bài giảng sức bền vật liệu, chương 18 pot

Quan sát biến dạng: Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các

Chương 18: ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN

6.4.1 Quan sát biến dạng: Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của

thanh những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt

cắt ngang (hình 6.7a)

Tác dụng mô men xoắn vào đầu thanh, sau khi thanh bị biến dạng ta thấy các đường thẳng song song với trục trở thành những đường xoắn ốc, các đường tròn vẫn tròn và vuông góc trục thanh (hình 6.7b)

Mạng lưới chữ nhật gần như mạng lưới hình bình hành

Hình 6.7:Bi n d ng khi xo n

6.4.2 Các giả thuyết.

Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán cho một thanh tròn chịu xoắn:

a) Giả thuyết 1 (về mặt cắt ngang)

Trước và sau biến dạng các mặc cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh và khoảng cách giữa chúng không thay đổi

b) Giả thuyết 2 (về các bán kính)

Trước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và có

chiều dài không đổi c) Giả thuyết 3 (về các thớ dọc)

Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau

Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu tuân theo định luật

HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến

dạng là bậc nhất

6.4.3 Thiết lập công thức tính ứng suất.

Tưởng tượng tách một phân tố ABCDEFGH trên thanh tròn chịu xoắn thuần tuý giới hạn bởi:

* Hai mặt cắt 1-1, 2-2 cách nhau dz

* Hai mặt trụ đồng trục có bán kính  và  + d

* Hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc d

- Theo giả thuyết a), c)  x = y = z = 0

- Theo b) Không có thành phần ứng suất tiếp dọc theo

phương bán kính

- Vậy chỉ có một thành phần ứng suất tiếp theo

phương tiếp tuyến  Nghĩa là phân tố trên ở trạng

thái trượt thuần tuý

Sau khi thanh bị biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ bị xoay đi một góc  và mặt cắt

2-2 ở đầu mút phải có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc +d

so với đầu cố định bên trái.Ta có thể giả thuyết 1-1 đứng yên, còn 2-2 xoay một góc d; A, B, C, D lần lượt trượt đến A’, B’, C’, D’ (trên hình 6.8 ) Góc tạo giữa hai mặt phẳng A’D’HE và ADHE là

 , đó là góc trượt tương đối giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 do  gây ra

Theo hình vẽ

có:

tg

 

 AA'



E A

d



dz d

Vì biến dạng bé, nên tg  ,

suy ra   dz

1

(a) Theo định luật HooKe về

trượt:   G (b)

 



Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng loại vật liệu;  - ứng suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một đoạn 

suy ra



Trong đó: d - hằng số đối Edz

H với từng mặt cắt 1 F

Thứ nguyên của G là:

lực/ (chiều dài )2

Do đó  phân bố bậc nhất G

theo 

Bây giờ để xác định công

A D d

D B

’

2 C B

C dz

thức tính ứng suất tiếp ta

còn phải xem mối quan hệ

của nó với mô men xoắn nội

lực Mz tại điểm A ta sẽ có



Hình 6.8: Bi n d ng c a phân t

tác dụng  phân bố trên diện tích dF quanh điểm A (cách tâm một đoạn ) hình 6.9

Hợp lực  và dF, gây ra một mô men xoắn đối với trục z:

dMz = dF Mz Hợp lực các mô men vi phân dMz, chính là mô men dF

M  

dM   dF   .G  d Fd

Z F z F  F dz

 G d

dz 2 dF  G

d J

F P dz

 G d

dz  M z J p

Hình 6.9: Xác nh

ng su t ti p

Cuối cùng ta có công thức tính ứng suất tiếp tại một

điểm cách  bằng:

M z

   J p

Trong đó: - Ứng suất tiếp tại điểm đang xét;  - Khoảng cách từ điểm tính ứng suất tiếp đến tâm O của mặt cắt ngang;

Mz-Mô men xoắn nội lực của mặt cắt ngang đang xét; Jp - Mz-Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét

Trong công thức trên  và Jp đều dương, nên chiều của  cùng chiều quay của Mz

trên mặt cắt ngang đó

6.5 BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG.

- Qui luật phân bố của ứng suất tiếp đọc theo bán kính của mặt cắt là bật 1

- Những điểm nằm trên cùng một đường tròn thì có cùng ứng suất tiếp

- Khi  = 0, tại tâm mặt cắt ngang:  = 0

 =  =R ; thì  = 

= M z 

J p

m ax

 M z

R J p





Trong đó R: bán kính mặt cắt ngang tròn

Có thể viết

lại:

 ma x

 M z p R

 M z W p

(6-4)

J p Trong đó w p



R

 J p ma x

gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang

Thứ nguyên

WP=(chiều dài)3

* Đối với mặt cắt

tròn đặc:

w p Trong đó: D - Đường

kính

 J p 

D 2

D 3 16

 0,2D3

(6-5)

* Đối với mặt cắt vành khăn

J p J

wp   P

max D 2

3 ma x

 p

Mz





Mz max p


D 1
4   

16

 0,2D 3

1
4 

với d D  

d = 2r: đường

kính nhỏ

D = 2R: đường

kính

Hình 6.10: Bi ung su t ti p

lớn

Đồ thị phân bố của  theo bán kính của mặt cắt ngang

được biểu diễn như hình vẽ 6.10a,b

Ví dụ 3 :Trên mặt cắt ngang của một thanh tròn đặc chịu

Mz = 2.104 Nm Tính ứng suất tiếp  tại điểm A ứng

với  = 0,03m và max ? Cho D = 0,1m



D=0,

1m

Mz

= A

M z



J p

ma J p 4

 0,1D 4

 10
5 m4

O  2.10

10

5 2.10 4

0,03  6.107

8

N / m 2 2

Hình 6.11:

Tínhng su t

ti p

 max



 10

5

0,05 

10 N / m

XOẮ

N.

Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng xoắn của thanh được thể hiện bằng sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục của

nó Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó Ta hãy thiết lập công thức tính góc xoắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài là l

Đã có

:

d



dz

M z GJ p

 d



M z dz

GJ p

l M

  z dz

- Trên suốt chiều dài

l, nếu

M z GJ p

 const



  M

z l GJ p

(6-7)

-Nếu

M zi GJ pi

thay đổi dọc theo chiều dài thanh thì ta chia thanh

ra nhiều đoạn li

M n M l sao

cho: zi  const   
zi i (6-8)

GJ pi

n li

i1 G i J pi M

-Tổng

hợp :  
 zi dz (6-9) ( có đơn vị

Radian )

i1

0 G i J pi

tỉ

đối

* Tỷ

số

d gọi là góc xoắn trên một đơn vị chiều dài và được gọi là góc xoắn dz

Ký hiêụ:  =d



dz

M z

G J p

(6-10)

Đơn vị của 

là:

Rad

; m

Rad

;cm 1 ;

1 m c m

* Tích số GJp được gọi là độ cứng chống xoắn, ý nghĩa vật

lý của nó là: Khi độ

cứng GJp tăng thì góc xoắn tỉ đối  giảm và ngược lại

Ví dụ 4: Một trục bậc chịu tác dụng của mô

G

z



1

men phân bố có cường dộ m = 2

KNm/m và mô men tập trung M =

2,5KNm

Tính :1 Góc xoắn tuyệt đối tại A

(AE)

2 Góc xoắn của đoạn

BD (BD)

Biết D1 = 2cm, D2 = 3cm, G

= 8.103 KN

0,4 m E

0,2 m D

0,4 m C

0,2 m m

B A

/cm

2 Bài giải:

Trước hết vẽ biểu đồ Mz (xem

hình 6.12)

0,4KNm

1)

A  AE

20 mz

M z 2

AE 

0 1 J pl

dz

 G1 J

xo n

 M z 2 l3

G 2 J p 2

 20 2z

M

 3

G 2 J

p 2

dz







 0,4

102 40 

0,4 

10 2



20 
1,8102

40

0

A  AE 8,103 0,1 24

 0,057 (Rad)

8103  0,1 24

8

103 0,1  34

8 103  0,1 34

1

3 2

2) 

BD

M z

l 2

 2 

G1

J p

2

M l3

G 2

J p

2

  0,4

10  40  0,410 20  0,137 Rad

BD 8 103

 0,1 24 8103  0,1.34

Qua ví dụ trên, ta nhận thấy cần chú ý đến dấu của Mz

và J mô men quán tính của mặt cắt ngang trong đoạn cần tính