm, hay thanh chịu kéo (hay nén) lệch tâm,

điều kiện bền là:

* Đối với thanh bằng vật liệu giòn:

 max  

K ;

 mi n

  n

* Đối với thanh bằng vật liệu

* Nếu mặt cắt ngang của thanh có dạng đối xứng cả hai trục

như mặt cắt chữ nhật, chữ I hay hai chữ I ghép lại: , I, II, thì:

M x M y

 max 

Wx Wy

M x M y

 min 



Wx Wy

 N z F

 N z F

(7-15a) (7-15b)

nén

Trong đó số hạng thứ ba lấy dấu (+) ,khi NZ là lực kéo và

dấu (-) khi, NZ là lực

* Ví dụ 6: Kiểm tra sức chịu lực của đất dưới móng máy, biết

rằng áp suất lớn nhất

mà đất có thể chịu được là 20 N/cm2 Trọng lượng P của máy =

80kN và được đặt ở điểm

C(0.2,0.1) Trọng lượng riêng của móng máy  = 25 KN/m3 (xem

hình 7.11)

Bài giải: Đối với bài toán này,

chúng ta thấy ngoài P còn có R trọng

z P

C

lượng của toàn móng máy,

nên ta giải như thanh chịu

uốn đồng thời và nén đúng

tâm

R Xét mặt cắt ngang ở đáy móng

tiếp xúc nền đất Nội lực trên

mặt cắt ngang này là:

Lực -P gây ta uốn:

Mx = -PyC = -80

0,1= -8kNm

(làm căng các thớ về

phía âm của trục y, Mx<0)

My = Pxc= -80  0,2

= -16 kNm làm căng phía âm

của trục x, My < 0

17) Đường trung hoà

c 2m

(y=


3)

Hình 7.11: Ví dụ

về nén lệch tâm

3

y

3

ta

có:

Khi xác định được Mx, My ,Nz thì căn cứ vào biểu thức xác định đường trung hoà

  z  x

 y   x


  y  x  0

Trong đó, ta

tính:

J  2

1,2

x 12

 0,288m

4 ; J

 1,2  2

12

 0,8m 4

Tư đây ta xác định được đường trung hoà như

trong hình 7.11 Bây giờ ta tính ứng suất tại

góc A và B:

 A

 



M x

M y max  W W

N z F

 800 21,2

1,2

2 2

200 1,2

 2


46,6KN / m 2

= -4, 66 N/cm2

B =

min = -  B

  min  x



Wx Wy Fz 
12N / cm2

|A| < |B| < 20 N/cm2

Vậy đất dưới đáy móng chịu được áp lực do P và R tác dụng

7.6 KHÁI NIỆM VỀ LÕI CỦA MẶT CẮT NGANG

7.6.1 Đường trung hòa trong kéo

(nén) lệch tâm:

Những điểm trên đường trung hòa dĩ nhiên có giá trị ứng suất bằng không (theo

định nghĩa), cho nên từ biểu thức (7-13) chúng ta cho vế phải bằng 0 thì sẽ tìm được

đường trung

x N z  0

(a)

Trong trường hợp riêng (kéo hoặc nén lệch tâm) thì (a) sẽ là:

x

r



(b)

Chia tất cả

cho N ta được: 1 yc  y 

F

Ta đã biết

J x F

J x 

r 2 ; F

J y F

J y 2

Từ (c) => 1 yc  y  x

Nếu

đặt

r

2 a 

y x c

r 2

; b 
x

x

c

Cuối cùng đường trung hòa

1

(7-17)

a b Giá trị a và b là hoành độ và tung độ trên trục hoành và trục tung mà đường trung hòa đi qua nó

Đường trung hòa trong kéo (nén) lệch tâm có những tính chất sau:

1- Đường trung hòa không phụ thuộc vào giá trị của lực, mà chỉ phụ thuộc tọa độ của điểm đặt lực, đường trung hòa và điểm đặt lực luôn luôn nằm trong các góc phần tư đối đỉnh qua gốc tọa

độ (vì a, b bao giờ cũng ngược dấu với xc và yc , hình 17.12a)

2- Nếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì yc=0, do đó b =
;

có nghĩa là đường trung hòa nằm song song với trục y và ngược lại

3- Khi điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng không qua gốc tọa độ, thì

đường trung hòa sẽ xoay quanh một điểm trên mặt phẳng của mặt cắt ngang

b

O x

a y c

Đường trung

x

Pdo P

Hình 7.12: Xác định các tính chất của

Điều này được chứng minh trên hờình 7.12b, trong đó ta giả sử

điểm đặt lực C di

chuyển trên đường thẳng
và rõ ràng lực P có thể phân thành hai thành phần theo hệ lực song song P1 và P2 mà các điểm đặt lực của nó nằm trên trục x là C1 và trục y là C2 Đường trung hoà

tương ứng với lực P1 sẽ song song với trục y và vị trí đường trung hoà này đã xác địn Hai đường trung hoà này giao nhau tại điểm K Chúng ta chú ý một điểm tại điểm K, thì ứng suất do P gây ra cũng bằng không (vì theo nguyên lí cọng tác dụng thì ứng suất tại K do

P gây ra cũng là bằng tổng ứng suất gây ra tại đó do P1 và P2 sinh ra bằng 0 Vậy điểm K cũng là điểm đi qua đường trung hoà ứng với lực P tác dụng Đến đây ta có thể nói các đường trung hoà đều xoay quanh điểm K khi điểm đặt lực chạy trên đường thẳng
, xem hình 7.12b

4-Nếu điểm đặt lực di chuyển trên một đường thẳng đi qua gốc toạ độ (hình

7.12c), thì đường trung hoà sẽ dịch chuyển song song với chính nó Nếu điểm đặt lực C tiến gần về gốc toạ độ O, thì đường trung hoà

sẽ lùi ra xa và ngược lại nếu điểm C lùi xa thì đường trung hoà sẽ tiến gần về gốc toạ độ O.Ta chứng minh điều này:

 x

2

Điểm đặt lực C di chuyển trên đường thẳng qua gốc toạ độ, thì theo toán học ta có

: y c  const Bây giờ chúng ta xét về đường trung hoà

x c

Căn cứ vào (7-16), ta

2

 x

c  const vì

r 2x  const

Điều này chứng tỏ các đường trung hoà sẽ song song với nhau Mặt khác cũng từ (7-16) ta thấy rằng: nếu giá trị tuyệt đối

xx, yc càng nhỏ (điểm C gần gốc O) thì b và a càng lớn, tức là đường trung hoà xa gốc O và ngược lại Cũng từ tính chất này ta tìm một vị trí nào đó của điểm đặt lực C* để có đường trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt, khi điểm đặt lực nằm trong đoạn OC* thì đường trung hoà sẽ nằm chu vi mặt cắt ngang

Những tính chất trên rất quan trọng trong thực tế như việc xác định lõi của mặt cắt mà ta sẽ trình bày sau

7.6.2 Lõi của mặt cắt ngang:

* Trong các công trình xây dựng, thủy lợi, cơ khí chúng ta thường gặp những vật liệu chủ yếu chỉ chịu được lực nén, chịu kéo rất kém như nền đất ở nơi tiếp giáp giữa móng và nền Vì vậy trong khi thiết kế các công trình chịu nén lệch tâm, ta phải xác định vị trí của điểm đặt lực sao cho trên mặt cắt ngang chỉ chịu ứng suất nén, nghĩa là đường trung hòa do tải trọng sinh ra không cắt qua mặt cắt ngang (trên mặt cắt ngang chỉ chịu một loại ứng suất nén) Như phần trên ta đã biết, vị trí của đường trung hòa phụ thuộc vào điểm đặt lực, cho nên để thỏa mãn điều kiện đã nói thì điểm đặt lực C phải ở trong vùng nén đó bao quanh trọng tâm của mặt cắt ngang

Miền diện tích ấy được gọi là lõi của mặt cắt ngang.

* Lõi của mặt cắt ngang được xác định như sau:

- Vẽ một số đường trung hòa

tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang Vị

trí các đường trung hòa này được xác

định bởi các tọa độ gốc ai, bi tương

ứng Với mỗi một đường, ta xác định

được tọa độ điểm đặt lực (xci, yci) tương ứng theo (7-16):

/2 /2

Đường

x ci
;a iry y

ci


rx

b i

(7-18)

2  2



 1

ho

à x

lõi

- Nối các điểm đặt lực Ci ta được chu vi của

- Chú ý: Đường trung hòa chỉ được tiếp xúc D C với chu vi chứ không được cắt mặt cắt

ngang, cho nên dù mặt cắt ngang có là

đa giác lồi hay lõm thì lõi cũng là một

đa giác lồi

* Lõi của một số mặt cắt

thường gặp:

1- Lõi của hình chữ nhật (hình

7.13)

y

Hình 7.13: Xác định lõi

h

Cho đường trung hòa tiếp xúc với cạnh AB ta có: a1 =
;

r

Tọa độ của điểm đặt lực C1 (điểm 1) tương ứng là:

xc1 =




r 2y  0 ; yc1 =
y  2 h

Tương tự ta cho đường trung hòa trùng với AD thì:

b

Vậy tọa độ điểm

C2 sẽ là:

a2=







 r2

va ì 2

b 2

b 2 








x c 2 
 y   ; yc2 =
x  0

b

2

Do tính chất đối xứng nên các điểm 1' và 2' dễ dàng xác

định Cuối cùng ta nối 122'1' ta được lõi của nó

2- Lõi mặt cắt hình vành khăn: Lõi sẽ là hình tròn có bán

kính (hình 7.14a):

Đường

trung

hoà

Đường trung hoà

Hình 7.14): Lõi của mặt cắt tròn

r  R (1   2 ) ; Với  =

4

r (r: bán kính trong; R: bán kính

ngoài)

R

Nếu là hình tròn đặc ta cho r= 0, thì rõ ràng lõi cũng là 1 hình tròn có bán kính

r'= R (xem hình 7.14b).4

3- Lõi mặt cắt chữ I, xem hình 7.15

Cũng tương tự như cách xác định các lõi của những hình trên, ta có các đường trung hòa trùng với AB, BC, CD và DA ta

sẽ xác định 4 điểm giới hạn của lõi và nối lại là những đa giác lồi